高等數(shù)學(xué)(下)教學(xué)課件-d8-1

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點(diǎn),

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量及其線性運(yùn)算第七章四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱(chēng)矢量).既有大小,又有方向的量稱(chēng)為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱(chēng)矢規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱(chēng)a與記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱(chēng)a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱(chēng)為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱(chēng)此k個(gè)向量共面.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

b相等,規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)3.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)與a定理1.

設(shè)a為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b與a同向,設(shè)又有b＝

a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.設(shè)a為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))證:“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對(duì)角ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為此式稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r

可用向徑機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

OM

表示.2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),于是得五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式例4.

求證以證:即為等腰三角形.為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求證以證:即為等腰三角形.為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角例5.

在z軸上求與兩點(diǎn)解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?等距離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.在z軸上求與兩點(diǎn)解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱(chēng)=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.類(lèi)似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦.

記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱(chēng)方向余弦的性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方向余弦的性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量例8.設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:已知軸的夾角依次為求點(diǎn)A的則因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑OA與x軸y第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束坐標(biāo).例8.設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:已知軸的夾角依次為求點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P123,5,13,14,15,18,19機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)備用題解:

因1.

設(shè)求向量在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在y軸上的分向量為故在x軸上的投影為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題解:因1.設(shè)求向量在x軸上的投影及在y軸上的2.設(shè)求以向量行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.該平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度各為對(duì)角線的長(zhǎng)為解：為邊的平機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)求以向量行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.該平行四邊形的對(duì)角機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點(diǎn),

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)量四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量及其線性運(yùn)算第七章四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱(chēng)矢量).既有大小,又有方向的量稱(chēng)為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱(chēng)矢規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱(chēng)a與記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱(chēng)a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱(chēng)為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱(chēng)此k個(gè)向量共面.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

b相等,規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)3.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)與a定理1.

設(shè)a為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b與a同向,設(shè)又有b＝

a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.設(shè)a為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))證:“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束“”則例1.設(shè)M為解:ABCD對(duì)角ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為此式稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r

可用向徑機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

OM

表示.2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:機(jī)動(dòng)例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),于是得五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式例4.

求證以證:即為等腰三角形.為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求證以證:即為等腰三角形.為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角例5.

在z軸上求與兩點(diǎn)解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?等距離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.在z軸上求與兩點(diǎn)解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱(chēng)=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.類(lèi)似可定義向量與軸