清華大學(xué)數(shù)學(xué)實驗14數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(綜合補充)課件

大學(xué)數(shù)學(xué)實驗MathematicalExperiments實驗14數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(綜合/補充)大學(xué)數(shù)學(xué)實驗MathematicalExperiments案例：隧道閥門夠結(jié)實嗎？閥門是否足夠結(jié)實？

閥門爆破點湖水山體hL案例：隧道閥門夠結(jié)實嗎？閥門是否足夠結(jié)實？閥門爆破點湖水山問題初步分析爆破后隧道內(nèi)湖水和空氣的相互作用過程0x閥門L湖水加速進(jìn)入隧道,然后減速直到停止可大致認(rèn)為隧道內(nèi)湖水和空氣有清晰的接觸界面隧道內(nèi)的空氣完全處于被不斷壓縮的過程中隧道內(nèi)空氣對隧道內(nèi)湖水的阻力越來越大隧道內(nèi)的湖水與隧道內(nèi)的空氣紊亂地混合隧道內(nèi)湖水和空氣不再有一個清晰的接觸界面直到最后隧道內(nèi)的空氣以氣泡形式從爆破口排出問題初步分析爆破后隧道內(nèi)湖水和空氣的相互作用過程0x閥門L湖受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L長l、速度v的流體兩端壓強(qiáng)之差（水頭損失,mm水柱）R為水力半徑(對圓管滿流，R=D/4)受力分析0F3xF1F1F2閥門L長l、速度v的流體兩端壓強(qiáng)隧道內(nèi)湖水的基本運動方程熱力學(xué)第一定律（能量轉(zhuǎn)化和守恒定律）：當(dāng)運動形式發(fā)生變化時，能量也從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，從一個系統(tǒng)傳遞給另一個系統(tǒng)；在轉(zhuǎn)化和傳遞中總能量始終不變。假設(shè)隧道內(nèi)湖水的內(nèi)能沒有變化，也沒有熱交換發(fā)生

隧道內(nèi)湖水的質(zhì)量為隧道內(nèi)湖水的基本運動方程熱力學(xué)第一定律（能量轉(zhuǎn)化和守恒定律隧道內(nèi)湖水的基本運動方程ODE初值問題隧道內(nèi)湖水的基本運動方程ODE初值問題模型求解參數(shù)：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=1kg/m3，P0=1atm(1大氣壓)=101325Pa，空氣比熱比=1.4;據(jù)水力學(xué)知識，沿程損失系數(shù)通常不超過0.1,取0.1;取D=2m,h=100m，L=1000m模型求解參數(shù)：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=模型求解Matlab程序顯示“Warning:Dividebyzero.”

仍然顯示“Warning:Dividebyzero.”

模型求解Matlab程序顯示“Warning:Divid模型求解模型無解？需要進(jìn)行修改！保持初始條件，修改基本方程保持基本方程，修改初始條件也許存在x(t)>0滿足方程？

考慮到x(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0時刻的連續(xù)性，模型無解!模型求解模型無解？需要進(jìn)行修改！也許存在x(t)>0滿足方修改基本方程想象有一些爆破點附近的湖水被掀開，遠(yuǎn)離了隧道的爆破點。記隧道外的額外長度為d

0dx閥門L修改基本方程想象有一些爆破點附近的湖水被掀開，遠(yuǎn)離了隧道的爆td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000001.000001.00001.000032.87491.047935.48301.051935.86191.05252.000060.45281.091262.48791.094562.78431.09503.000083.48451.129885.16971.132785.41901.1332……………………………………107.0000833.412712.2942833.396912.2926833.396512.2926108.0000833.639512.3177833.610912.3147833.608412.3145109.0000833.667112.3206833.625812.3163833.621312.3158110.0000833.496212.3029833.442212.2973833.435712.2966111.0000833.130412.2651833.064212.2583833.055712.2574112.0000832.577612.2085832.499912.2005832.489612.1995……………………………………計算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000修改初始條件可以想象有一些爆破點附近的湖水已經(jīng)進(jìn)入了隧道記隧道內(nèi)的額外長度為d，x(0)=d水如果從深度為h的容器中自然流出，速度是

0Ldx閥門修改初始條件可以想象有一些爆破點附近的湖水已經(jīng)進(jìn)入了隧道0L計算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.00001.00280.20001.00030.20001.00031.000037.37751.054836.05841.052843.27401.06392.000064.01731.097062.94211.095384.15111.13103.000086.49211.135085.55521.1334123.09971.2019……………………………………106.0000833.011112.2529832.988712.2506107.0000833.411612.2941833.398012.2927108.0000833.613512.3150833.608712.3145109.0000833.616212.3153833.620312.3157110.0000833.419812.2950833.432812.2963111.0000833.024812.2543833.046512.2565……………………………………計算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.參數(shù)分析0.0550029.0000435.943717.75710.05100079.0000848.358014.23390.052000217.00001667.282612.31790.1050039.0000424.145014.01460.101000109.0000833.625712.31630.102000303.00001650.388511.4927LtmaxxmaxPmax0.0550038.0000389.25848.25130.051000103.0000751.17347.01040.052000282.00001469.99756.41880.1050051.0000375.57397.00940.101000141.0000735.00126.41890.102000392.00001452.16046.12810.0550021.0000466.113443.30310.05100057.0000913.533830.79040.052000158.00001801.394025.36600.1050029.0000456.526330.55210.10100079.0000900.698425.36650.102000221.00001785.849622.8263h=50h=100h=200Pmax減少h減少L增加增加D可類似分析參數(shù)分析0.0550029.0000435.94無量綱化Pmax減少h減少L增加增加這說明影響y的參數(shù)是無量綱化Pmax減少h減少L增加增加這說明影響y無量綱化Pt與y的關(guān)系在坐標(biāo)系O下，下，可畫出Pmax的等值線(單位：大氣壓)120140200Pmax(atm)無量綱化Pt與y的關(guān)系在坐標(biāo)系O下，下，可畫出Pma進(jìn)一步研究推廣隧道不是水平的，怎么辦？隧道不是直的，而是一條任意（下降的）曲線，怎么辦？理論上分析基本模型與修正模型的性質(zhì)(解的存在性與唯一性，近似處理的誤差，etc.)進(jìn)一步研究推廣理論上分析基本模型與修正模型的性質(zhì)(解的存2000年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題

(CUMCM-2000B)鋼管訂購和運輸2000年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題

(CUMCM-20CUMCM-2000B鋼管訂購和運輸由鋼管廠訂購鋼管，經(jīng)鐵路、公路運輸，鋪設(shè)一條鋼管管道A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7管道鐵路公路S1~S7鋼管廠火車站450里程（km)（沿管道建有公路）CUMCM-2000B鋼管訂購和運輸由鋼管廠訂購鋼管，經(jīng)鐵鋼廠的產(chǎn)量和銷價（1單位鋼管=1km管道鋼管）鋼廠產(chǎn)量的下限：500單位鋼管1單位鋼管的鐵路運價1000km以上每增加1至100km運價增加5萬元1單位鋼管的公路運價：0.1萬元/km（不足整公里部分按整公里計）601=300+30144>20+23?鋼廠的產(chǎn)量和銷價（1單位鋼管=1km管道鋼管）鋼廠產(chǎn)量的下限（1）制定鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小.（2）分析對購運計劃和總費用影響：哪個鋼廠鋼管銷價的變化影響最大；哪個鋼廠鋼管產(chǎn)量上限的變化影響最大？A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16130A17A18A19A20A21190260100（3）討論管道為樹形圖的情形（1）制定鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小.（2）分析對購問題1的基本模型和解法總費用最小的優(yōu)化問題總費用：訂購，運輸（由各廠Si經(jīng)鐵路、公路至各點Aj,

i=1,…7;j=1,…15

），鋪設(shè)管道AjAj+1（j=1,…14)由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij

由Si至Aj的最優(yōu)運量xij由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的長度yj及向AjAj+1段鋪設(shè)的長度zj最優(yōu)購運計劃約束條件鋼廠產(chǎn)量約束：上限和下限（如果生產(chǎn)的話）運量約束：xij對i求和等于zj加yj；

zj與

yj+1之和等于AjAj+1段的長度ljyj

zjAj問題1的基本模型和解法總費用最小的優(yōu)化問題總費用：訂購，運輸基本模型由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的運量為1+…+yj=yj(

yj+1)/2由Aj向AjAj+1段鋪設(shè)的運量為1+…+zj=zj(

zj+1)/2二次規(guī)劃基本模型由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的運量為1+…+y求解步驟1）求由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij

難點：公路運費是里程的線性函數(shù)，而鐵路運費是里程的分段階躍函數(shù)，故總運費不具可加性。因而計算最短路常用的Dijkstra算法、Floyd算法失效。A17010881070627030202030300220210420500170690462160320160110290A10A11A12A13A14A15S4S5S6S7需要對鐵路網(wǎng)和公路網(wǎng)進(jìn)行預(yù)處理，才能使用常用算法，得到最小購運費用路線。--至少求3次最短路如S7至A10的最小費用路線先鐵路1130km，再公路70km,運費為77（萬元）先公路（經(jīng)A15）40km,再鐵路1100km，再公路70km,運費為76（萬元）求解步驟1）求由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij實際上只有S4和S7需要分解成子問題求解每個子問題是標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃，決策變量為xij,yj,zj,不超過135個。實際上只有S4和S7需要分解成子問題求解每個子問題是標(biāo)準(zhǔn)的二fi表示鋼廠i是否使用；xij是從鋼廠i運到節(jié)點j的鋼管量yj是從節(jié)點j向左鋪設(shè)的鋼管量；zj是向右鋪設(shè)的鋼管量

c)比較好的方法：引入0-1變量LINDO/LINGO得到的結(jié)果比matlab得到的好cumcm2000b.lg4yj

zjjfi表示鋼廠i是否使用；xij是從鋼廠i運到節(jié)點j的鋼管量c問題1的其它模型和解法1）運輸問題的0-1規(guī)劃模型將全長5171km的管道按公里分段，共5171個需求點，鋼廠為7個供應(yīng)點，構(gòu)成如下的運輸問題cij為從供應(yīng)點i到需求點j的最小購運費xij=1表示從點i到點j購運1單位鋼管求解時要針對規(guī)模問題尋求改進(jìn)算法問題1的其它模型和解法1）運輸問題的0-1規(guī)劃模型將全長512）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型SourceS1S2S7A1A2A15P11P1l1P21…………Sink(si,pi)(+,cij)(1,1),…(1,li)(1,0)SourceS1S2S7A1A2A15P1P2………Sink(si,pi)(+,cij)(li,f(f+1)/2)(li,0)線性費用網(wǎng)絡(luò)(只有產(chǎn)量上限)非線性費用網(wǎng)絡(luò)(只有產(chǎn)量上限)邊的標(biāo)記（流量上限，單位費用）用標(biāo)準(zhǔn)算法(如最小費用路算法)求解無單位費用概念(f(f+1)/2),需修改最小費用路算法2）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型SourceS1S2S7A1A2A152）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型產(chǎn)量有下限r(nóng)i時的修正SourceSiSi’(si-ri,pi)(ri,0)(+,0)得到的結(jié)果應(yīng)加上才是最小費用注：該模型獲當(dāng)年的惟一最高獎（網(wǎng)易杯）2）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型產(chǎn)量有下限r(nóng)i時的修正SourceSiS1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最小面積模型A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15cx作圖：Si到管道x單位鋼管的最小購運費用c由各條Si首尾相連(橫坐標(biāo))組成的一條折線對應(yīng)一個購運方案，折線下面的面積對應(yīng)方案的費用在產(chǎn)量約束下找面積最小的折線S1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最問題2:分析對購運計劃和總費用影響(哪個鋼廠銷價變化影響最大；哪個鋼廠產(chǎn)量上限變化影響最大)規(guī)劃問題的靈敏度分析問題3：管道為樹形圖701088107062300220210170690462160320160A10A11A12S4S5S6130A17A18A19A20190260100(jk)是連接Aj,Ak的邊，E是樹形圖的邊集，ljk是(jk)的長度，yjk是由Aj沿(jk)鋪設(shè)的鋼管數(shù)量問題2:分析對購運計劃和總費用影響(哪個鋼廠銷價變化影響最論文中發(fā)現(xiàn)的主要問題1）針對題目給的數(shù)據(jù)用湊的方法算出結(jié)果，沒有解決這類問題的一般模型2）局部最優(yōu)，如將管道分為左右兩段，分別尋求方案；如將問題分為購運和鋪設(shè)兩部分，分別尋優(yōu)（會導(dǎo)致每段管道都從兩端鋪到中點）4）由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij不對5）數(shù)字結(jié)果相差較大(如最小費用應(yīng)127.5至128.2億元)論文中發(fā)現(xiàn)的主要問題1）針對題目給的數(shù)據(jù)用湊的方法算出結(jié)果，1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題

(CUMCM-1995A)

一個飛行管理問題

1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題

(CUMCM-1995在約10000m高空的某邊長160km的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時,記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計算并判斷是否會與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會碰撞,則應(yīng)計算如何調(diào)整各架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角,以避免碰撞.現(xiàn)假設(shè)條件如下:一個飛行管理問題

在約10000m高空的某邊長160km的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有1)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km;2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度;3)所有飛機(jī)飛行速度均為每小時為800km;4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時,與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上;5)最多考慮6架飛機(jī);6)不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況;請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型.列出計算步驟,對以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計算(方向角誤差不超過0.01度),要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小.1)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km;飛機(jī)編號橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052注:方向角指飛行方向與x軸正向的夾角試根據(jù)實際應(yīng)用背景對你的模型進(jìn)行評價與推廣.區(qū)域4個頂點坐標(biāo)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160).記錄數(shù)據(jù)為:飛機(jī)編號橫坐標(biāo)x兩架飛機(jī)不碰撞條件

初始位置

時刻t飛機(jī)的位置兩架飛機(jī)的距離兩架飛機(jī)不碰撞條件引入記號

距離表示為

兩架飛機(jī)不碰撞條件

引入記號距離表示為兩架飛機(jī)不碰撞條件不必考慮在區(qū)域外的碰撞

兩架飛機(jī)都在區(qū)域中的時間其中第i架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的時間不必考慮在區(qū)域外的碰撞

兩架飛機(jī)都在區(qū)域中的時間其中第i架飛不碰撞條件的另一表述：初始不碰,距離增加距離減少可能碰撞

發(fā)生碰撞必須引入記號

無實根,不可能碰撞,條件為

不碰撞條件的另一表述：初始不碰,距離增加距離減少可能碰撞即使有實根,碰撞也不必考慮(不在區(qū)域內(nèi)碰撞),有實根條件

符合條件的實根為

可能碰撞的位置

碰撞不在區(qū)域內(nèi)的條件即使有實根,碰撞也不必考慮(不在區(qū)域內(nèi)碰撞),符合條件的實歸結(jié)起來不在區(qū)域內(nèi)碰撞的條件為

歸結(jié)起來不在區(qū)域內(nèi)碰撞的條件為數(shù)學(xué)模型初始位置與方向角調(diào)整后的方向角

總的調(diào)整量

優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型調(diào)整后的方向角總的調(diào)整量優(yōu)化數(shù)學(xué)模型對應(yīng)兩架飛機(jī)不碰撞條件的另一表述的優(yōu)化模型對應(yīng)兩架飛機(jī)不碰撞條件的另一表述的優(yōu)化模型一個簡化化數(shù)學(xué)模型任何一架飛機(jī)在區(qū)域中停留最長時間

放松到任兩架飛機(jī)在這段時間不碰撞優(yōu)化模型簡化為

一個簡化化數(shù)學(xué)模型放松到任兩架飛機(jī)在這段時間不碰撞進(jìn)一步簡化化的數(shù)學(xué)模型(永遠(yuǎn)不碰撞)可化為線性規(guī)劃問題進(jìn)一步簡化化的數(shù)學(xué)模型(永遠(yuǎn)不碰撞)可化為線性規(guī)劃問題目標(biāo)函數(shù)的線性化,化為8個優(yōu)化問題之三個(N=3)目標(biāo)函數(shù)的線性化,化為8個優(yōu)化問題之三個(N=3)相對運動的觀點相對運動的觀點碰撞臨界相對運動方向角以及不碰撞條件

最優(yōu)解

碰撞臨界相對運動方向角以及不碰撞條件最優(yōu)解That’sall.AnyQuestions?

Thankyouforyourattendance!

謝金星,清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系,2007.

That’sall.AnyQuestions?大學(xué)數(shù)學(xué)實驗MathematicalExperiments實驗14數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(綜合/補充)大學(xué)數(shù)學(xué)實驗MathematicalExperiments案例：隧道閥門夠結(jié)實嗎？閥門是否足夠結(jié)實？

閥門爆破點湖水山體hL案例：隧道閥門夠結(jié)實嗎？閥門是否足夠結(jié)實？閥門爆破點湖水山問題初步分析爆破后隧道內(nèi)湖水和空氣的相互作用過程0x閥門L湖水加速進(jìn)入隧道,然后減速直到停止可大致認(rèn)為隧道內(nèi)湖水和空氣有清晰的接觸界面隧道內(nèi)的空氣完全處于被不斷壓縮的過程中隧道內(nèi)空氣對隧道內(nèi)湖水的阻力越來越大隧道內(nèi)的湖水與隧道內(nèi)的空氣紊亂地混合隧道內(nèi)湖水和空氣不再有一個清晰的接觸界面直到最后隧道內(nèi)的空氣以氣泡形式從爆破口排出問題初步分析爆破后隧道內(nèi)湖水和空氣的相互作用過程0x閥門L湖受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L受力分析0F3xF1F1F2閥門L長l、速度v的流體兩端壓強(qiáng)之差（水頭損失,mm水柱）R為水力半徑(對圓管滿流，R=D/4)受力分析0F3xF1F1F2閥門L長l、速度v的流體兩端壓強(qiáng)隧道內(nèi)湖水的基本運動方程熱力學(xué)第一定律（能量轉(zhuǎn)化和守恒定律）：當(dāng)運動形式發(fā)生變化時，能量也從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，從一個系統(tǒng)傳遞給另一個系統(tǒng)；在轉(zhuǎn)化和傳遞中總能量始終不變。假設(shè)隧道內(nèi)湖水的內(nèi)能沒有變化，也沒有熱交換發(fā)生

隧道內(nèi)湖水的質(zhì)量為隧道內(nèi)湖水的基本運動方程熱力學(xué)第一定律（能量轉(zhuǎn)化和守恒定律隧道內(nèi)湖水的基本運動方程ODE初值問題隧道內(nèi)湖水的基本運動方程ODE初值問題模型求解參數(shù)：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=1kg/m3，P0=1atm(1大氣壓)=101325Pa，空氣比熱比=1.4;據(jù)水力學(xué)知識，沿程損失系數(shù)通常不超過0.1,取0.1;取D=2m,h=100m，L=1000m模型求解參數(shù)：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=模型求解Matlab程序顯示“Warning:Dividebyzero.”

仍然顯示“Warning:Dividebyzero.”

模型求解Matlab程序顯示“Warning:Divid模型求解模型無解？需要進(jìn)行修改！保持初始條件，修改基本方程保持基本方程，修改初始條件也許存在x(t)>0滿足方程？

考慮到x(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0時刻的連續(xù)性，模型無解!模型求解模型無解？需要進(jìn)行修改！也許存在x(t)>0滿足方修改基本方程想象有一些爆破點附近的湖水被掀開，遠(yuǎn)離了隧道的爆破點。記隧道外的額外長度為d

0dx閥門L修改基本方程想象有一些爆破點附近的湖水被掀開，遠(yuǎn)離了隧道的爆td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000001.000001.00001.000032.87491.047935.48301.051935.86191.05252.000060.45281.091262.48791.094562.78431.09503.000083.48451.129885.16971.132785.41901.1332……………………………………107.0000833.412712.2942833.396912.2926833.396512.2926108.0000833.639512.3177833.610912.3147833.608412.3145109.0000833.667112.3206833.625812.3163833.621312.3158110.0000833.496212.3029833.442212.2973833.435712.2966111.0000833.130412.2651833.064212.2583833.055712.2574112.0000832.577612.2085832.499912.2005832.489612.1995……………………………………計算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000修改初始條件可以想象有一些爆破點附近的湖水已經(jīng)進(jìn)入了隧道記隧道內(nèi)的額外長度為d，x(0)=d水如果從深度為h的容器中自然流出，速度是

0Ldx閥門修改初始條件可以想象有一些爆破點附近的湖水已經(jīng)進(jìn)入了隧道0L計算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.00001.00280.20001.00030.20001.00031.000037.37751.054836.05841.052843.27401.06392.000064.01731.097062.94211.095384.15111.13103.000086.49211.135085.55521.1334123.09971.2019……………………………………106.0000833.011112.2529832.988712.2506107.0000833.411612.2941833.398012.2927108.0000833.613512.3150833.608712.3145109.0000833.616212.3153833.620312.3157110.0000833.419812.2950833.432812.2963111.0000833.024812.2543833.046512.2565……………………………………計算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.參數(shù)分析0.0550029.0000435.943717.75710.05100079.0000848.358014.23390.052000217.00001667.282612.31790.1050039.0000424.145014.01460.101000109.0000833.625712.31630.102000303.00001650.388511.4927LtmaxxmaxPmax0.0550038.0000389.25848.25130.051000103.0000751.17347.01040.052000282.00001469.99756.41880.1050051.0000375.57397.00940.101000141.0000735.00126.41890.102000392.00001452.16046.12810.0550021.0000466.113443.30310.05100057.0000913.533830.79040.052000158.00001801.394025.36600.1050029.0000456.526330.55210.10100079.0000900.698425.36650.102000221.00001785.849622.8263h=50h=100h=200Pmax減少h減少L增加增加D可類似分析參數(shù)分析0.0550029.0000435.94無量綱化Pmax減少h減少L增加增加這說明影響y的參數(shù)是無量綱化Pmax減少h減少L增加增加這說明影響y無量綱化Pt與y的關(guān)系在坐標(biāo)系O下，下，可畫出Pmax的等值線(單位：大氣壓)120140200Pmax(atm)無量綱化Pt與y的關(guān)系在坐標(biāo)系O下，下，可畫出Pma進(jìn)一步研究推廣隧道不是水平的，怎么辦？隧道不是直的，而是一條任意（下降的）曲線，怎么辦？理論上分析基本模型與修正模型的性質(zhì)(解的存在性與唯一性，近似處理的誤差，etc.)進(jìn)一步研究推廣理論上分析基本模型與修正模型的性質(zhì)(解的存2000年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題

(CUMCM-2000B)鋼管訂購和運輸2000年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題

(CUMCM-20CUMCM-2000B鋼管訂購和運輸由鋼管廠訂購鋼管，經(jīng)鐵路、公路運輸，鋪設(shè)一條鋼管管道A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7管道鐵路公路S1~S7鋼管廠火車站450里程（km)（沿管道建有公路）CUMCM-2000B鋼管訂購和運輸由鋼管廠訂購鋼管，經(jīng)鐵鋼廠的產(chǎn)量和銷價（1單位鋼管=1km管道鋼管）鋼廠產(chǎn)量的下限：500單位鋼管1單位鋼管的鐵路運價1000km以上每增加1至100km運價增加5萬元1單位鋼管的公路運價：0.1萬元/km（不足整公里部分按整公里計）601=300+30144>20+23?鋼廠的產(chǎn)量和銷價（1單位鋼管=1km管道鋼管）鋼廠產(chǎn)量的下限（1）制定鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小.（2）分析對購運計劃和總費用影響：哪個鋼廠鋼管銷價的變化影響最大；哪個鋼廠鋼管產(chǎn)量上限的變化影響最大？A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16130A17A18A19A20A21190260100（3）討論管道為樹形圖的情形（1）制定鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小.（2）分析對購問題1的基本模型和解法總費用最小的優(yōu)化問題總費用：訂購，運輸（由各廠Si經(jīng)鐵路、公路至各點Aj,

i=1,…7;j=1,…15

），鋪設(shè)管道AjAj+1（j=1,…14)由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij

由Si至Aj的最優(yōu)運量xij由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的長度yj及向AjAj+1段鋪設(shè)的長度zj最優(yōu)購運計劃約束條件鋼廠產(chǎn)量約束：上限和下限（如果生產(chǎn)的話）運量約束：xij對i求和等于zj加yj；

zj與

yj+1之和等于AjAj+1段的長度ljyj

zjAj問題1的基本模型和解法總費用最小的優(yōu)化問題總費用：訂購，運輸基本模型由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的運量為1+…+yj=yj(

yj+1)/2由Aj向AjAj+1段鋪設(shè)的運量為1+…+zj=zj(

zj+1)/2二次規(guī)劃基本模型由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的運量為1+…+y求解步驟1）求由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij

難點：公路運費是里程的線性函數(shù)，而鐵路運費是里程的分段階躍函數(shù)，故總運費不具可加性。因而計算最短路常用的Dijkstra算法、Floyd算法失效。A17010881070627030202030300220210420500170690462160320160110290A10A11A12A13A14A15S4S5S6S7需要對鐵路網(wǎng)和公路網(wǎng)進(jìn)行預(yù)處理，才能使用常用算法，得到最小購運費用路線。--至少求3次最短路如S7至A10的最小費用路線先鐵路1130km，再公路70km,運費為77（萬元）先公路（經(jīng)A15）40km,再鐵路1100km，再公路70km,運費為76（萬元）求解步驟1）求由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij實際上只有S4和S7需要分解成子問題求解每個子問題是標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃，決策變量為xij,yj,zj,不超過135個。實際上只有S4和S7需要分解成子問題求解每個子問題是標(biāo)準(zhǔn)的二fi表示鋼廠i是否使用；xij是從鋼廠i運到節(jié)點j的鋼管量yj是從節(jié)點j向左鋪設(shè)的鋼管量；zj是向右鋪設(shè)的鋼管量

c)比較好的方法：引入0-1變量LINDO/LINGO得到的結(jié)果比matlab得到的好cumcm2000b.lg4yj

zjjfi表示鋼廠i是否使用；xij是從鋼廠i運到節(jié)點j的鋼管量c問題1的其它模型和解法1）運輸問題的0-1規(guī)劃模型將全長5171km的管道按公里分段，共5171個需求點，鋼廠為7個供應(yīng)點，構(gòu)成如下的運輸問題cij為從供應(yīng)點i到需求點j的最小購運費xij=1表示從點i到點j購運1單位鋼管求解時要針對規(guī)模問題尋求改進(jìn)算法問題1的其它模型和解法1）運輸問題的0-1規(guī)劃模型將全長512）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型SourceS1S2S7A1A2A15P11P1l1P21…………Sink(si,pi)(+,cij)(1,1),…(1,li)(1,0)SourceS1S2S7A1A2A15P1P2………Sink(si,pi)(+,cij)(li,f(f+1)/2)(li,0)線性費用網(wǎng)絡(luò)(只有產(chǎn)量上限)非線性費用網(wǎng)絡(luò)(只有產(chǎn)量上限)邊的標(biāo)記（流量上限，單位費用）用標(biāo)準(zhǔn)算法(如最小費用路算法)求解無單位費用概念(f(f+1)/2),需修改最小費用路算法2）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型SourceS1S2S7A1A2A152）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型產(chǎn)量有下限r(nóng)i時的修正SourceSiSi’(si-ri,pi)(ri,0)(+,0)得到的結(jié)果應(yīng)加上才是最小費用注：該模型獲當(dāng)年的惟一最高獎（網(wǎng)易杯）2）最小費用網(wǎng)絡(luò)流模型產(chǎn)量有下限r(nóng)i時的修正SourceSiS1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最小面積模型A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15cx作圖：Si到管道x單位鋼管的最小購運費用c由各條Si首尾相連(橫坐標(biāo))組成的一條折線對應(yīng)一個購運方案，折線下面的面積對應(yīng)方案的費用在產(chǎn)量約束下找面積最小的折線S1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最問題2:分析對購運計劃和總費用影響(哪個鋼廠銷價變化影響最大；哪個鋼廠產(chǎn)量上限變化影響最大)規(guī)劃問題的靈敏度分析問題3：管道為樹形圖701088107062300220210170690462160320160A10A11A12S4S5S6130A17A18A19A20190260100(jk)是連接Aj,Ak的邊，E是樹形圖的邊集，ljk是(jk)的長度，yjk是由Aj沿(jk)鋪設(shè)的鋼管數(shù)量問題2:分析對購運計劃和總費用影響(哪個鋼廠銷價變化影響最論文中發(fā)現(xiàn)的主要問題1）針對題目給的數(shù)據(jù)用湊的方法算出結(jié)果，沒有解決這類問題的一般模型2）局部最優(yōu)，如將管道分為左右兩段，分別尋求方案；如將問題分為購運和鋪設(shè)兩部分，分別尋優(yōu)（會導(dǎo)致每段管道都從兩端鋪到中點）4）由Si至Aj的最小購運費用路線及最小費用cij不對5）數(shù)字結(jié)果相差較大(如最小費用應(yīng)127.5至128.2億元)論文中發(fā)現(xiàn)的主要問題1）針對題目給的數(shù)據(jù)用湊的方法算出結(jié)果，1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題

(CUMCM-1995A)

一個飛行管理問題

1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題

(CUMCM-1995在約10000m高空的某邊長160km的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時,記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計算并判斷是否會與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰