23連續(xù)性隨機變量及其概率密課件

23連續(xù)性隨機變量及其概率密課件12.3連續(xù)型隨機變量及其分布密度2.3連續(xù)型隨機變量及其分布密度2實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測誤差”.則X的取值范圍為(a,b)內的任一值.實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.則X的取值范圍為

2.3.1連續(xù)型隨機變量考慮X在某一區(qū)間內取值的概率，利用分布函數(shù)來研究X取值的概率實例2隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測誤差”.則3質量線密度在物理學中，求非均勻質細棒的質量令(x)為分布在區(qū)間（－∞，x]上的質量分布的線密度令m(x)為分布在區(qū)間（－∞，x]上的質量質量線密度在物理學中，求非均勻質細棒的質量令(x)為分布在4考慮X在某一區(qū)間內取值的概率可引入概率密度函數(shù)f(x)考慮X在某一區(qū)間內取值的概率可引入5定義2.3.1連續(xù)型隨機變量的定義設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱X為連續(xù)隨機變量，若存在非負可積函數(shù)f(x)

，滿足：稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).定義2.3.1連續(xù)型隨機變量的定義設隨機變量X的分布函數(shù)為6xf(x)xxf(x)x723連續(xù)性隨機變量及其概率密課件81非負性2規(guī)范性3F(x)在（－∞，＋∞）上為4若f(x)在x處連續(xù)，則f(x)=?5P{X=a}=?相關性質連續(xù)函數(shù)1非負性2規(guī)范性3F(x)在（－∞，＋∞）上為4若f(x)在9重要結論P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{a≤X≤b}=F(b)F(a).重要結論P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{10講講練練講講練練11例1.

判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù)這是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)例1.判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù)這是連續(xù)型隨機變量的1201?1這是既非離散又非連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。01?1這是既非離散又非連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。13例2

設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為(1)確定A、B

的值;(2)求

;(3)求

X的概率密度.例2設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為(1)確定A、B14解:即解:即15(2)(3)(2)(3)16例3例317解:由解:由18x的取值范圍分布函數(shù)當x<0時當0≤x<

3時當3≤x<4時當4≤x時故X的概率密度函數(shù)為x的取值范圍分布函數(shù)當x<0時當0≤x<3時當3≤19(3)(3)202.3.2幾種常見連續(xù)型分布2.3.2幾種常見連續(xù)型分布21均勻分布密度函數(shù)的圖形2.3.2.1.均勻分布Uniform均勻分布密度函數(shù)的圖形2.3.2.1.均勻分布Unifo222.3.2.1.均勻分布Uniform則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作2.3.2.1.均勻分布Uniform則稱X服從區(qū)間23XXabxll0

結論：

在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布的隨機變量X

，落在區(qū)間（a,b）中任意等長度的子區(qū)間內的可能性是相同的均勻分布的特性若(c,c+l)∈（a,b）XXabxll0結論：均勻分布的特性若(c,c+l)24均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù)25講講練練講講練練26解:設該乘客于7時X分到達此站則X服從區(qū)間[0,30]上的均勻分布例1

設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量．試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率令B={候車時間不超過5分鐘}解:設該乘客于7時X分到達此站則X服從區(qū)間[0,27令B={候車時間不超過5分鐘}例1

設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量．試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率令B={候車時間不超過5分鐘}例1設公共汽車站從上午7時28例2.

若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0

有實根的概率是多少？方程y2+Xy+1=0

有實根【解】=0例2.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，方程29實例：無線電元件的壽命,電力設備的壽命,

動物的壽命實例：3023連續(xù)性隨機變量及其概率密課件312.3.2.2.指數(shù)分布Exponential

記為：X~E(θ)2.3.2.2.指數(shù)分布Exponential記為：X32指數(shù)分布f(x)的圖形指數(shù)分布f(x)的圖形33指數(shù)分布的分布函數(shù)F(x)指數(shù)分布的分布函數(shù)F(x)34指數(shù)分布的分布函數(shù)的圖形指數(shù)分布的分布函數(shù)的圖形35例題講解例題講解36設某電子元件的使用壽命X(單位：h）是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為（1）求壽命超過100h的概率；（2）已知該元件已正常使用200h，求它至少還能正常使用100h的概率.例設某電子元件的使用壽命X(單位：h）是一個連續(xù)型隨機變量，其37（1）壽命超過100h的概率=（2）已知該元件已正常使用200h，它至少還能正常使用100h的概率=電子元件的使用壽命X（1）壽命超過100h的概率=（2）已知該元件已正常使用2038指數(shù)分布的

無記憶性性質2.3.1

對于任意的

s,t>0,有也稱指數(shù)分布“永遠年輕”指數(shù)分布的

無記憶性性質2.3.1對于任意的391.測量誤差，2.植株的高度，3.各種產品的質量指標（零件的尺寸、材料的強度），4.動物的體重，人的身高，5.健康人紅血球的數(shù)目，6.年降雨量，7.某班學生的考試成績等等…實例直徑體重身高1.測量誤差，實例直徑體重身高402.3.2.3.正態(tài)分布2.3.2.3.正態(tài)分布412.3.2.3.正態(tài)分布

NormalDistribution記作

則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布,

2.3.2.3.正態(tài)分布

NormalDistrib42正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的圖形正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的圖形43（1）曲線關于

對稱（2）當時，取得最大值

正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)的幾何特征（1）曲線關于對稱（2）當44正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)的幾何特征正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)的幾何特征45正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征（4）曲線在處有拐點（5）曲線以x

軸為漸近線正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征（4）曲線在46（6）當固定

,

改變的大小時，

f(x)

圖形的形狀不變，只是沿著x

軸作平移變換μ，σ對密度曲線的影響（6）當固定,改變的大小時，μ，σ對密度曲線的47μ，σ對密度曲線的影響（7）當固定

,改變的大小時，

f(x)圖形的對稱軸不變，而形狀在改變越小，圖形越高越瘦；越大，圖形越矮越胖μ，σ對密度曲線的影響（7）當固定,改變的大小時，48正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x)的圖形正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x)的圖形490.50.50.50.550是偶函數(shù)，標準正態(tài)分布:X~N(0,1)X的密度函數(shù)是偶函數(shù)，標準正態(tài)分布:X~N(0,1)X的密度函數(shù)51標準正態(tài)分布密度函數(shù)x)的圖形標準正態(tài)分布密度函數(shù)x)的圖形52分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.標準正態(tài)分布的分布函數(shù)分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.標準正態(tài)分布的分布函數(shù)53標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性54標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性分布函數(shù)x-x

標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性分布函數(shù)x-x55標準正態(tài)分布的概率計算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥a}=P{a≤X≤b}=P{│X│≤b}=P{a≤│X│}=標準正態(tài)分布的概率計算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥56查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│X│≤1}=查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│57一般正態(tài)分布的標準化一般正態(tài)分布的標準化58的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為59定理2.3.1定理2.3.160推論1標準正態(tài)分布的重要性：任何一個一般的正態(tài)分布都可以

通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.一般正態(tài)分布的標準化推論1標準正態(tài)分布的重要性：一般正態(tài)分布的標準化61X~N(,2)標準化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P{a≤X≤b}=4P{│X│≤b}=5P{a≤│X│}=X~N(,2)標準化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P62講講練練講講練練63(1)已知X~N(3,22),

且P{X>k}=P{X≤k},

則k=().例13(1)已知X~N(3,22),且例1364(2)設X~N(,42),

Y~N(,52),

記

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥+5},

則()①對任意的

，都有p1=

p2

②對任意的

，都有p1<

p2

③只個別的

，才有

p1=

p2

④對任意的

，都有p1

>

p2①(2)設X~N(,42),Y~N(,65(3)設X~N(,2),

則隨的增大，

概率

P{|X

|<}()①單調增大②

單調減少③

保持不變④

增減不定③(3)設X~N(,2),則隨的增大66(4)設X~N(,1),

分布函數(shù)為F(x),則對任意的

有()①F(x+)=F(x–),②F(x+)=F(–x)③F(x+)+F(x–)=1④F(x+)+F(–x)=1④(4)設X~N(,1),分布函數(shù)為F(x),67解:(1)例2.

設隨機變量，試求:（1）；（2）

;

（3）解:(1)例2.設隨機變量68

(2)(2)6923連續(xù)性隨機變量及其概率密課件70練習

已知且P(2<X<4)=0.3,則P(X<0)=.練習已知且P(2<X<4)=0.3,71

應用：公共汽車車門的高度是按成年男子與車門碰頭的機會小于0.01設計的，設我國成年男子的平均身高為=168cm，標準差為=7，求車門的最低高度.解:成年男子的身高X~N(168,72)設車門的高度為h應用：公共汽車車門的高度解:成年男子的身高X~N(16872上分位點定義2.3.5上分位點定義2.3.573Z

0.0010.0050.010.0250.05

0.11.6452.3272.5761.96常用標準正態(tài)分布的分位數(shù)3.0901.282Z0.0010.0050.010.0250.050.740.9974F(x)3準則是小概率事件0.9974F(x)3準則是小概率事件75在應用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|＞3}的值.3

原則如在質量控制中，常用標準指標值±3作兩條線，當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產出現(xiàn)異常.在應用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|＞7623連續(xù)性隨機變量及其概率密課件7723連續(xù)性隨機變量及其概率密課件782.3連續(xù)型隨機變量及其分布密度2.3連續(xù)型隨機變量及其分布密度79實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測誤差”.則X的取值范圍為(a,b)內的任一值.實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.則X的取值范圍為

2.3.1連續(xù)型隨機變量考慮X在某一區(qū)間內取值的概率，利用分布函數(shù)來研究X取值的概率實例2隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測誤差”.則80質量線密度在物理學中，求非均勻質細棒的質量令(x)為分布在區(qū)間（－∞，x]上的質量分布的線密度令m(x)為分布在區(qū)間（－∞，x]上的質量質量線密度在物理學中，求非均勻質細棒的質量令(x)為分布在81考慮X在某一區(qū)間內取值的概率可引入概率密度函數(shù)f(x)考慮X在某一區(qū)間內取值的概率可引入82定義2.3.1連續(xù)型隨機變量的定義設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱X為連續(xù)隨機變量，若存在非負可積函數(shù)f(x)

，滿足：稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).定義2.3.1連續(xù)型隨機變量的定義設隨機變量X的分布函數(shù)為83xf(x)xxf(x)x8423連續(xù)性隨機變量及其概率密課件851非負性2規(guī)范性3F(x)在（－∞，＋∞）上為4若f(x)在x處連續(xù)，則f(x)=?5P{X=a}=?相關性質連續(xù)函數(shù)1非負性2規(guī)范性3F(x)在（－∞，＋∞）上為4若f(x)在86重要結論P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{a≤X≤b}=F(b)F(a).重要結論P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{87講講練練講講練練88例1.

判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù)這是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)例1.判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù)這是連續(xù)型隨機變量的8901?1這是既非離散又非連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。01?1這是既非離散又非連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。90例2

設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為(1)確定A、B

的值;(2)求

;(3)求

X的概率密度.例2設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為(1)確定A、B91解:即解:即92(2)(3)(2)(3)93例3例394解:由解:由95x的取值范圍分布函數(shù)當x<0時當0≤x<

3時當3≤x<4時當4≤x時故X的概率密度函數(shù)為x的取值范圍分布函數(shù)當x<0時當0≤x<3時當3≤96(3)(3)972.3.2幾種常見連續(xù)型分布2.3.2幾種常見連續(xù)型分布98均勻分布密度函數(shù)的圖形2.3.2.1.均勻分布Uniform均勻分布密度函數(shù)的圖形2.3.2.1.均勻分布Unifo992.3.2.1.均勻分布Uniform則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作2.3.2.1.均勻分布Uniform則稱X服從區(qū)間100XXabxll0

結論：

在區(qū)間（a,b）上服從均勻分布的隨機變量X

，落在區(qū)間（a,b）中任意等長度的子區(qū)間內的可能性是相同的均勻分布的特性若(c,c+l)∈（a,b）XXabxll0結論：均勻分布的特性若(c,c+l)101均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù)102講講練練講講練練103解:設該乘客于7時X分到達此站則X服從區(qū)間[0,30]上的均勻分布例1

設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量．試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率令B={候車時間不超過5分鐘}解:設該乘客于7時X分到達此站則X服從區(qū)間[0,104令B={候車時間不超過5分鐘}例1

設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量．試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率令B={候車時間不超過5分鐘}例1設公共汽車站從上午7時105例2.

若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0

有實根的概率是多少？方程y2+Xy+1=0

有實根【解】=0例2.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，方程106實例：無線電元件的壽命,電力設備的壽命,

動物的壽命實例：10723連續(xù)性隨機變量及其概率密課件1082.3.2.2.指數(shù)分布Exponential

記為：X~E(θ)2.3.2.2.指數(shù)分布Exponential記為：X109指數(shù)分布f(x)的圖形指數(shù)分布f(x)的圖形110指數(shù)分布的分布函數(shù)F(x)指數(shù)分布的分布函數(shù)F(x)111指數(shù)分布的分布函數(shù)的圖形指數(shù)分布的分布函數(shù)的圖形112例題講解例題講解113設某電子元件的使用壽命X(單位：h）是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為（1）求壽命超過100h的概率；（2）已知該元件已正常使用200h，求它至少還能正常使用100h的概率.例設某電子元件的使用壽命X(單位：h）是一個連續(xù)型隨機變量，其114（1）壽命超過100h的概率=（2）已知該元件已正常使用200h，它至少還能正常使用100h的概率=電子元件的使用壽命X（1）壽命超過100h的概率=（2）已知該元件已正常使用20115指數(shù)分布的

無記憶性性質2.3.1

對于任意的

s,t>0,有也稱指數(shù)分布“永遠年輕”指數(shù)分布的

無記憶性性質2.3.1對于任意的1161.測量誤差，2.植株的高度，3.各種產品的質量指標（零件的尺寸、材料的強度），4.動物的體重，人的身高，5.健康人紅血球的數(shù)目，6.年降雨量，7.某班學生的考試成績等等…實例直徑體重身高1.測量誤差，實例直徑體重身高1172.3.2.3.正態(tài)分布2.3.2.3.正態(tài)分布1182.3.2.3.正態(tài)分布

NormalDistribution記作

則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布,

2.3.2.3.正態(tài)分布

NormalDistrib119正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的圖形正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的圖形120（1）曲線關于

對稱（2）當時，取得最大值

正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)的幾何特征（1）曲線關于對稱（2）當121正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)的幾何特征正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)的幾何特征122正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征（4）曲線在處有拐點（5）曲線以x

軸為漸近線正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征（4）曲線在123（6）當固定

,

改變的大小時，

f(x)

圖形的形狀不變，只是沿著x

軸作平移變換μ，σ對密度曲線的影響（6）當固定,改變的大小時，μ，σ對密度曲線的124μ，σ對密度曲線的影響（7）當固定

,改變的大小時，

f(x)圖形的對稱軸不變，而形狀在改變越小，圖形越高越瘦；越大，圖形越矮越胖μ，σ對密度曲線的影響（7）當固定,改變的大小時，125正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x)的圖形正態(tài)分布的分布函數(shù)F(x)的圖形1260.50.50.50.5127是偶函數(shù)，標準正態(tài)分布:X~N(0,1)X的密度函數(shù)是偶函數(shù)，標準正態(tài)分布:X~N(0,1)X的密度函數(shù)128標準正態(tài)分布密度函數(shù)x)的圖形標準正態(tài)分布密度函數(shù)x)的圖形129分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.標準正態(tài)分布的分布函數(shù)分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.標準正態(tài)分布的分布函數(shù)130標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性131標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性分布函數(shù)x-x

標準正態(tài)分布的分布函數(shù)特性分布函數(shù)x-x132標準正態(tài)分布的概率計算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥a}=P{a≤X≤b}=P{│X│≤b}=P{a≤│X│}=標準正態(tài)分布的概率計算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥133查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│X│≤1}=查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│134一般正態(tài)分布的標準化一般正態(tài)分布的標準化135的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為136定理2.3.1定理2.3.1137推論1標準正態(tài)分布的重要性：任何一個一般的正態(tài)分布都可以

通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.一般正態(tài)分布的標準化推論1標準正態(tài)分布的重要性：一般正態(tài)分布的標準化138X~N(,2)標準化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P{a≤X≤b}=4P{│X│≤b}=5P{a≤│X│}=X~N(,2)標準化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P139講講練練講講練練140(1)已知X~N(3,22),

且P{X>k}=P{X≤k},

則k=().例13(1)已知X~N(3,22),且例13141(2)設X~N(,42),

Y~N(,52),

記

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥+5},

則()①對任意的

，都有p1=

p2

②對任意的

，都有p1<

p2

③只個別的

，才有

p1=

p2

④對任意的

，都有p1

>

p2①(2)設X~N(,42),Y~N(,142(3)設X~N(