實(shí)驗(yàn)七 數(shù)據(jù)擬合

實(shí)驗(yàn)7：數(shù)據(jù)擬合一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x了解最小二乘擬合的基本原理和方法；掌握用MATLAB作最小二乘多項(xiàng)式擬合和曲線擬合的方法；通過實(shí)例學(xué)習(xí)如何用擬合方法解決實(shí)際問題。了解各種參數(shù)辨識的原理和方法；通過范例展現(xiàn)由機(jī)理分析確定模型結(jié)構(gòu)，擬合方法辨識參數(shù)，誤差分析等求解實(shí)際問題的過程；通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，掌握幾種基本的參數(shù)辨識方法，了解擬合的幾種典型應(yīng)用，觀察不同方法得出的模型的準(zhǔn)確程度，學(xué)習(xí)參數(shù)的誤差分析，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模過程。這對于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)的思維方法，熟悉處理大量的工程計(jì)算問題的方法具有十分重要的意義。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用MATLAB中的函數(shù)作一元函數(shù)的多項(xiàng)式擬合與曲線擬合，作出誤差圖；用MATLAB中的函數(shù)作二元函數(shù)的最小二乘擬合，作出誤差圖；針對預(yù)測和確定參數(shù)的實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，并求解。三、實(shí)驗(yàn)步驟開啟軟件平臺——MATLAB,開啟MATLAB編輯窗口；根據(jù)各種數(shù)值解法步驟編寫M文件3.保存文件并運(yùn)行；觀察運(yùn)行結(jié)果(數(shù)值或圖形)；根據(jù)觀察到的結(jié)果寫出實(shí)驗(yàn)報告，并淺談學(xué)習(xí)心得體會。四、實(shí)驗(yàn)任務(wù)1、線性最小二乘擬合命令：a=polyfit(x,y,rn)，其中x,y為要擬合的數(shù)據(jù)，m為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出參數(shù)a為擬合多項(xiàng)式y(tǒng)=axm+axm-1+...+ax+a的系數(shù)12mm+1a=[a「a2,…,a『.多項(xiàng)式在x處的值y可由下面的程序得到：y^olyval(a,x)非線性最小二乘擬合命令：Isqcurvefit設(shè)已知xdata=(xdataj,xdata2,...,xdata),ydata=(ydata,ydata*...,ydata),Isqcurvefit用以求含參量x(向量)的向量值函數(shù)F(x,data)=(F(x,xdata1),...,F(x,xdatan))T中的參變量x(向量)，使得*(F(x,xdata)-ydata)2最小.i=1輸入格式：x=lsqcurvefit('fun’，x0,xdata,ydata)，其中'fun’為事先建立的定義函數(shù)F(x,data)的m文件，自變量為x和xdata.x0為迭代初值，xdata,ydata為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)。輸出目標(biāo)函數(shù)值的格式為：f=fun(x,xdata)例1有一只對溫度敏感的電阻，已經(jīng)測得了一組溫度t和電阻R的數(shù)據(jù):試建立R和t關(guān)系。t(0C)20.532.751.073.095.7R(C)7658268739421032解：先看一下溫度與電阻大概存在什么關(guān)系：輸入如下命令:t=[20.532.7517395.7];R=[7658268739421032];plot(t,R,'r*')xlabel('t'),ylabel('R')aa=polyfit(t,R,1)R1=polyval(aa,t);plot(t,R,’r.’,t,R1,’-‘)吒（千冊）123吒（千冊）12345678910yi（元）10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15所得關(guān)系方程：R=3.3987t+702.0968例2一冊書的成本費(fèi)y與印刷的冊數(shù)x有關(guān)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下試用y=a+b/x去擬合以上數(shù)據(jù)。Matlab程序：x=1:10;x1=1./x;y=[10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15];A=polyfit(x1,y,1)z=polyval(A,x1);iii=1(1)輸入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,’k+’，x,z,’r’)％做出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形(2)計(jì)算結(jié)果：A=-9.810820.1293-0.0317即f(x)=-9.8108X2+20.1293X-0.0317例4設(shè)一發(fā)射源強(qiáng)度公式為I=仲，觀測數(shù)據(jù)如下：ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56試用最小二乘法確定I與t的關(guān)系式。解：/=10e-atnlnI=In10一at將觀測數(shù)據(jù)化為ti0.20.30.40.50.60.70.8lnI.i1.15060.86710.55960.28270.0000-0.3011-0.5798用Matlab編程如下：x=[0.2:0.1:0.8];y=[1.1060.86710.55960.28270.0000-0.3011-0.5789];a=polyfit(x,y,1)運(yùn)行程序得結(jié)果：a(1)=-2.89,a(2)=1.73所以lnI=1.73-2.89t于是I(t)=exp(1.73-2.89t)=5.64exp(-2.89t).

例5用下面一組數(shù)據(jù)擬合c(t)=a+be。皿如中的參數(shù)a,b,ktj1002003004005006007008009001000cX10-34.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59該問題即解最優(yōu)化問題:minF(tj1002003004005006007008009001000cX10-34.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59該問題即解最優(yōu)化問題:j=i解法.用命令I(lǐng)sqcurvefitF(x，tdata)=(a+be-0.02kt1,,a+be-0.02kti0)t，x=(a，b，k)1)編寫M-文件curvefunl.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2)輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)3）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）結(jié)論:a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542五、實(shí)驗(yàn)作業(yè)1.數(shù)據(jù)擬合Malthus人口指數(shù)增長模型中參數(shù)從1790—1980年間美國每隔10年的人口記錄如下表:年份1790180018101820183018401850人口(X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(X106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(X106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5用以上數(shù)據(jù)檢驗(yàn)馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長模型，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步討論馬爾薩斯人口模型的改進(jìn)。提示：Malthus模型的基本假設(shè)是：人口的增長率為常數(shù)，記為r。記時刻t的人口為x(t)，(即x(t)為模型的狀態(tài)變量)且初始時刻的人口為x0于是得到如下微分方程:'虹n]dt[x(0)=x0需要先求微分方程的解，再用數(shù)據(jù)擬合模型中的參數(shù)。2.舊車價格預(yù)測某年美國舊車價格的調(diào)查資料如下表，其中xi表示轎車的使用年數(shù)，y.表示相應(yīng)的平均價格。試分析用什么形式的曲線來擬合上述的數(shù)據(jù)，并預(yù)測使用4.5年后轎車的平均價格大致為多少？X.12345678910y.2615194314941087765538484290226204經(jīng)濟(jì)增長模型增加生產(chǎn)、發(fā)展經(jīng)濟(jì)所依靠的主要因素有增加投資、增加勞動力以及技術(shù)革新等，在研究國民經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值與這些因素的數(shù)量關(guān)系時，由于技術(shù)水平不像資金、勞動力那樣容易定量化，作為初步的模型，可認(rèn)為技術(shù)水平不變，只討論產(chǎn)值和資金、勞動力之間的關(guān)系。在科學(xué)技術(shù)發(fā)展不快時，如資本主義經(jīng)濟(jì)發(fā)展的前期，這種模型是有意義的。用Q，K，L分別表示產(chǎn)值、資金、勞動力，要尋求的數(shù)量關(guān)系Q（K,L）。經(jīng)過簡化假設(shè)與分析，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，推導(dǎo)出一個著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)：Q（K,L）=aKL&，0<a,你1（*）式中a,6，a要由經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定?，F(xiàn)有美國馬薩諸塞州1900—1926年上述三個經(jīng)濟(jì)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如下表，試用數(shù)據(jù)擬合的方法，求出式（*）中的參數(shù)a,6，a。tQKLtQKL19001.051.041.0519142.013.241.6519011.181.061.0819152.003.241.6219021.291.161.1819162.093.611.8619031.301.221.2219171.964.101.9319041.301.271.1719182.204.361.9619051.421.371.3019192.124.771.9519061.501.441.3919202.164.751.9019071.521.531.4719212.084.541.5819081.461.571.3119222.244.541.6719091.602.051.4319232.564.581.821