全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的8種輔助線的作法(有答案)

全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法 全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法 （有答案）全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法 全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法 （有答案）總論：全等三角形問(wèn)題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，角平分線平行線，線段垂直平分線，三角形中兩中點(diǎn)，可向兩邊作垂線。等腰三角形來(lái)添。常向兩端把線連。連接則成中位線。也可將圖對(duì)折看,角平分線加垂線,要證線段倍與半,三角形中有中線,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。三線合一試試看。延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。延長(zhǎng)中線等中線。等腰三角形“三線合一”法： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題倍長(zhǎng)中線：倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形角平分線在三種添輔助線垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”：遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng)，圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為 30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或 30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常角之間的相計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)， 這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角， 從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1）2)3)4)5)6)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法三角形.常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1）2)3)4)5)6)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法三角形.遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等， 構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形.遇到角平分線在三種添輔助線的方法， （1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理. （2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。 （3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明?這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答.一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中,AB=5AC=3,則中線AD的取值范圍是 構(gòu)造全等“旋例2例2、如圖，△ABC中，E、F分別在ABAC上，DEXDED是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3、如圖，△ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/BAE.

-1-應(yīng)用：應(yīng)用：應(yīng)用：應(yīng)用：acebadCAE90,(1acebadCAE90,(1)問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否(2)將圖①中的等腰E1、(09崇文二模)以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰Rt連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)?探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖①當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ;RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) (0<<90)后，如圖②所示,二、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例11(06年北京中考題判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.)已知ABC中,A60',BD、CE分別平分ABC和.ACB，BD、CE交于點(diǎn)O,試BECDBC在BC上截取BFBE，連結(jié)BFO,? 190：V2【解析1理由是：利用SAS證得BEO也OFBOC60,???DOE180,A120'AEOADO180'DOE120,1 3180■2CFOCDCFBCBFCFBECDDMN60,射線2CFOCDCFBCBFCFBECDDMN60,射線MN與/DBA外角的平分線交于點(diǎn)4180,???利用AAS證得CDO也【例21如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，作N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？---在RtPDF中，可得PD AdAgI: 2I西麗西V5 15PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到PPPB,PPQPA2,PBPB取得最大值(如圖)PB的最大值為6FG2(2)如圖所示，將???PPB中，PBP、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PBPPPB6，即PAB,PD的最大值，即為PB的最大值4且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)???當(dāng)此時(shí)此時(shí)C邊ABC的兩邊AB、AC所在直60,BDC120C3、在等MDN系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊,BD=DC.探究：當(dāng)M、ABC的周長(zhǎng)線上分別有兩點(diǎn)M、N,N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),D為￡abc外一點(diǎn)，且BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)L的關(guān)系.CCC圖1 圖2如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，時(shí)Q ；如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，以證明；且DM=DN且當(dāng)DM時(shí),DN圖3BM、NC、時(shí)，猜想((III)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí),若AN=x，貝yQ=分析：(1MBDNCD全等。那么BMMDN60,QAMANAMANMB(用x、L表示).)如果DMDN,DMNDNM，因?yàn)锽D60 30NC,BMDDNC60，三角形NCD中，MN之間的數(shù)量關(guān)系是I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加DC,那么DBCDCB30,也就有90，直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)锽DDC,DMDN，根據(jù)HL定理，兩三角形2NC，在三角形DNM中，DMNCBM，三角形NDC30,DN2NC因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此MNDNMNNCABAC2AB，三角形ABC的周長(zhǎng)L3AB，因此如果DMDN，我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長(zhǎng)DN,AMN的周長(zhǎng)Q：L中我們已經(jīng)得出，三角形全等，那么EDNMDN了NE，因?yàn)镹E.2:3.AC至E，使CEBM,MBCE,BD連接DE.(1)DC，因此兩BDCMDN60.三角形MDN和EDN中，有DMDE,MNNE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE,把MN轉(zhuǎn)換成MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，DMDE,BDMCDE,EDN60，有一條公共邊，因此兩三角形全等，CNCE，因此MNBMCN.Q與L的關(guān)系的求法同(1)，得出的結(jié)果是一樣的。我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同(中，由(1)中已經(jīng)得出的么BMCH,DM等就需要知道MDNMB90,我們做的角BDMDH，三角形MDN和NDH中，已知的條件有HDN,因?yàn)镃DHMDB,因此DCH2)過(guò)D作CDHMDB，三角形BDM和CDHCDH,BDCD,因此兩三角形全等(ASA).那MDDH，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全MDHBDC120,因?yàn)镸DN60，那么60,因此MDNNHANACNDH12060NMANACBM2ANNDH,這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件.三角形MDNBM，三角形AMN的周長(zhǎng)QANAMMNANAB12AB.因?yàn)锳NX,AB—L,因此三角形AMN的周長(zhǎng)3和DNH就全等了.那么BMQ2xMl.3解：(1)如圖1,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系： BMNC(2)猜想：結(jié)論仍然成立.證明：如圖2,延長(zhǎng)AC至E,使CE???BDCD，且BDC120???DBCDCB30又ABC是等邊三角形?-MBD在MBD與BMCEMBDBDDCNCD90ECD中ECD???MBD???DMDE?EDN在MDN與DMDEMDNDNDNECD(SAS),BDMCDEBDCMDN60EDN中EDNEDNNC???