全等三角形對應(yīng)邊上的高相等課件

如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠F＝90°）是否全等，在括號里填寫理由；如果不全等，在括號里打“×”：（1）AC＝DF,∠A＝∠D（）（2）AC＝DF,BC＝EF（）（3）AB＝DE，∠B＝∠E（）（4）∠A＝∠D，∠B＝∠E（）ACBDEFASASASAAS×如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是AC上的兩點，且AE＝CF.求證：BF＝DE.證明：在△ABC和△CDA中

AB＝CD(已知),BC＝DA（已知）,CA＝AC（公共邊）,∵∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1＝∠2。（全等三角形的對應(yīng)角相等）在△BCF和△DAE中

BC＝DA（已知）,∠1＝∠2（已證）,CF＝AE（已知）,∴△BCF

≌

△DAE(SAS)∴BF＝DE。（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∵ABCDEF12也可以證明△DEC

≌

△BFA,那就還要證明CE＝AF,比左邊的方法多了一步。分析：要證明BF＝DE，可以證明△BCF

≌

△DAE或△DEC

≌

△BFA，你自己思考一下采取哪一種證明。例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是A例9證明：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。已知：如圖，△ABC≌△A＇B＇C＇.AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高。求證：AD＝A＇D＇.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠B＝∠B＇

(全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∵AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高,∴∠ADB＝∠A＇D＇B＇＝90o(垂直的定義)

在△ABD和△A‘B’D‘中∠B＝∠B‘(已證)∠ADB＝∠A‘D’B‘（已證）

AB＝A‘B’（已證）∴△ABD≌△A‘B’D‘(AAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵BACDA＇B＇C＇D＇例9證明：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。已知：如圖，△求證：兩個全等三角形對應(yīng)邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的中線。求證：AD＝A＇D‘.∵AA＇BB＇CC＇DD＇證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,BC＝B’C’,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的中線,∴BD＝?BC＝B’D’

＝?B’C’,

在△ABD和△A‘B’D‘中

AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證),BD＝B’D’(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(SAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應(yīng)邊相等)求證：兩個全等三角形對應(yīng)邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△求證：兩個全等三角形對應(yīng)角的平分線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的角的平分線。求證：AD＝A＇D‘.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠BAC＝∠B‘A‘C＇,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的角的平分線,∴∠1＝?∠BAC＝∠2＝?∠B‘A‘C＇,

在△ABD和△A‘B’D‘中∠1＝∠2(已證)AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(ASA)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵AA＇BB＇CC＇DD＇12求證：兩個全等三角形對應(yīng)角的平分線長相等。已知：如圖所示，△已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。求證：△ABC≌△A′B′C′

證明：∵CD、C′D′分別是高∴∠ADC=∠A′D′C′=90°

在Rt△ADC與Rt△A′D′C′中

AC＝A′C′

CD＝C′D′∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL)

∴∠A＝∠A′

在△ABC與△A′B′C′中∠A＝∠A′

AC＝A′C′

∠ACB＝∠A′C′B′

∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)

∵∵分析：要證明△ABC≌△A′B′C′，已經(jīng)有AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，只要再找一個元素對應(yīng)相等就行了，是找角好，還是找邊更好呢？Rt△ADC與Rt△A′D′C′之間怎樣？已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別開啟

智慧1、兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;（）2、斜邊及一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;（）3、兩直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;（）4、一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.（）一,下列判斷對嗎?并說明理由:×開啟智慧1、兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF過點O,分別交AB、CD于點E、點F。求證：OE＝OF.證明：∵AB∥CD（已知）∴∠A＝∠D,∠B＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)在△AOB和△DOC中∠A＝∠D(已證)，

AB＝CD（已知）,∠B＝∠C（已證），∴△AOB≌△DOC(ASA)∴OB＝OC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)在△BOE和△COF中∠B＝∠C（已證），

OB＝OC（已證），∠BOE＝∠COF（對頂角相等），∴△BOE≌△COF(ASA)∴OE＝OF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∵∵ABCDEFO已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC.（1）求證：△ABC≌△ADE;證明:(1)∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE（等式性質(zhì)）即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中

AB＝AD（已知）,AC＝AE（已知）,∠BAC＝∠DAE（已證），

(2)BM＝DN

成立∵△ABC≌△ADE(已證)∴∠B＝∠D（全等三角形的對應(yīng)邊相等）在△ADN和△ABM中∠1＝∠2（已知）,AB＝AD（已知）,∠B＝∠D（已證）∴BM＝DN（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴△ADN≌△ABM(ASA)∵∵ABCDEMN12此時找一個三角形，應(yīng)該“紅綠”配，就像平時1、2配一樣。（2）BM＝DN成立嗎？為什么？2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF。求證：△ABC是等腰三角形.D證明：連接AD∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AED＝∠BED＝∠AFD＝∠CFD＝90o在Rt△AED和Rt△AFD中

DE＝DF(已知),AD＝AD(已知)，∴AE＝AF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE＝DF(已知)，

BD＝CD(D是中點)，∴BE＝CF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴AE＋BE＝AF＋CF(等式性質(zhì))即AB＝AC即△ABC是等腰三角形.∵∵∴Rt△AED≌

Rt△AFD(HL)∴Rt△DEB≌

Rt△DFC(HL)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿著兩條直線行走，并同時到達D、E兩地。DA⊥AB,EB⊥AB。D、E與路段AB的距離相等嗎？為什么？

解：∵DA⊥AB,EB⊥AB∴∠A=∠B=90°

在Rt△ACD和Rt△BCE中

AC=BC（C是中點）

CD=CE（已知）∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)

∴AD=BE（全等三角形的對應(yīng)角相等）即D、E與路段AB的距離相等．ADCBE∵由題意知：CD=CE點與直線的距離是（）垂直距離如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系？∠ABC+∠DFE=90°解：在Rt△ABC和Rt△DEF中BC=EF(已知)，AC=DF(已知)，Rt△ABC≌

Rt△DEF（HL）∠ABC=∠DEF(全等三角形的對應(yīng)角相等)∠DFE﹢∠DEF=90o（直角三角形的兩銳角互余）∠ABC+∠DFE=90°（等量代換）∵∴∴∵∴又由題意知：BC=EF議議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑1.如圖，應(yīng)填什么就有△AOC≌△BOD?∠A=∠B（已知）

————∠1=∠2（已知）∴△AOC≌△BOD122.如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2。求證:AB＝AD。ABCD12AC＝BD或OC＝OD或OA＝OB證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）∴∠B=∠D＝90o（垂直的定義）在△ABC和△ADC中∠1=∠2(已知)AC＝AC（公共邊）∠B=∠D（已證）∴△ABC≌△ADC(ASA)∴AB＝AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵1.如圖，應(yīng)填什么就有△AOC≌△BOD?122.如圖，A6﹑如圖，AD=BC，AC=BD，求證：（1）∠DAB=∠CBA

（2）∠ACD=∠BDC

7﹑如圖，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求證：AE∥DF.證明：∵

CE=BF（已知）

∴BF﹣EF=CE﹣EF（等式性質(zhì)）

即BE=CF在ΔABE和ΔBCA中,BE=CF，(已證)AB=CD，(已知)

AE=DF，(已知)

ΔABE≌

ΔDCF（SSS）

∠AEB=∠DFC(全等三角形的對應(yīng)角相等)∠AEF=∠DFE(等角的補角相等)

AE∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

ABCDABCDEF證明：（1）在

ΔADB和ΔBCA中，

AD＝BC(已知)AC＝BD(已知)

∵∴∴∴∴∴

∠DAB=∠CBA（2）同理：∠ACD=∠BDC∴ΔADB≌

ΔBCAAB＝BA(公共邊)∵6﹑如圖，AD=BC，AC=BD，求證：（1）∠DAB=∠課后活動與探究:一個六邊形鋼架ABCDEF,由6條鋼管連接而成（如圖所示），為使這一鋼架穩(wěn)固，請你用三條鋼管連接使它不能活動，你能找出幾種方法？課后活動與探究:一個六邊形鋼架ABCDEF,由6條鋼管連接而如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠F＝90°）是否全等，在括號里填寫理由；如果不全等，在括號里打“×”：（1）AC＝DF,∠A＝∠D（）（2）AC＝DF,BC＝EF（）（3）AB＝DE，∠B＝∠E（）（4）∠A＝∠D，∠B＝∠E（）ACBDEFASASASAAS×如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF（其中∠C＝∠例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是AC上的兩點，且AE＝CF.求證：BF＝DE.證明：在△ABC和△CDA中

AB＝CD(已知),BC＝DA（已知）,CA＝AC（公共邊）,∵∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1＝∠2。（全等三角形的對應(yīng)角相等）在△BCF和△DAE中

BC＝DA（已知）,∠1＝∠2（已證）,CF＝AE（已知）,∴△BCF

≌

△DAE(SAS)∴BF＝DE。（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∵ABCDEF12也可以證明△DEC

≌

△BFA,那就還要證明CE＝AF,比左邊的方法多了一步。分析：要證明BF＝DE，可以證明△BCF

≌

△DAE或△DEC

≌

△BFA，你自己思考一下采取哪一種證明。例8已知：如圖，AB＝CD,BC＝DA,E、F是A例9證明：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。已知：如圖，△ABC≌△A＇B＇C＇.AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高。求證：AD＝A＇D＇.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠B＝∠B＇

(全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∵AD、A＇D＇分別是△ABC和△A＇B＇C＇的高,∴∠ADB＝∠A＇D＇B＇＝90o(垂直的定義)

在△ABD和△A‘B’D‘中∠B＝∠B‘(已證)∠ADB＝∠A‘D’B‘（已證）

AB＝A‘B’（已證）∴△ABD≌△A‘B’D‘(AAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵BACDA＇B＇C＇D＇例9證明：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。已知：如圖，△求證：兩個全等三角形對應(yīng)邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的中線。求證：AD＝A＇D‘.∵AA＇BB＇CC＇DD＇證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,BC＝B’C’,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的中線,∴BD＝?BC＝B’D’

＝?B’C’,

在△ABD和△A‘B’D‘中

AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證),BD＝B’D’(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(SAS)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應(yīng)邊相等)求證：兩個全等三角形對應(yīng)邊上的中線長相等。已知：如圖所示，△求證：兩個全等三角形對應(yīng)角的平分線長相等。已知：如圖所示，△ABC≌△A‘B’C‘.AD、A’D‘分別是△ABC和△A’B‘C’的角的平分線。求證：AD＝A＇D‘.證明：∵△ABC≌△A‘B’C‘（已知）∴AB＝A‘B’,∠BAC＝∠B‘A‘C＇,∠B＝∠B’

(全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)∵AD、A‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的角的平分線,∴∠1＝?∠BAC＝∠2＝?∠B‘A‘C＇,

在△ABD和△A‘B’D‘中∠1＝∠2(已證)AB＝A‘B’(已知),

∠B＝∠B‘(已證)

∴△ABD≌△A‘B’D‘(ASA)∴AD＝A‘D‘(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵AA＇BB＇CC＇DD＇12求證：兩個全等三角形對應(yīng)角的平分線長相等。已知：如圖所示，△已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。求證：△ABC≌△A′B′C′

證明：∵CD、C′D′分別是高∴∠ADC=∠A′D′C′=90°

在Rt△ADC與Rt△A′D′C′中

AC＝A′C′

CD＝C′D′∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL)

∴∠A＝∠A′

在△ABC與△A′B′C′中∠A＝∠A′

AC＝A′C′

∠ACB＝∠A′C′B′

∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)

∵∵分析：要證明△ABC≌△A′B′C′，已經(jīng)有AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，只要再找一個元素對應(yīng)相等就行了，是找角好，還是找邊更好呢？Rt△ADC與Rt△A′D′C′之間怎樣？已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別開啟

智慧1、兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;（）2、斜邊及一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;（）3、兩直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等;（）4、一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.（）一,下列判斷對嗎?并說明理由:×開啟智慧1、兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF過點O,分別交AB、CD于點E、點F。求證：OE＝OF.證明：∵AB∥CD（已知）∴∠A＝∠D,∠B＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)在△AOB和△DOC中∠A＝∠D(已證)，

AB＝CD（已知）,∠B＝∠C（已證），∴△AOB≌△DOC(ASA)∴OB＝OC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)在△BOE和△COF中∠B＝∠C（已證），

OB＝OC（已證），∠BOE＝∠COF（對頂角相等），∴△BOE≌△COF(ASA)∴OE＝OF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∵∵ABCDEFO已知：如圖，AB∥CD,AB＝CD,AD與BC交于點O,EF2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC.（1）求證：△ABC≌△ADE;證明:(1)∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE（等式性質(zhì)）即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中

AB＝AD（已知）,AC＝AE（已知）,∠BAC＝∠DAE（已證），

(2)BM＝DN

成立∵△ABC≌△ADE(已證)∴∠B＝∠D（全等三角形的對應(yīng)邊相等）在△ADN和△ABM中∠1＝∠2（已知）,AB＝AD（已知）,∠B＝∠D（已證）∴BM＝DN（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴△ADN≌△ABM(ASA)∵∵ABCDEMN12此時找一個三角形，應(yīng)該“紅綠”配，就像平時1、2配一樣。（2）BM＝DN成立嗎？為什么？2.已知：如圖，AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF。求證：△ABC是等腰三角形.D證明：連接AD∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AED＝∠BED＝∠AFD＝∠CFD＝90o在Rt△AED和Rt△AFD中

DE＝DF(已知),AD＝AD(已知)，∴AE＝AF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE＝DF(已知)，

BD＝CD(D是中點)，∴BE＝CF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴AE＋BE＝AF＋CF(等式性質(zhì))即AB＝AC即△ABC是等腰三角形.∵∵∴Rt△AED≌

Rt△AFD(HL)∴Rt△DEB≌

Rt△DFC(HL)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿著兩條直線行走，并同時到達D、E兩地。DA⊥AB,EB⊥AB。D、E與路段AB的距離相等嗎？為什么？

解：∵DA⊥AB,EB⊥AB∴∠A=∠B=90°

在Rt△ACD和Rt△BCE中

AC=BC（C是中點）

CD=CE（已知）∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)

∴AD=BE（全等三角形的對應(yīng)角相等）即D、E與路段AB的距離相等．ADCBE∵由題意知：CD=CE點與直線的距離是（）垂直距離如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系？∠ABC+∠DFE=90°解：在Rt△ABC和Rt△DEF中BC=EF(已知)