03-5-計算固有頻率的近似法解讀課件

★在工程實際問題中，存在大量的質(zhì)量和剛度不均勻分布的連續(xù)系統(tǒng)的振動問題，由于一般無法得到精確的解析解，因此近似計算方法就成為工程實際問題中十分重要解法?！餆o論是有限自由度系統(tǒng)還是無限自由度系統(tǒng)，當以某一特定的振動形狀作自由振動時，該系統(tǒng)就在各點平衡位置附近以自振頻率作簡諧運動?！锴筮B續(xù)系統(tǒng)固有頻率常用的近似方法：瑞利法；瑞利—里茲法；假定振型法3.7計算固有頻率的近似方法例如：梁橫向振動的振型函數(shù)方程為對于變截面梁的彎曲振動，陣型函數(shù)為變系數(shù)四階常微分方程，一般無法求得解析解！★在工程實際問題中，存在大量的質(zhì)量和剛度不均勻分布的連續(xù)系統(tǒng)

根據(jù)能量守恒原理，對于保守系統(tǒng)其總能量是常數(shù)，故最大動能Tmax和最大勢能Umax應(yīng)相等，即

對于任何一個連續(xù)系統(tǒng)，只要近似地給出一個滿足邊界條件的第一階振型函數(shù)，并獲得系統(tǒng)的動能和勢能，就可對基頻進行估算。瑞利法(能量法)就是根據(jù)機械能守恒定律得到的計算基頻的近似方法，它不僅適用于離散系統(tǒng)，同樣也適用于連續(xù)系統(tǒng)。3.7.1

瑞利法根據(jù)能量守恒原理，對于保守系統(tǒng)其總能量是常數(shù)，故最大★如果梁以某一階固有頻率作固有振動，設(shè)梁的振型函數(shù)Y(x)，它滿足梁的邊界條件，則梁在振動過程中任一瞬時的位移、速度為★不考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響，動能和勢能為★如果梁以某一階固有頻率作固有振動，設(shè)梁的振型函數(shù)Y(x)，★在偏離平衡位置最遠距離處，梁具有最大彈性勢能上式表明，當所假設(shè)振型函數(shù)Y(x)恰好是某一階實際振型函數(shù)時，即可計算出該階固有頻率的精確解。事實上，由于不能預(yù)知各階實際的振型函數(shù)，一般只能近似地給出第一階振型函數(shù)。因此，瑞利法只適用于估算基頻?！锔鶕?jù)機械能守恒定律得★在靜平衡位置，梁具有最大動能—稱為參考動能?！镌谄x平衡位置最遠距離處，梁具有最大彈性勢能上★當梁上有集中質(zhì)量，在計算動能時應(yīng)計入集中質(zhì)量的動能。若在xi(i=1,2,…,n)處有集中質(zhì)量mi(i=1,2,…,n)

，則梁的最大動能為★當梁上xi(i=1,2,…,n)處有剛度ki(i=1,2,…,n)和扭轉(zhuǎn)剛度ki(i=1,2,…,n)的彈性支承時，則梁的最大勢能為★當梁上有集中質(zhì)量，在計算動能時應(yīng)計入集中質(zhì)量的動能。若在x★在假設(shè)第一階振型函數(shù)時，應(yīng)盡量接近實際振型。例如，有一試探振型函數(shù)X(x)，滿足邊界條件，同時具有各階導(dǎo)數(shù)?！锶粲肵(x)代替上述公式中的Y(x)，則得梁彎曲振動的瑞利商★在假設(shè)第一階振型函數(shù)時，應(yīng)盡量接近實際振型。例如，有一試探★瑞利商R(X)為一個泛函，它決定于試探函數(shù)X(x)?！镉捎跍蚀_確定高階試探函數(shù)存在困難，通常選用靜撓度曲線作為第一階振型函數(shù)的試探函數(shù)，計算系統(tǒng)基頻的近似值?！锟梢宰C明，如果試探函數(shù)X(x)與系統(tǒng)振型函數(shù)Y(x)相差一階小量，則瑞利商基頻近似值與精確值之間相差二階小量?！镉捎谟眉僭O(shè)的試探函數(shù)代替精確的第一階振型函數(shù)，相當于給系統(tǒng)施加了約束，增加了系統(tǒng)剛度，因此將使固有頻率值提高，也就是說R(X)給出了系統(tǒng)固有頻率的上限。問題：瑞利商基頻計算結(jié)果與實際基頻比較，大或??？★瑞利商R(X)為一個泛函，它決定于試探函數(shù)X(x)。★由于★另外，前面所講的弦的橫向振動，桿的縱向振動和軸的扭轉(zhuǎn)振動等，同樣可用瑞利法計算基頻?！飳τ诓煌倪B續(xù)系統(tǒng)，只是T*和Umax的具體表達式不同而已。為了表示一般情況，以R表示瑞利商，即此為瑞利商的一般表達式?！锪硗?，前面所講的弦的橫向振動，桿的縱向振動和軸的扭轉(zhuǎn)振動等例1長為L，彎曲剛度為EJ，單位長度分布質(zhì)量為m的懸臂梁，在其自由端有集中質(zhì)量2M(M=mL)。試用瑞利法求梁彎曲振動的基頻。解：(1)采用分布載荷作用下梁的靜撓度曲線為試探振型式中可以驗算該函數(shù)滿足懸臂梁根部的位移和轉(zhuǎn)角為零的幾何邊界條件，即選擇為試探振型函數(shù)例1長為L，彎曲剛度為EJ，單位長度分布質(zhì)量為m的懸臂梁將試探振型以及試探振型的二次導(dǎo)數(shù)代入瑞利商計算式，并注意到梁上沒有彈性支承將試探振型以及試探振型的二次導(dǎo)數(shù)代入瑞利商計算式，并注意到梁計算積分，并代入M=mL，則求得精確解可見估計值與精確值的誤差為2.8%。計算積分，并代入M=mL，則求得精確解可見估計值與精確值的誤(2)采用無自重懸臂梁在端部集中載荷作用下的靜撓度曲線作為試探振型函數(shù)式中驗算表明，該函數(shù)滿足懸臂梁根部的位移和轉(zhuǎn)角為零的幾何邊界條件。選擇該函數(shù)為試探振型函數(shù)，其二次導(dǎo)數(shù)為代入式瑞利商計算式，固有頻率為懸臂梁在端部集中載荷作用下的靜撓度曲線為(2)采用無自重懸臂梁在端部集中載荷作用下的靜撓度曲線作為試計算積分，并代入M=mL，則求得可見，估計值僅比精確解高0.02%。

從本例兩種方案的計算結(jié)果可以看出，雖然兩種情況與精解都比較接近，但第二種要比第一種好，原因是本題中集中質(zhì)量比分布質(zhì)量影響大，其撓度曲線更接近于實際的第一階振型。若當懸臂梁質(zhì)量大于端部集中質(zhì)量時，則取受分布力作用的懸臂梁的靜撓度曲線是較合適的。精確解☆靜撓度曲線是最低階振型函數(shù)的一種很有效的近似形狀。計算積分，并代入M=mL，則求得可見，估計值僅比精確解高0.例2圖示變截面梁具有單位厚度，截面變化為A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0為根部截面積，設(shè)單位體積質(zhì)量為常數(shù)。試求彎曲振動基頻的近似值。解：由給定的條件，知截面積對中心主軸的慣性矩為為簡化計算，設(shè)冪函數(shù)為試探振型函數(shù)例2圖示變截面梁具有單位厚度，截面變化為A(x)=h(1-該試探振型函數(shù)滿足全部邊界條件將試探函數(shù)及其二階導(dǎo)函數(shù)代入瑞利商計算式，得該試探振型函數(shù)滿足全部邊界條件將試探函數(shù)及其二階導(dǎo)函數(shù)代入瑞基頻的近似值為精確值為由瑞利法求出的基頻較精確值高3.05%?；l的近似值為精確值為由瑞利法求出的基頻較精確值高3.05%

●瑞利-里茲法是在瑞利法的基礎(chǔ)上作了改進，可用以求出更精確的基頻。

●另外，瑞利-里茲法可以求得高階固有頻率和固有振型的近似值。

●瑞利-里茲法的基本思想是把連續(xù)系統(tǒng)離散化為有限自由度系統(tǒng)，然后根據(jù)機械能守恒定律進行計算。

●由于瑞利商提供了第一階固有頻率的上限(R

，可見瑞利-里茲法降低了基頻的估計值。3.7.2

瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法為什么？●瑞利-里茲法是在瑞利法的基礎(chǔ)上作了改進，可用以求出

按照瑞利-里茲法，任意連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)可以用線性組合的形式構(gòu)成式中U(x)為假定的試探振型函數(shù)，ai為待定系數(shù)；

ui(x)是由分析者指定的空間坐標x的函數(shù)。按照瑞利-里茲法，任意連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)可以用線關(guān)于試探振型函數(shù)★函數(shù)ui(x)應(yīng)滿足所有的邊界條件，至少必須滿足幾何邊界條件，同時必須彼此是獨立的。但ui(x)不同于振型函數(shù)，它不需要滿足系統(tǒng)的微分方程?！锖瘮?shù)ui(x)必須具有對自變量x的導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)的階數(shù)至少應(yīng)等于特征值問題的微分方程的階數(shù)。★系數(shù)ai的確定要使試探振型函數(shù)U(x)與系統(tǒng)的振型函數(shù)極為接近，數(shù)學上，這相當于去尋找使瑞利商有駐值的ai值。★在級數(shù)式中，用了n個函數(shù)ui(x)，實質(zhì)上是把一個無限自由度系統(tǒng)簡化為n個自由度系統(tǒng)，這種離散化方案相當于把約束an+1=an+2=…=0強加給了系統(tǒng)。因為約束會增加系統(tǒng)的剛度，所以估計的固有頻率就高于真實的固有頻率。★增加級數(shù)式中函數(shù)ui(x)的數(shù)目，一般能降低固有頻率的估計值(至少不會增大估計量)，這樣就從右側(cè)來逼近真實的固有頻率。關(guān)于試探振型函數(shù)★函數(shù)ui(x)應(yīng)滿足所有的邊界條件，至少必基本思想：使估計量瑞利商R(U)盡可能地接近真實值，就是使泛函R(U)成為駐值。而使R(U)成為駐值的必要條件是將R(U)分別對每個系數(shù)ar(r=1,2,…,n)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即有式中最大勢能Umax=Umax（a1，a2，…，an）和參考動能T*=T*（a1，a2，…，an）都是未知系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的函數(shù)。問題：給定函數(shù)ur(x)后，如何確定系數(shù)ar(r=1,2,…,n)

？基本思想：使估計量瑞利商R(U)盡可能地接近真實值，就是使泛因為瑞利商R=2=Umax/T*，則Umax、T*如何確定？因為瑞利商R=2=Umax/T*，則Umax、T*如何確定上式含義：將連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)假設(shè)為n個線性無關(guān)函數(shù)的線性組合。經(jīng)推導(dǎo)可以得到，連續(xù)系統(tǒng)的最大勢能和參考動能可以表示為n個未知系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的二次型，即式中系數(shù)kij和mij是對稱的,即有kij=kji，mij=mji(i,j=1,2,…,n)

。★因為關(guān)于該式的推導(dǎo)，下面再具體介紹。上式含義：將連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)假設(shè)為n個線性無關(guān)函數(shù)的線最大勢能、參考動能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)式中jr和ir為克朗尼格符號。參考動能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)可以寫成為最大勢能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)最大勢能、參考動能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)式中jr和ir為克朗顯然，上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩陣形式為式中，K和M為n×n階的對稱常數(shù)矩陣，分別稱為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。可得：可求得固有頻率和振型向量。顯然，上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩陣形式

●應(yīng)用瑞利-里茲法求解連續(xù)系統(tǒng)的特征值問題，由于選用級數(shù)形式的假設(shè)振型函數(shù)，所以比瑞利法有所改進。

●因為瑞利法只相當于取級數(shù)中的一項作為假設(shè)振型，因此求系統(tǒng)的基頻時，瑞利-里茲法求出的基頻的近似值比瑞利法求得的精度高。將{a(r)}代入試探振型函數(shù)，可得固有振型的近似解

●可以證明，振型函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)的分布質(zhì)量是正交的。●應(yīng)用瑞利-里茲法求解連續(xù)系統(tǒng)的特征值問題，由于選用解：(1)桿的縱向振動勢能

動能式中EA(x)為桿的軸向剛度，m(x)為單位長度質(zhì)量。令非均質(zhì)桿、軸和梁的最大勢能Umax和參考動能T*關(guān)于系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的二次型，并求kij和mij的表達式。例3

假設(shè)試探振型函數(shù)為推導(dǎo)變截面解：(1)桿的縱向振動勢能動能式中EA(x)為桿的軸向剛度最大勢能、最大動能和參考動能分別為將代入以上各式，可得式中最大勢能、最大動能和參考動能分別為將類似可得式中顯然，系數(shù)kij和mij是對稱的。關(guān)于軸的扭轉(zhuǎn)振動，只須將以上各式中的桿的軸向剛度EA(x)和單位長度質(zhì)量m(x)分別用軸的截面抗扭剛度GJ(x)和單位長度轉(zhuǎn)動慣量I(x)代替即可。(2)軸的扭轉(zhuǎn)振動類似可得式中顯然，系數(shù)kij和mij是對稱的。(3)梁的彎曲振動勢能動能令式中EJ(x)為彎曲剛度，E為彈性模量，J(x)為橫截面的慣性矩，m(x)為單位長度質(zhì)量。最大勢能、最大動能和參考動能分別為(3)梁的彎曲振動勢能動能令式中EJ(x)為彎曲剛度，E為彈式中將代入以上各式，可得式中★常數(shù)kij和mij是對稱的。式中將例4圖示變截面梁具有單位厚度，截面積變化為A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0為根部截面積，單位體積質(zhì)量為常數(shù)。用瑞利-里茲法計算梁的基頻。解：梁單位長度的質(zhì)量和彎曲剛度分別為取假設(shè)振型函數(shù)的試探函數(shù)為例4圖示變截面梁具有單位厚度，截面積變化為A(x)=h(1邊界條件驗證滿足所有邊界條件邊界條件驗證滿足所有邊界條件最大勢能可見，Umax和T*均是待定系數(shù)a1和a2的二次型。參考動能最大勢能可見，Umax和T*均是待定系數(shù)a1和a2的二次型。因此Umax對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)因此Umax對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)因此T*對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)因此T*對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)特征值問題令，得頻率方程為

即有可求得特征值問題令，得頻率方固有頻率為基頻的精確解為可見，由瑞利-里茲法求得的基頻更接近于精確值，誤差僅為0.09%。前面瑞利法給出基頻為固有頻率為基頻的精確解為可見，由瑞利-里茲法求得的基頻更接近瑞利-里茲法小結(jié)假定試探振型函數(shù)ai為待定系數(shù)瑞利商R(U)是待定系數(shù)ar(r=1,2,…,n)的函數(shù)瑞利商R(U)存在駐點的條件：連續(xù)系統(tǒng)的最大勢能和參考動能可以表示為n個待定系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的二次型瑞利商R(U)存在駐點的條件方程瑞利-里茲法小結(jié)假定試探振型函數(shù)ai為待定系數(shù)瑞利商R(U)上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩陣形式可得：可求得固有頻率和振型向量。瑞利-里茲法小結(jié)上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩例5在x=0端固定，在x=L端自由的變截面桿作縱向振動，設(shè)剛度與質(zhì)量分布為試用瑞利-里茲法求基頻的估計值。解：選取在x=0端固定、x=L端自由的等截面均質(zhì)桿的振型函數(shù)作為假設(shè)試探振型函數(shù)中的ui(x)，即顯然，函數(shù)ui(x)滿足所有邊界條件，同時又是相互獨立的。

例5在x=0端固定，在x=L端自由的變截面桿作縱向振動，kij和mij為：將函數(shù)ui(x)(i=1,2,…,n)和已知條件代入上面兩式，得kij和mij為：將函數(shù)ui(x)(i=1,2,…,n)和已(1)取n=1，從而得系數(shù)則特征值問題方程簡化為得出固有頻率的平方為這是基頻的首次近似，其結(jié)果和瑞利法所得到的結(jié)果完全一樣，這是因為只取了級數(shù)中的一項，瑞利-里茲法本質(zhì)上就退化成瑞利法。分別取n=1，n=2，n=3進行計算(1)取n=1，從而得系數(shù)則特征值問題方程簡化為得出固有頻率取n=2。得矩陣代入特征值方程，并解此特征值問題得和n=1比較，可以給出更精確的基頻估計量，同時還可以給出第二階固有頻率的首次估計量。n=1取n=2。得矩陣代入特征值方程，并解此特征值問題得和n=1比振型函數(shù)圖將a(1)和a(2)代入方程可得兩個估計的振型函數(shù)振型函數(shù)圖將a(1)和a(2)代入方程可得兩個估計的振型函數(shù)取n=3。得矩陣取n=3。得矩陣解特征值問題，可得當n=1★對比可見，隨著假設(shè)振型函數(shù)級數(shù)項數(shù)的增多，基頻的估計值下降，從右側(cè)逼近真實的基頻。因此，得到了較好的基頻和第二階固有頻率的估計量，同時還提供了第三階固有頻率的首次估計量?！锂敿墧?shù)項數(shù)增多時，可以改進高階頻率的估計值。當n=2解特征值問題，可得當n=1★對比可見，隨著假設(shè)振型函數(shù)級數(shù)項估計的振型函數(shù)為估計的振型函數(shù)為振型函數(shù)圖：振型函數(shù)圖：

●假定振型法是求解連續(xù)系統(tǒng)特征值和響應(yīng)的一種近似方法，它用有限個假設(shè)振型振動的線性組合來近似地描述彈性體的振動。

●如果用能量來表示瑞利-里茲法中的瑞利商，則假定振型法得出同瑞利-里茲法一樣的特征值問題。

●另一方面，假定振型法特別有利于導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)對于外激勵或初始激勵的響應(yīng)。因此，重點介紹應(yīng)用假定振型法求解連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)。3.7.3

假定振型法●假定振型法是求解連續(xù)系統(tǒng)特征值和響應(yīng)的一種近似方法

設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為有限級數(shù)的形式式中i(x)(i=1,2,…,n)為假設(shè)振型函數(shù)，它們必須滿足幾何邊界條件；qi(t)是相應(yīng)的廣義坐標。

●與瑞利-里茲法一樣，本質(zhì)上相當于將連續(xù)系統(tǒng)離散為一個n自由度的系統(tǒng)。★應(yīng)用拉格朗日方程，結(jié)合連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的級數(shù)表示，建立該n自由度離散系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標qi(t)的運動微分方程——一組n個運動常微分方程?！镆粤簭澢駝訛槔⑾到y(tǒng)運動微分方程。設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為有限級數(shù)的形式式中i寫成式中梁彎曲振動的動能T可表示為式中為廣義速度向量，M=[mij]為廣義質(zhì)量矩陣。寫成矩陣形式寫成式中梁彎曲振動的動能T可表示為式中梁彎曲振動的勢能U可表示為

寫成式中

矩陣形式為式中為廣義坐標向量，K=[kij]為廣義剛度矩陣。梁彎曲振動的勢能U可表示為寫成式中矩陣形式為式中

對于桿的縱向振動和軸的扭轉(zhuǎn)振動中，動能和勢能的表達式仍然可以用上述方法建立。動能與勢能的表達式與梁橫向振動的表達式相同，只是廣義剛度矩陣中kij分別為縱振：扭振：對于桿的縱向振動和軸的扭轉(zhuǎn)振動中，動能和勢能的表達式外激勵一般可視為非保守力，拉格朗日方程為式中Qr(t)(r=1,2,…,n)為廣義非有勢力。廣義非有勢力作用于系統(tǒng)上的分布力和集中力可以統(tǒng)一表示為式中f(x,t)為分布力，F(xiàn)j(t)(j=1,2,…,s)是s個作用于x=xj(j=1,2,…,s)的集中力，借助于函數(shù)將其表示為分布力Fj(t)(x-xj)。函數(shù)定義為外激勵一般可視為非保守力，拉格朗日方程為式中Qr(t外激勵在系統(tǒng)虛位移上所作虛功為按廣義力的定義有虛位移廣義力為外激勵在系統(tǒng)虛位移上所作虛功為按廣義力的定義有虛位移廣義力為由拉格朗日方程，得或?qū)懗删仃囆问綖樯鲜皆谛问缴吓c一個具有n個自由度的離散系統(tǒng)的運動微分方程完全相同，因此按離散系統(tǒng)線性振動的振型疊加法便可以求出系統(tǒng)振動的固有頻率和響應(yīng)。由拉格朗日方程，得或?qū)懗删仃囆问綖樯鲜皆谛问缴吓c一個具有n個設(shè)在桿的自由端作用有縱向集中力Fsin3t，其中。求桿的縱向強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

例6在x=0端固定，在x=L端自由的變截面桿作縱向振動，設(shè)剛度與質(zhì)量分布為解：仍取x=0端固定，x=L端自由的等截面均質(zhì)桿縱向振動的固有振型為假設(shè)振型函數(shù)，即取n=3。桿縱向振動表示為設(shè)在桿的自由端作用有縱向集中力Fsin3t，其中廣義力為運動微分方程式中M和K均為33階矩陣，質(zhì)量系數(shù)mij和剛度系數(shù)kij(i,j=1,2,3)可按下式計算。廣義力為運動微分方程式中M和K均為33階矩陣，質(zhì)量系數(shù)mi質(zhì)量矩陣M和剛度K質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的計算結(jié)果，與例5中的結(jié)果完全相同。質(zhì)量矩陣M和剛度K質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的計算結(jié)果，與例5中固有頻率矩陣為振型矩陣A為固有頻率矩陣為振型矩陣A為正則因子主質(zhì)量矩陣正則振型矩陣正則因子主質(zhì)量矩陣正則振型矩陣正則坐標變換將i(t)代入坐標變換式，可確定qi(t)。將各個qi(t)代入振動響應(yīng)公式，可得出響應(yīng)u(x,t)。正則坐標變換將i(t)代入坐標變換式，可確定qi(t)?！镌诠こ虒嶋H問題中，存在大量的質(zhì)量和剛度不均勻分布的連續(xù)系統(tǒng)的振動問題，由于一般無法得到精確的解析解，因此近似計算方法就成為工程實際問題中十分重要解法。★無論是有限自由度系統(tǒng)還是無限自由度系統(tǒng)，當以某一特定的振動形狀作自由振動時，該系統(tǒng)就在各點平衡位置附近以自振頻率作簡諧運動?！锴筮B續(xù)系統(tǒng)固有頻率常用的近似方法：瑞利法；瑞利—里茲法；假定振型法3.7計算固有頻率的近似方法例如：梁橫向振動的振型函數(shù)方程為對于變截面梁的彎曲振動，陣型函數(shù)為變系數(shù)四階常微分方程，一般無法求得解析解！★在工程實際問題中，存在大量的質(zhì)量和剛度不均勻分布的連續(xù)系統(tǒng)

根據(jù)能量守恒原理，對于保守系統(tǒng)其總能量是常數(shù)，故最大動能Tmax和最大勢能Umax應(yīng)相等，即

對于任何一個連續(xù)系統(tǒng)，只要近似地給出一個滿足邊界條件的第一階振型函數(shù)，并獲得系統(tǒng)的動能和勢能，就可對基頻進行估算。瑞利法(能量法)就是根據(jù)機械能守恒定律得到的計算基頻的近似方法，它不僅適用于離散系統(tǒng)，同樣也適用于連續(xù)系統(tǒng)。3.7.1

瑞利法根據(jù)能量守恒原理，對于保守系統(tǒng)其總能量是常數(shù)，故最大★如果梁以某一階固有頻率作固有振動，設(shè)梁的振型函數(shù)Y(x)，它滿足梁的邊界條件，則梁在振動過程中任一瞬時的位移、速度為★不考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響，動能和勢能為★如果梁以某一階固有頻率作固有振動，設(shè)梁的振型函數(shù)Y(x)，★在偏離平衡位置最遠距離處，梁具有最大彈性勢能上式表明，當所假設(shè)振型函數(shù)Y(x)恰好是某一階實際振型函數(shù)時，即可計算出該階固有頻率的精確解。事實上，由于不能預(yù)知各階實際的振型函數(shù)，一般只能近似地給出第一階振型函數(shù)。因此，瑞利法只適用于估算基頻?！锔鶕?jù)機械能守恒定律得★在靜平衡位置，梁具有最大動能—稱為參考動能?！镌谄x平衡位置最遠距離處，梁具有最大彈性勢能上★當梁上有集中質(zhì)量，在計算動能時應(yīng)計入集中質(zhì)量的動能。若在xi(i=1,2,…,n)處有集中質(zhì)量mi(i=1,2,…,n)

，則梁的最大動能為★當梁上xi(i=1,2,…,n)處有剛度ki(i=1,2,…,n)和扭轉(zhuǎn)剛度ki(i=1,2,…,n)的彈性支承時，則梁的最大勢能為★當梁上有集中質(zhì)量，在計算動能時應(yīng)計入集中質(zhì)量的動能。若在x★在假設(shè)第一階振型函數(shù)時，應(yīng)盡量接近實際振型。例如，有一試探振型函數(shù)X(x)，滿足邊界條件，同時具有各階導(dǎo)數(shù)。★若用X(x)代替上述公式中的Y(x)，則得梁彎曲振動的瑞利商★在假設(shè)第一階振型函數(shù)時，應(yīng)盡量接近實際振型。例如，有一試探★瑞利商R(X)為一個泛函，它決定于試探函數(shù)X(x)。★由于準確確定高階試探函數(shù)存在困難，通常選用靜撓度曲線作為第一階振型函數(shù)的試探函數(shù)，計算系統(tǒng)基頻的近似值?！锟梢宰C明，如果試探函數(shù)X(x)與系統(tǒng)振型函數(shù)Y(x)相差一階小量，則瑞利商基頻近似值與精確值之間相差二階小量?！镉捎谟眉僭O(shè)的試探函數(shù)代替精確的第一階振型函數(shù)，相當于給系統(tǒng)施加了約束，增加了系統(tǒng)剛度，因此將使固有頻率值提高，也就是說R(X)給出了系統(tǒng)固有頻率的上限。問題：瑞利商基頻計算結(jié)果與實際基頻比較，大或??？★瑞利商R(X)為一個泛函，它決定于試探函數(shù)X(x)?！镉捎凇锪硗?，前面所講的弦的橫向振動，桿的縱向振動和軸的扭轉(zhuǎn)振動等，同樣可用瑞利法計算基頻?！飳τ诓煌倪B續(xù)系統(tǒng)，只是T*和Umax的具體表達式不同而已。為了表示一般情況，以R表示瑞利商，即此為瑞利商的一般表達式?！锪硗?，前面所講的弦的橫向振動，桿的縱向振動和軸的扭轉(zhuǎn)振動等例1長為L，彎曲剛度為EJ，單位長度分布質(zhì)量為m的懸臂梁，在其自由端有集中質(zhì)量2M(M=mL)。試用瑞利法求梁彎曲振動的基頻。解：(1)采用分布載荷作用下梁的靜撓度曲線為試探振型式中可以驗算該函數(shù)滿足懸臂梁根部的位移和轉(zhuǎn)角為零的幾何邊界條件，即選擇為試探振型函數(shù)例1長為L，彎曲剛度為EJ，單位長度分布質(zhì)量為m的懸臂梁將試探振型以及試探振型的二次導(dǎo)數(shù)代入瑞利商計算式，并注意到梁上沒有彈性支承將試探振型以及試探振型的二次導(dǎo)數(shù)代入瑞利商計算式，并注意到梁計算積分，并代入M=mL，則求得精確解可見估計值與精確值的誤差為2.8%。計算積分，并代入M=mL，則求得精確解可見估計值與精確值的誤(2)采用無自重懸臂梁在端部集中載荷作用下的靜撓度曲線作為試探振型函數(shù)式中驗算表明，該函數(shù)滿足懸臂梁根部的位移和轉(zhuǎn)角為零的幾何邊界條件。選擇該函數(shù)為試探振型函數(shù)，其二次導(dǎo)數(shù)為代入式瑞利商計算式，固有頻率為懸臂梁在端部集中載荷作用下的靜撓度曲線為(2)采用無自重懸臂梁在端部集中載荷作用下的靜撓度曲線作為試計算積分，并代入M=mL，則求得可見，估計值僅比精確解高0.02%。

從本例兩種方案的計算結(jié)果可以看出，雖然兩種情況與精解都比較接近，但第二種要比第一種好，原因是本題中集中質(zhì)量比分布質(zhì)量影響大，其撓度曲線更接近于實際的第一階振型。若當懸臂梁質(zhì)量大于端部集中質(zhì)量時，則取受分布力作用的懸臂梁的靜撓度曲線是較合適的。精確解☆靜撓度曲線是最低階振型函數(shù)的一種很有效的近似形狀。計算積分，并代入M=mL，則求得可見，估計值僅比精確解高0.例2圖示變截面梁具有單位厚度，截面變化為A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0為根部截面積，設(shè)單位體積質(zhì)量為常數(shù)。試求彎曲振動基頻的近似值。解：由給定的條件，知截面積對中心主軸的慣性矩為為簡化計算，設(shè)冪函數(shù)為試探振型函數(shù)例2圖示變截面梁具有單位厚度，截面變化為A(x)=h(1-該試探振型函數(shù)滿足全部邊界條件將試探函數(shù)及其二階導(dǎo)函數(shù)代入瑞利商計算式，得該試探振型函數(shù)滿足全部邊界條件將試探函數(shù)及其二階導(dǎo)函數(shù)代入瑞基頻的近似值為精確值為由瑞利法求出的基頻較精確值高3.05%?；l的近似值為精確值為由瑞利法求出的基頻較精確值高3.05%

●瑞利-里茲法是在瑞利法的基礎(chǔ)上作了改進，可用以求出更精確的基頻。

●另外，瑞利-里茲法可以求得高階固有頻率和固有振型的近似值。

●瑞利-里茲法的基本思想是把連續(xù)系統(tǒng)離散化為有限自由度系統(tǒng)，然后根據(jù)機械能守恒定律進行計算。

●由于瑞利商提供了第一階固有頻率的上限(R

，可見瑞利-里茲法降低了基頻的估計值。3.7.2

瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法為什么？●瑞利-里茲法是在瑞利法的基礎(chǔ)上作了改進，可用以求出

按照瑞利-里茲法，任意連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)可以用線性組合的形式構(gòu)成式中U(x)為假定的試探振型函數(shù)，ai為待定系數(shù)；

ui(x)是由分析者指定的空間坐標x的函數(shù)。按照瑞利-里茲法，任意連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)可以用線關(guān)于試探振型函數(shù)★函數(shù)ui(x)應(yīng)滿足所有的邊界條件，至少必須滿足幾何邊界條件，同時必須彼此是獨立的。但ui(x)不同于振型函數(shù)，它不需要滿足系統(tǒng)的微分方程?！锖瘮?shù)ui(x)必須具有對自變量x的導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)的階數(shù)至少應(yīng)等于特征值問題的微分方程的階數(shù)?！锵禂?shù)ai的確定要使試探振型函數(shù)U(x)與系統(tǒng)的振型函數(shù)極為接近，數(shù)學上，這相當于去尋找使瑞利商有駐值的ai值?！镌诩墧?shù)式中，用了n個函數(shù)ui(x)，實質(zhì)上是把一個無限自由度系統(tǒng)簡化為n個自由度系統(tǒng)，這種離散化方案相當于把約束an+1=an+2=…=0強加給了系統(tǒng)。因為約束會增加系統(tǒng)的剛度，所以估計的固有頻率就高于真實的固有頻率。★增加級數(shù)式中函數(shù)ui(x)的數(shù)目，一般能降低固有頻率的估計值(至少不會增大估計量)，這樣就從右側(cè)來逼近真實的固有頻率。關(guān)于試探振型函數(shù)★函數(shù)ui(x)應(yīng)滿足所有的邊界條件，至少必基本思想：使估計量瑞利商R(U)盡可能地接近真實值，就是使泛函R(U)成為駐值。而使R(U)成為駐值的必要條件是將R(U)分別對每個系數(shù)ar(r=1,2,…,n)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即有式中最大勢能Umax=Umax（a1，a2，…，an）和參考動能T*=T*（a1，a2，…，an）都是未知系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的函數(shù)。問題：給定函數(shù)ur(x)后，如何確定系數(shù)ar(r=1,2,…,n)

？基本思想：使估計量瑞利商R(U)盡可能地接近真實值，就是使泛因為瑞利商R=2=Umax/T*，則Umax、T*如何確定？因為瑞利商R=2=Umax/T*，則Umax、T*如何確定上式含義：將連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)假設(shè)為n個線性無關(guān)函數(shù)的線性組合。經(jīng)推導(dǎo)可以得到，連續(xù)系統(tǒng)的最大勢能和參考動能可以表示為n個未知系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的二次型，即式中系數(shù)kij和mij是對稱的,即有kij=kji，mij=mji(i,j=1,2,…,n)

。★因為關(guān)于該式的推導(dǎo)，下面再具體介紹。上式含義：將連續(xù)系統(tǒng)的試探振型函數(shù)假設(shè)為n個線性無關(guān)函數(shù)的線最大勢能、參考動能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)式中jr和ir為克朗尼格符號。參考動能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)可以寫成為最大勢能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)最大勢能、參考動能對系數(shù)ar的偏導(dǎo)數(shù)式中jr和ir為克朗顯然，上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩陣形式為式中，K和M為n×n階的對稱常數(shù)矩陣，分別稱為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣?？傻茫嚎汕蟮霉逃蓄l率和振型向量。顯然，上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩陣形式

●應(yīng)用瑞利-里茲法求解連續(xù)系統(tǒng)的特征值問題，由于選用級數(shù)形式的假設(shè)振型函數(shù)，所以比瑞利法有所改進。

●因為瑞利法只相當于取級數(shù)中的一項作為假設(shè)振型，因此求系統(tǒng)的基頻時，瑞利-里茲法求出的基頻的近似值比瑞利法求得的精度高。將{a(r)}代入試探振型函數(shù)，可得固有振型的近似解

●可以證明，振型函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)的分布質(zhì)量是正交的?！駪?yīng)用瑞利-里茲法求解連續(xù)系統(tǒng)的特征值問題，由于選用解：(1)桿的縱向振動勢能

動能式中EA(x)為桿的軸向剛度，m(x)為單位長度質(zhì)量。令非均質(zhì)桿、軸和梁的最大勢能Umax和參考動能T*關(guān)于系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的二次型，并求kij和mij的表達式。例3

假設(shè)試探振型函數(shù)為推導(dǎo)變截面解：(1)桿的縱向振動勢能動能式中EA(x)為桿的軸向剛度最大勢能、最大動能和參考動能分別為將代入以上各式，可得式中最大勢能、最大動能和參考動能分別為將類似可得式中顯然，系數(shù)kij和mij是對稱的。關(guān)于軸的扭轉(zhuǎn)振動，只須將以上各式中的桿的軸向剛度EA(x)和單位長度質(zhì)量m(x)分別用軸的截面抗扭剛度GJ(x)和單位長度轉(zhuǎn)動慣量I(x)代替即可。(2)軸的扭轉(zhuǎn)振動類似可得式中顯然，系數(shù)kij和mij是對稱的。(3)梁的彎曲振動勢能動能令式中EJ(x)為彎曲剛度，E為彈性模量，J(x)為橫截面的慣性矩，m(x)為單位長度質(zhì)量。最大勢能、最大動能和參考動能分別為(3)梁的彎曲振動勢能動能令式中EJ(x)為彎曲剛度，E為彈式中將代入以上各式，可得式中★常數(shù)kij和mij是對稱的。式中將例4圖示變截面梁具有單位厚度，截面積變化為A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0為根部截面積，單位體積質(zhì)量為常數(shù)。用瑞利-里茲法計算梁的基頻。解：梁單位長度的質(zhì)量和彎曲剛度分別為取假設(shè)振型函數(shù)的試探函數(shù)為例4圖示變截面梁具有單位厚度，截面積變化為A(x)=h(1邊界條件驗證滿足所有邊界條件邊界條件驗證滿足所有邊界條件最大勢能可見，Umax和T*均是待定系數(shù)a1和a2的二次型。參考動能最大勢能可見，Umax和T*均是待定系數(shù)a1和a2的二次型。因此Umax對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)因此Umax對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)因此T*對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)因此T*對系數(shù)a1和a2的偏導(dǎo)數(shù)特征值問題令，得頻率方程為

即有可求得特征值問題令，得頻率方固有頻率為基頻的精確解為可見，由瑞利-里茲法求得的基頻更接近于精確值，誤差僅為0.09%。前面瑞利法給出基頻為固有頻率為基頻的精確解為可見，由瑞利-里茲法求得的基頻更接近瑞利-里茲法小結(jié)假定試探振型函數(shù)ai為待定系數(shù)瑞利商R(U)是待定系數(shù)ar(r=1,2,…,n)的函數(shù)瑞利商R(U)存在駐點的條件：連續(xù)系統(tǒng)的最大勢能和參考動能可以表示為n個待定系數(shù)ai(i=1,2,…,n)的二次型瑞利商R(U)存在駐點的條件方程瑞利-里茲法小結(jié)假定試探振型函數(shù)ai為待定系數(shù)瑞利商R(U)上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩陣形式可得：可求得固有頻率和振型向量。瑞利-里茲法小結(jié)上式是關(guān)于n個自由度離散系統(tǒng)的特征值問題。寫成矩例5在x=0端固定，在x=L端自由的變截面桿作縱向振動，設(shè)剛度與質(zhì)量分布為試用瑞利-里茲法求基頻的估計值。解：選取在x=0端固定、x=L端自由的等截面均質(zhì)桿的振型函數(shù)作為假設(shè)試探振型函數(shù)中的ui(x)，即顯然，函數(shù)ui(x)滿足所有邊界條件，同時又是相互獨立的。

例5在x=0端固定，在x=L端自由的變截面桿作縱向振動，kij和mij為：將函數(shù)ui(x)(i=1,2,…,n)和已知條件代入上面兩式，得kij和mij為：將函數(shù)ui(x)(i=1,2,…,n)和已(1)取n=1，從而得系數(shù)則特征值問題方程簡化為得出固有頻率的平方為這是基頻的首次近似，其結(jié)果和瑞利法所得到的結(jié)果完全一樣，這是因為只取了級數(shù)中的一項，瑞利-里茲法本質(zhì)上就退化成瑞利法。分別取n=1，n=2，n=3進行計算(1)取n=1，從而得系數(shù)則特征值問題方程簡化為得出固有頻率取n=2。得矩陣代入特征值方程，并解此特征值問題得和n=1比較，可以給出更精確的基頻估計量，同時還可以給出第二階固有頻率的首次估計量。n=1取n=2。得矩陣代入特征值方程，并解此特征值問題得和n=1比振型函數(shù)圖將a(1)和a(2)代入方程可得兩個估計的振型函數(shù)振型函數(shù)圖將a(1)和a(2)代入方程可得兩個估計的振型函數(shù)取n=3。得矩陣取n=3。得矩陣解特征值問題，可得當n=1★對比可見，隨著假設(shè)振型函數(shù)級數(shù)項數(shù)的增多，基頻的估計值下降，從右側(cè)逼近真實的基頻。因此，得到了較好的基頻和第二階固有頻率的估計量，同時還提供了第三階固有頻率的首次估計量?！锂敿墧?shù)項數(shù)增多時，可以改進高階頻率的估計值。當n=2解特征值問題，可得當n=1★對比可見，隨著假設(shè)振型函數(shù)級數(shù)項估計的振型函數(shù)為估計的振型函數(shù)為振型函數(shù)圖：振型函數(shù)圖：

●假定振型法是求解連續(xù)系統(tǒng)特征值和響應(yīng)的一種近似方法，它用有限個假設(shè)振型振動的線性組合來近似地描述彈性體的振動。

●如果用能量來表示瑞利-里茲法中的瑞利商，則假定振型法