大一下學(xué)期-微積分第九章811.3-8.4習(xí)題課

1三重積分及重積分的應(yīng)用

習(xí)題課一、三重積分及重積分的概念和公式回顧四、二重積分的應(yīng)用五、三重積分的應(yīng)用三、三重積分的計(jì)算二、選擇填空題21、三重積分的定義一概念和公式回顧32、三重積分的幾何意義3、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．44、三重積分的計(jì)算(１)直角坐標(biāo)5(２)柱面坐標(biāo)6(３)球面坐標(biāo)75、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積8當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.(3)重心9薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(5)引力116、三重積分的應(yīng)用(１)重心12(２)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量13三重積分可以用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來(lái)計(jì)算.其方法都是將三重積分化為三次積分.一三重積分的計(jì)算將三重積分化為三次積分關(guān)鍵：

根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇合適的坐標(biāo)系;

畫出投影域、確定積分序;

定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便.14

例1

計(jì)算其中是由曲面與平面圍成的區(qū)域.

解

在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域:15所以16

例6

計(jì)算其中1718例10

計(jì)算其中由曲面和圍成將向xoy

面投影，得

任取一過z在半平面上，任取一過原點(diǎn)作射線，得解軸作半平面，得19即20例7·求由下列曲面圍成的立體的體積解:(1)由于區(qū)域?yàn)榍蝽斿F底，選用球坐標(biāo)較為簡(jiǎn)便(2)故選用柱坐標(biāo)積分:由于投影區(qū)域?yàn)閛yz21注：如果被積函數(shù)只依賴于一個(gè)變量，而以該變量去截積分區(qū)域而截面的面積又容易求得時(shí)，用“先二后一”法計(jì)算三重積分常常能簡(jiǎn)化運(yùn)算.22解1例23

先二后一24法225例題計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公共部分.提示:

由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計(jì)算方便.26例8

解球面坐標(biāo)

利用對(duì)稱性或質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算.27例９

解若域Ω關(guān)于xOy坐標(biāo)面對(duì)稱,其中Ω1為Ω在xOy坐標(biāo)面的上半部區(qū)域.則被積函數(shù)帶絕對(duì)值符號(hào).28例10

證思路：從改變積分次序入手．交換積分順序的方法.29解球例3031二、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,質(zhì)心,引力2.物理方面重積分例題32所圍成的立體的體積解一（用極坐標(biāo)）解二

是柱形區(qū)域，用柱坐標(biāo)例233球面的面積A為上半球面面積的兩倍

解

例1求半徑為R的球的表面積

反常積分34例2.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.35提示

取半球體的對(duì)稱軸為z軸,原點(diǎn)取在球心上

解

例3求半徑為a的均勻半球體的質(zhì)心

半球體所占空間閉區(qū)可表示為{(x

y

z)|x2y2z2a2

z0}

提示

36例4.求半徑為a

的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:

建立坐標(biāo)系如圖,的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.37解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,

則例5.求均勻球體對(duì)于過球心的一