工程力學(天津大學)第11章答案

第十一章第十一章梁彎曲時的變形第十一章梁彎曲時的變形習題11?1用積分法求下列簡支梁A、B截面的轉(zhuǎn)角和跨中截面C點的撓度。CCMel/2EIl/2Cl/2EIl/2Me(a)(b)習題11?1圖CCMel/2EIl/2y解：（a）取坐標系如圖所示。彎矩方程為：撓曲線近似微分方程為：積分一次和兩次分別得：，（a）(b)邊界條件為：x=0時，y=0，x=l時，y=0，代入（a）、(b)式，得：梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：，所以：CCMel/2EIl/2x（b）取坐標系如圖所示。AC段彎矩方程為：BC段彎矩方程為：兩段的撓曲線近似微分方程及其積分分別為：AC段：，（a）(b)BC段：，（c）(d)邊界條件為：x1=0時，y1=0，x2=l時，y2=0，變形連續(xù)條件為：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：AC段：，BC段：，所以：11?2用積分法求下列懸臂梁自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。習題1習題11?2圖qBAl（a）MeAl（b）BEIEI qqBAl（a）EIx解：（a）取坐標系如圖所示。彎矩方程為：撓曲線近似微分方程為：積分一次和兩次分別得：，（a）(b)邊界條件為：x=l時，y=0，y'=0，代入（a）、(b)式，得：梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：，MeAMeAlBEIx（b）取坐標系如圖所示。彎矩方程為：撓曲線近似微分方程為：積分一次和兩次分別得：（a）(b)邊界條件為：x=l時，y=0，y'=0，代入（a）、(b)式，得：梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：所以：11?3一懸臂梁在BC段受均布荷載作用，如圖所示，試用積分法求梁自由端截面C的轉(zhuǎn)角和撓度。EIBEIBqAl/2l/2CxEIBqAl/2l/2C習題11?3圖解：取坐標系如圖所示。AB段彎矩方程為：BC段彎矩方程為：兩段的撓曲線近似微分方程及其積分分別為：AB段：，（a）(b)BC段：（c）(d)邊界條件為：x1=0時，y1=0，y1'=0，變形連續(xù)條件為：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：AB段：，BC段：所以：11?4一外伸梁受均布荷載，如圖所示，試用積分法求A、B截面的轉(zhuǎn)角以及C、D截面的撓度。xyxyEIClllqy習題11?4圖EIClllq 解：取坐標系如圖所示。AB段彎矩方程為：BC段彎矩方程為：兩段的撓曲線近似微分方程及其積分分別為：AB段：，（a）(b)BC段：（c）(d)邊界條件為：x1=0時，y1=0，變形連續(xù)條件為：代入（a）、(b)式、（c）、(d)式,得：梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：AB段：BC段：所以：11?5用積分法求位移時，下列各梁應分幾段來列撓曲線的近似微分方程式？試分別列出積分常數(shù)時所需的邊界條件和變形連續(xù)條件。習題1習題11?5圖Cll/2(b)qFq(a)Cl/2ll/2解：（a）分三段。AB、BC、CD段位移分別為y1、y2、y3。則邊界條件B點：C點：變形連續(xù)條件為：（b）分兩段。AB、BC段位移分別為y1、y2。則邊界條件A點：B點：變形連續(xù)條件為：11?6一簡支型鋼梁承受荷載如圖所示，已知所用型鋼為18號工字鋼，E=210GPa，M=8.1kN·m，q=15kN/m，跨長l=3.26m。試用積分法求此梁跨中點C處的撓度。qqCCEI習題11?6圖l/2l/2MMAB解：取坐標系如圖所示。彎矩方程為：撓曲線近似微分方程為：積分一次和兩次分別得：（a）(b)邊界條件為：x==0=l時，y=0代入（a）、(b)式，得：梁的撓度方程式為：所以：11?7一簡支梁受力如圖所示，試用疊加法求跨中截面C點的撓度。EIEICa習題11?7圖FaaaF解：當右邊的F單獨作用時，查表得：由對稱得：11?8一簡支梁承受均布荷載作用，并在A支座處有一集中力偶作用，如圖所示，已知：，試用疊加法求A、B截面的轉(zhuǎn)角和跨中截面C的撓度。解：當q單獨作用時，當Mq單獨作用時，所以：11?9一懸臂梁受力如圖所示，試用疊加法求自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。EIEIBAql/2l/2C習題11?9圖EIC習題11?8圖ql/2l/2MAB解：所以：CBEIll/2習題11?10圖CBEIll/2習題11?10圖qFA解：對AB段，看作在均布荷載和力偶Fl/2作用下的簡支梁，則，所以：將BC段看作懸臂梁，固定端處有轉(zhuǎn)角,則所以：則11?11試用疊加法求下述懸臂梁自由端截面的撓度和轉(zhuǎn)角。EIEI習題11?11圖EIBAFl/2l/2CM=Fl(a)BAFa(b)al/aF解：（a）當M單獨作用時，當F單獨作用時，所以：則：解：（b）當C點處的F單獨作用時，此時當D點處的F單獨作用時，此時所以11?12一工字鋼的簡支梁，梁上荷載如圖所示，已知：l=6m，M=4kN·m，q=3kN/m，，工字鋼為20a，鋼材的彈性模量E=200GPa，試校核梁的剛度。EIEI習題11?12圖qlMMqEI習題11?13圖l/2l/2FABBA解：則，所以剛度滿足要求。11?13一工字鋼的簡支梁，梁上荷載如圖所示，已知：l=6m，F(xiàn)=10kN，q=4kN/m，，材料許用應力，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼的型號并校核梁的剛度。解：跨中最大彎矩為：?、?0a，則則，所以剛度滿足要求。11?14在下列梁中，指明哪些梁是超靜定梁，并判定各種超靜定梁的次數(shù)。qqF（a）qF（b）q(c)q(d)F習題11?14圖q(e)(f)FF解：（a）2次；（b）1次；（c）2次；(d)1次；（e）靜定結(jié)構(gòu)；（f）3次。11?15試畫出下列各超靜定梁的彎矩圖。FF(b)2aaABB(a)ll/2MAC習題11?15圖qB(e)2aaACF(d)aaFaaAB2a(c)aFaABCEIEIEIEIEIEI 解：（a）該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力FRB。根據(jù)該梁的變形條件，梁在B點的撓度應為零，即補充方程式為：由疊加法:（a）式中：yBM為梁在力偶單獨作用下引起的B點的撓度（圖d），由表格11?1可查得：（b）yBF為梁在FRB單獨作用下B點的撓度，同樣由表格11?1可查得：（c）將(b)、（c）兩式代入式（a），得：（d）由該式可解得：則M圖為：（b）該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力FRB。根據(jù)該梁的變形條件，梁在B點的撓度應為零，即補充方程式為：由疊加法:（a）式中：yBF為梁在F單獨作用下引起的B點的撓度，由表格11?1可查得：（b）yRB為梁在FRB單獨作用下B點的撓度，同樣由表格11?1可查得：（c）將(b)、（c）兩式代入式（a），得：（d）由該式可解得：則M圖為：(c)該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力FRB。根據(jù)該梁的變形條件，梁在B點的撓度應為零，即補充方程式為：由疊加法:（a）式中：yBF為梁在F單獨作用下引起的B點的撓度，由表格11?1可查得：（b）yRB為梁在FRB單獨作用下B點的撓度，同樣由表格11?1可查得：（c）將(b)、（c）兩式代入式（a），得：（d）由該式可解得：則M圖為：（d）該梁為三次超靜定梁，將A支座化為固定鉸支座，解除該支座的轉(zhuǎn)動約束，并施加多余約束反力MA。將B支座化為可動鉸支座，解除該支座的轉(zhuǎn)動約束和水平約束，并施加多余約束反力MB和水平力HB，由于水平支反力對位移的影響可忽略不計，所以先不考慮HB，根據(jù)該梁的變形條件，梁在A點和B點的轉(zhuǎn)角應為零，即補充方程式為：由疊加法:（a）式中：θAF和θBF為梁在F單獨作用下引起的A點和B點的轉(zhuǎn)角，由表格11?1可查得：（b）θAMA和θBMA為梁在MA單獨作用下A點和B點的轉(zhuǎn)角，同樣由表格11?1可查得：（c）θAMB和θBMB為梁在MB單獨作用下A點和B點的轉(zhuǎn)角，同樣由表格11?1可查得：（d）將(b)、（c）(d)式代入式（a），得：由上式可解得：則M圖如下：（e）該梁為一次超靜定梁，將B支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力FRB。根據(jù)該梁的變形條件，梁在B點的撓度應為零，即補充方程式為：由疊加法:（a）式中：yBq為梁在q單獨作用下引起的B點的撓度，由表格11?1可查得：（b）yRB為梁在FRB單獨作用下B點的撓度，同樣由表格11?1可查得：（c）將(b)、（c）兩式代入式（a），得：（d）由該式可解得：則M圖為：11?16一集中力F作用在梁AB和CD連接處，試繪出二梁的彎矩圖。已知：EI1=0.8EI2。EIEI1EI2F習題11?16圖3a2aABCD解：該梁為一次超靜定梁，AC和CD梁的受力圖如圖所示，其中FC為未知力。變形條件為：二梁在自由端處撓度相等，即：由表格11?1可查得：代入上式解得：則彎矩圖為：11?17在下列結(jié)構(gòu)中，已知橫梁的彎曲剛度均為EI，豎桿的拉伸剛度均為EA，試求圖示荷載作用下各豎桿內(nèi)力。習題1習題11?17圖ECql/2l/2(b)DaqB(a)lACa解：（a）該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，將BC桿的拉力FBC看作多余約束，變形方程為：（a）式中yBA為梁AB在q和拉力FBC共同作用下，B端的撓度。yBC為拉桿BC的伸長量。代入（a）式得：（b）該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，將EC桿的拉力FEC看作多余約束，變形方程為：（a）式中yC為梁AB在q和拉力FEC共同作用下，C點的撓度。yCE為拉桿EC的伸長量。代入（a）式得：11?18梁AB因強度、剛度不夠，用同一材料和同樣截面的短梁AC加固，試求：二梁接觸處的壓力FRC。加固前后梁AB的最大彎矩和B點的撓度各減少多少？習題1習題11?18圖Fl/2ABCl/2解：AB桿和AC桿的受力情況如圖所示。二梁在C點處的撓度相同。即變形條件為：（a）式中yCA為梁AC在FC作用下C點的撓度。yCAB為梁AB的在F和FC共同作用下C點