《復(fù)變函數(shù)A（改）》教學(xué)大綱（完整）

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復(fù)變函數(shù)A課程教學(xué)大綱

一、課程根本信息課程編號(hào)：202211033課程中文名稱：復(fù)變函數(shù)A

課程英文名稱：ComplexFunctionA課程性質(zhì)：自然科學(xué)與技術(shù)根基課程開課專業(yè)：數(shù)學(xué)專業(yè)或強(qiáng)理的工科專業(yè)開課學(xué)期：4總學(xué)時(shí)：56

（全部為理論學(xué)時(shí)）

總學(xué)分：3.5二、課程目標(biāo)復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一門主要的專業(yè)必修課，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌管復(fù)變函數(shù)的理論和方法，為學(xué)習(xí)有關(guān)后續(xù)課程和數(shù)學(xué)學(xué)識(shí)的進(jìn)展奠定必要的數(shù)學(xué)根基。

同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地分析和解決某些有關(guān)的理論和實(shí)際問題的才能，從而為從事教學(xué)、科研及其他實(shí)際工作打好根基。

三、教學(xué)根本要求本課程要求堅(jiān)韌掌管解析函數(shù)、柯西積分公式、級(jí)數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、分式線性變換等內(nèi)容。要求一般掌管整函數(shù)與亞純函數(shù)、解析開拓、調(diào)和函數(shù)及狄里克萊問題等內(nèi)容。教學(xué)中要求抓住問題的實(shí)質(zhì)，把概括的數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)背景與數(shù)學(xué)內(nèi)涵講領(lǐng)會(huì)。概括為：

（1）了解復(fù)函數(shù)的概念及性質(zhì)，正確熟悉解析函數(shù)的特性，深刻了解多值函數(shù)的內(nèi)涵，解決多值函數(shù)函數(shù)值得計(jì)算問題；（2）掌管復(fù)變函數(shù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)的一些重要性質(zhì)；了解解析函數(shù)性質(zhì)在實(shí)際中的簡(jiǎn)樸應(yīng)用；（3）掌管留數(shù)定理，并利用其計(jì)算三種典型的實(shí)積分，以及在利用復(fù)函數(shù)計(jì)算實(shí)積分時(shí)，應(yīng)能夠處理多值函數(shù)的積分計(jì)算；（4）掌管保形映射的性質(zhì)，會(huì)舉行常見區(qū)域的保性映射；了解黎曼定理。

四、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)調(diào)配1

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

(4學(xué)時(shí))1.1復(fù)數(shù)及其集合表示

復(fù)數(shù)域，復(fù)平面，復(fù)球面1.2復(fù)平面的拓?fù)?/p>

區(qū)域的概念曲線純熟掌管復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算。了解區(qū)域的概念。了解復(fù)變函數(shù)的概念。掌管復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念。

2解析函數(shù)

(14學(xué)時(shí))2.1解析函數(shù)

連續(xù)性與極限，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解析函數(shù)的概念，柯西黎曼條件2.2初等函數(shù)

指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)。三角函數(shù)，雙曲函數(shù)，反三角函數(shù)了解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)變函數(shù)解析的概念。掌管復(fù)變函數(shù)解析的充要條件。了解調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系，掌管從解析函數(shù)的實(shí)（虛）部求其虛（實(shí)）部的方法。

了解指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的定義及它們的主要性質(zhì)，了解多值函數(shù)的支點(diǎn)與割線。

3復(fù)變函數(shù)積分

(6學(xué)時(shí))3.1柯西定理

復(fù)變函數(shù)積分的定義，積分存在的條件及其計(jì)算法和性質(zhì)，

柯西定理3.2柯西積分公式柯西積分公式，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，莫拉雷定理掌管復(fù)變函數(shù)積分的定義，了解其性質(zhì)，會(huì)求復(fù)變函數(shù)的積分。掌管柯西積分定理，掌管柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式。了解解析函數(shù)無窮階可導(dǎo)的性質(zhì)。

4級(jí)數(shù)

(10學(xué)時(shí))4.1級(jí)數(shù)和序列的根本性質(zhì)

復(fù)數(shù)項(xiàng)數(shù)列的極限，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)的概念，收斂圓與收斂半徑

4.2

泰勒展式

解析函數(shù)的泰勒展式，零點(diǎn)的定義與判別方法，解析函數(shù)的唯一性4.3

洛朗展式

函數(shù)開展成洛朗級(jí)數(shù)，孤立奇點(diǎn)的定義與分類，解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的性質(zhì)，整函數(shù)與亞純函數(shù)掌管泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑，掌管洛朗開展定理及孤立奇點(diǎn)的分類，掌管將簡(jiǎn)樸的函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)鄰近開展為洛朗級(jí)數(shù)的間接法，了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的定義與性質(zhì)。

5留數(shù)

(12學(xué)時(shí))5.1一般理論

留數(shù)的定義及留數(shù)定理，留數(shù)的計(jì)算規(guī)矩5.2留數(shù)計(jì)算的應(yīng)用

用留數(shù)定理計(jì)算計(jì)算幾類實(shí)積分，亞純函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，魯歇定理了解留數(shù)的概念，掌管極點(diǎn)處留數(shù)的求法，掌管留數(shù)定理，掌管用留數(shù)求簡(jiǎn)樸閉曲線積分的方法，會(huì)用留數(shù)求一些實(shí)積分，會(huì)使用魯歇定理。

6保形映射

(10學(xué)時(shí))6.1單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)

單葉解析函數(shù)的定義，解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義6.2分式線性函數(shù)及其映射性質(zhì)

分式線性函數(shù)的定義，分式線性函數(shù)的保形性、保圓性、保對(duì)稱性，兩個(gè)特殊的分式線性映射6.3黎曼定理

黎曼定理及邊界對(duì)應(yīng)概念，幾個(gè)保形映射的例子掌管解析函數(shù)的保角性質(zhì)，掌管線性映射的性質(zhì)和分式線性映射的保圓性及保對(duì)稱性，會(huì)求一些簡(jiǎn)樸區(qū)域（如：平面、半平面，角形域，圓，帶形域等）之間的保形映射。

五、教學(xué)方法及手段本課程教學(xué)方法和教學(xué)手段以理論教學(xué)（課堂講授）為主，以黑板板書與現(xiàn)代教導(dǎo)手段相結(jié)合的教學(xué)方法；并在教學(xué)活動(dòng)中，采用比較教學(xué)法、數(shù)學(xué)軟件幾何化教學(xué)法等方法。

六、測(cè)驗(yàn)（或）上機(jī)內(nèi)容無七、前續(xù)課程、后續(xù)課程前續(xù)課程：《微積分》后續(xù)課程：《微分方程》、《積分變換》、《泛函分析》等課程八、參考教材及學(xué)習(xí)資源[1]余家榮.復(fù)變函數(shù)（第三版）。高等教導(dǎo)出版社，2000[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)。高等教導(dǎo)出版社，2022[3]A.F.Beardon.ComplexAnalysis.Springer-Verlag,1979