人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似導(dǎo)學(xué)案

.2.3相似三角形的周長(zhǎng)與面積學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解并初步掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．2．能用三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．【重點(diǎn)難點(diǎn)】1．相似三角形的性質(zhì)與運(yùn)用．2．相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用，及對(duì)“相似三角形面積的比等于相似比的平方”性質(zhì)的理解特別是對(duì)它的反向應(yīng)用的理解，即對(duì)“由面積比求相似比”的理解．知識(shí)概覽圖相似三角形「相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比的周長(zhǎng)與面Y相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比（相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比）積〔相似三角形面積的比等于相似比的平方（相似多邊形面積的比等于相似比的平方）新課導(dǎo)引【生活鏈接】如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系?它們的面積之間有什么關(guān)系?兩個(gè)相似多邊形呢?【問(wèn)題探究】前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似圖形的性質(zhì)：相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．那么相似圖形的周長(zhǎng)與面積又具有怎樣的性質(zhì)呢?教材精華知識(shí)點(diǎn)1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比WL)CB'DTC14如圖27—57所示，如果△ABCs^A，B'C,且ABWL)CB'DTC14△ABC與MB‘C的相似比為k,過(guò)A作AD丄BC,過(guò)A，作A，D‘丄B，C,垂足分別為D,D，,在厶ABD與AA，B，D，中，ZB=ZB，,ZADB=ZA，D，B，=90°,所以RtAABDsRt^A，B，D，,所以2D=^B=k，即相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比k.知識(shí)點(diǎn)2相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比如圖27—58所示，在AABC和AA，B，C，中，AD,如圖27—58所示，在AABC和AA，B，C，中，AD,A，ABC和AA，B，C，的中線，BE,B，E，分別為△ABC和厶角平分線，若△ABCs^A，B，C，,則JAD=^B二k.AD'AB'D，分別為△知識(shí)點(diǎn)3相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比A，B，C，的如果△ABCs^A，B，C，,并且△ABC與AA，B，C，的相似比為k,那么空BC竺=k,則AB則AB=k?A，B，,BC=k?B，C，,AC=k?A，C，,因此△ABC的周長(zhǎng)△ABC的周長(zhǎng)AB+BC+CAkAB'+kB'C'+kAC'k(A'B'+B'C'+C'A')_k,即相似三角形周長(zhǎng)的比△A'B'C'的周長(zhǎng)—A'B'+B'C'+C'A'A'B'+B'C'+C'A'等于相似比.A'B'+BC'+CA例如：已知△ABCs^A，B，C，,它們的周長(zhǎng)分別為60cm和72cm,且AB=15cm,B，C，=24cm，則這兩個(gè)三角形的相似比為60=5，且竺=1C=5，因?yàn)锳B=15cm,B，C，=24cm,726ABBC6所以A，B，=18cm,BC=20cm，所以AC=60—15—20=25(cm),A，C，=72—18—24=30(cm).知識(shí)點(diǎn)4相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比如果多邊形AA???A與多邊形A，A，???A，相似，并且多邊形AA???A與多邊形A，AA^=k,?AA=kA，AA^=k,?AA=kA，A'A'121n1,AA=kA，A，,2323A，?A，的相似比為k,則△佯=2nA'A'A'A'1223AA=kAnAA=kAn，A，,??.AA+AA+?+AA=k(A，

n111223n11A，+A，A，+?+A，A，223n1AA+AA+…+AA),??1―22―3n1'A'a'+a'a'+…+a'a'1223n1=k，即相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比.知識(shí)點(diǎn)5相似三角形面積的比等于相似比的平方若厶ABCs^A，B，C，,^ABC與AA，B，C，的相似比是k,AD,A，D，分別是BC與B，C邊上的高,則△ABC-BCgAD2邊上的高,則△ABC-BCgAD2BCAD△ABC-B'C'gA'D'2=k?k=k2,即相似三角形面積的比等于相似比的平方.知識(shí)點(diǎn)6相似多邊形面積的比等于相似比的平方對(duì)于兩個(gè)相似的四邊形，可以把它們分成兩對(duì)相似的三角形，可以得出這兩個(gè)四邊形面積的比等于相似比的平方．對(duì)于兩個(gè)相似的多邊形，用類似的方法，可以把它們分成若干對(duì)相似的三角形，從而得出相似多邊形面積的比等于相似比的平方．規(guī)律方法小結(jié)(1)如果兩個(gè)三角形相似，那么它們對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比．相似三角形的面積比等于相似比的平方．類比相似三角形的性質(zhì)可知，相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．本節(jié)內(nèi)容中求相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比和面積的比的問(wèn)題可以互相轉(zhuǎn)化，對(duì)于沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的相似三角形仍然要分類討論．課堂檢測(cè)基本概念題TOC\o"1-5"\h\z1、⑴若兩個(gè)相似三角形的面積比為1：2,貝怕們的相似比為；⑵若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為3：2,貝怕們的相似比為；(3)若厶ABCs^A，B，C,且AB=5,A，B，C的周長(zhǎng)為12,則厶ABC的周長(zhǎng)為.基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題2、如圖27—59所示，在△ABC和ADEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD,AABC的周長(zhǎng)是24,面積是48,求ADEF的周長(zhǎng)和面積.

3、如圖27—60所示，在銳角三角形ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和厶BDE的面積分別為18和2,DE=2,求AC邊上的高.4、如圖27—61所示，在△ABC與厶CAD中，AD〃BC,CD交AB于點(diǎn)E,且AE：EB=1：2,EF〃BC交AC于點(diǎn)F,且S=1,求S和S.△ADE△BCE△AEF5、如圖27—62所示，人。是4ABC的角平分線，BH丄AD于點(diǎn)H,CK丄AD于點(diǎn)K,求證AB?DK=AC?DH.綜合應(yīng)用題6、如圖27—63所示，在梯形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,若4COD的面積為AOB的面積為b2，其中a>0,b>0,求梯形ABCD的面積S.探索與創(chuàng)新題7、如圖27—64所示，.ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，0E交BC于點(diǎn)F,AB=a,BC=b,BE=c，求BF的長(zhǎng).8、如圖27—65所示，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC,DE丄BC,DE與AB相交于點(diǎn)E,EC與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證△ABCs^FCD；

體驗(yàn)中考1、已知△ABC與ADEF相似且面積比為4：25,則厶ABC與ADEF的相似比為D在BC上，且DC=AC,連接EF.2、如圖27—67所示，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)ZACB的平分線CF交ADD在BC上，且DC=AC,連接EF.求證EF〃BC；若四邊形BDFE的面積為6,求厶ABD的面積.學(xué)后反思

附：課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案課堂檢測(cè)1、分析(DY兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方，?讓2二丄，且k>0,???k二二.⑵22???相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，且周長(zhǎng)比為3:2,???相似三角形的相似比為3：2.(3)T相似比5：3,???^ABC的周長(zhǎng)=5.又?.?△A，B，C的周長(zhǎng)為12,???°abc的周長(zhǎng)=5‘.?.△ABC的周△A'B'C的周長(zhǎng)3123長(zhǎng)為20．答案：(1)、込:2(2)3：2(3)20【解題策略】解決此類題時(shí),可直接應(yīng)用相似三角形的周長(zhǎng)比、面積比與相似比的關(guān)系來(lái)求解．2、分析先說(shuō)明△ABCs^DEF,再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)一一相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方進(jìn)行求解．解：在△ABC和ADEF中，VAB=2DE,AC=2DF,???de=DF=丄ABAC2又???ZD=ZA,???ADEFsAABC,且相似比為1.2?ADEF的周長(zhǎng)1即ADEF的周長(zhǎng)1■?二一.即J二一,△ABC的周長(zhǎng)2242???△DEF的周長(zhǎng)為12.S=S=△DEF12.〔112即ADEF—212J4812JS△DEFS△ABC即厶DEF的周長(zhǎng)為12，面積為12.【解題策略】解決此類問(wèn)題時(shí)，可利用相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方來(lái)求解.3、分析若求AC邊上的高，就要把AC邊上的高作出來(lái)，由于△ABC的面積為18,因此只要求出AC邊的長(zhǎng)，就可以求出AC邊上的高.解：過(guò)點(diǎn)B作BF丄AC，垂足為點(diǎn)F.

TAD丄BC,CE丄AB,.?.ZADB=ZCEB=90°,又VZABD=ZCBE,ARtAADBsRt^CEBBD=AB，即BD=BE，且ZABC=ZDBE,BECBABCBAC丿?18???△EBDsACBA,...s^bedAC丿?18S△BCA又TDE=2,?°?AC=6.TS=ZaC?BF=18,???BF=6.△ABC2【解題策略】解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件說(shuō)明厶EBDs^CBA.4、分析由AD//BC,可得小唇小狂，求ScE比較容易，而求J卩不易利用相似三角形的面積關(guān)系來(lái)求解.由DA〃EF可知△AEF與厶EAD是兩個(gè)高相等的三角形，所以這兩個(gè)三角形的面積比就等于底邊長(zhǎng)的比，求出EF：AD就可以求出△AEF的面積.解：???ad〃bc,??.aadesabce,???S:S=AE2：BE2.△ADE△BCE又TAE：BE=1：2,?.S:S=1:4,△ADE△BCETS=1,?S=4.△ADE△BCE又TEF〃BC,???AAEFsAABC,?EF:BC=AE：AB=1:3.又...△ADEsABCE,??AD：BC=AE：BE=1：2,?BC=2AD,?EF：AD=2：3.又TAD〃EF,???AADE與厶AEF等高.?S：S=EF：AD=2：3.△AEF△ADETS=1,?.S=2.△ADE△AEF3【解題策略】利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)面積的計(jì)算時(shí),有時(shí)會(huì)用到等底等高的三角形面積相等、同底（或等底）三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)高之比、同高（或等高）三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊長(zhǎng)之比等等.5、分析由已知易證△BHDs^CKD,△ABHs^ACK,從而易得竺=BH=DH，即AB?DK二AC?DH.ACCKDK證明：TBH丄AD,CK丄AD,???BH〃CK,

???△BHDsACKD,???dh=BH.①DKCK???AD平分ZBAC,???Z1=Z2.又VZBHA=ZCKA=90°,???Rt△ABHsRt△ACK,?型=BH.②ACCK由①②可知空=DH,.??AB?DK=AC?DH.ACDK【解題策略】在本題中，利用BH把AB和DH聯(lián)系起來(lái)，通常把這里的型叫做中間比，它CKACDKCK起到橋梁的作用.6、分析梯形的面積等于4個(gè)三角形的面積之和，而△AOB和厶COD的面積都已用a,b表示出來(lái)，因此關(guān)鍵是求出△AOD和厶BOC的面積.由圖可知△AOD和厶BOC的面積相等，而△aod和厶COD在AC邊上的高是同一條高，因此△AOD和厶COD的面積比就等于AO：OC,這樣就可以求出厶AOD的面積.解：?.?AB〃CD,.??AC0DsAA0B,TOC\o"1-5"\h\zCO2Sa2=△cod=,AO2Sb2△AOBCOAOaCOAOab又TS=s,△ABC△ABD??S—S=S—S,△ABC△AOB△ABD△AOB即S=s△BOC△AODSAOb又^△aod==—，SCOa△COD?S△AOD?S△AODa2=ab.△CODS=S=ab.△COB△AOD???梯形ABCD的面積S=a2+ab+ab+b2=(a+b)2.【解題策略】底在同一條直線上，高相同的兩個(gè)三角形面積的比等于底邊長(zhǎng)的比，而相似三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方，要注意區(qū)別這兩個(gè)性質(zhì).7、分析顯然所求線段BF與已知線段BE在同一個(gè)三角形中，如果能找到一個(gè)與ABEF相似且有已知邊的三角形，問(wèn)題便可解決，但在圖中不

能直接找到，如果過(guò)0作OC〃BC交AB于G,就能得到厶EBFs^EGO,此題可解.解：過(guò)點(diǎn)0作OG〃BC交AB于G,則厶EBFs^EGO.???.ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,???OA=OC,AG=GB.又???△ebfs^ego,...竺=EB.GOEG???AG=GB=1AB,.??OG=1BC.22又TAB=a,BC=b,BE=c,?.OG=1b,GB=1a,GE=1a+c.222BFbca+BFbca+2c???BF二一1a+c2【解題策略】解決此類題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似圖形,而構(gòu)造相似圖形的一般方法是作平行線.8、分析由ED丄BC,D是BC的中點(diǎn)，可得ZB=Z1,由AD=AC，可得Z2=ZACD,從而相似可證.過(guò)A作AM丄BC,垂足為M,求DE的長(zhǎng)可以在ED〃AM的基礎(chǔ)上利用比例線段求得.證明：（DTDE丄BC,D是BC的中點(diǎn)，??EB=EC,.?ZB=Z1.又TAD=AC,??Z2=ZACB,???△ABCs^FCD.解：⑵過(guò)點(diǎn)A作AM丄BC，垂足為M,???△ABCs^FCD,BC=2CD,S-(BC)2=4△ABC—=4SICD丿△FCD又?.?S=5,???S=20.△FCD△ABCS=ZbC?AM,且BC=10,△ABC220=1X10?AM,.?.AM=4.2又???DE〃AM,???DE=BD.AMBMBM=BD+DM,BD=1BC=5,DM=1DC=5222

???BM=5+5=15,22?DE5?de二841532體驗(yàn)中考1、分析相似三角形的面積之比等于相似比的平方．故填2：52、證明:(l)TCF平分ZACB,???Z1=Z2.又???DC=AC,???CF是厶ACD的中線，???點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).又.?.點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，???EF〃BD，即EF〃BC解：⑵由(1)知，EF〃BD,.?.△AEFs^ABD,S(AE￥?△aef=S(AB丿△ABD=S—6,四邊形BDFE△ABD又?.?AE=1AB=S—6,四邊形BDFE△ABD2△AEF△ABDS-62丿△abd2丿S△ABD??S=8,△ABD???△ABD的面積為8.27、3位似圖形學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、能利用圖形的位似將一個(gè)圖形放大或縮小.2、有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，激發(fā)學(xué)生對(duì)圖形學(xué)習(xí)的好奇心，形成多角度，多方法想問(wèn)題的學(xué)習(xí)習(xí)慣.學(xué)習(xí)過(guò)程：一、課前準(zhǔn)備1．知識(shí)鏈接（1）什么叫位似圖形？有哪幾種位似的類型？2）位似圖形的性質(zhì)是什么？2．預(yù)習(xí)檢測(cè)（1）通過(guò)預(yù)習(xí)你能總結(jié)出利用位似把一個(gè)圖形進(jìn)行放縮的方法嗎？2）利用位似放縮圖形用到了位似的哪些性質(zhì)？二、學(xué)習(xí)過(guò)程探究1請(qǐng)同學(xué)們觀察下圖，要作出一個(gè)新圖形，使新圖形與原圖形對(duì)應(yīng)線段的比為2：1,同學(xué)們?cè)诳偨Y(jié)上述作法我們可歸納出：一）“利用位似將圖形放大或縮小的作圖步驟.”

第一步:在原圖上選取關(guān)鍵點(diǎn)若干個(gè),并在原圖外任取一點(diǎn)P作為位似中心。第二步:以點(diǎn)P為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線.（或以各關(guān)鍵點(diǎn)為端點(diǎn)向P作射線）第三步:分別在射線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，滿足放縮比例.第四步:順次連接截取點(diǎn).即可得到符合要求的新圖形.簡(jiǎn)記方法:1.選點(diǎn)2.作射線3.定對(duì)應(yīng)點(diǎn)4.連線二）作位似圖形的幾種可能：放大縮小異側(cè)正像倒像異側(cè)正像倒像探究2小明想把△ABC進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s小和放大，他設(shè)計(jì)了以下幾種方案，都可行嗎？1.分別在厶ABC的邊AB、AC上取點(diǎn)D、E,使DE^BC,那么△ADE是厶ABC縮小后的圖形.如圖1所示.

圖1圖2分別在厶ABC的邊AB.AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E,使DE^BC,那么△ADE是厶ABC放大后的圖形.如圖2所示3.分別在厶ABC的邊AB.AC的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D、E,使DEIIBC,那么△ADE是厶ABC放大后的圖形.如圖3所示:圖3三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1、將一個(gè)五邊形改成與它相似的五邊形，如果面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，那么周長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的()A.9倍C.81倍B.3倍D.18倍2.在△ABC中,DE#BC,交AB于D,交AC于E,且AD:DB=1：2,則下列結(jié)論正確的是（）DE1A.=BC2CAADE的周長(zhǎng)=1.AABC的周長(zhǎng)=2B.。已=1BC3DS1D.—AADE=—S3AABC選取一個(gè)你喜歡的圖形，然后將此圖形放大，使放大后的圖形的面積是原圖形面積的4倍.4、做隨堂練習(xí)2、3（畫(huà)在書(shū)上）教（學(xué)）后記回想本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，你學(xué)到了什么？還有什么疑問(wèn)？27.3位似圖形的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、能利用坐標(biāo)的變化將一個(gè)圖形放大或縮小，并了解位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律2、培養(yǎng)觀察、分析、歸納能力，發(fā)展學(xué)生的作圖能力；3、通過(guò)觀察操作歸納探索過(guò)程成功的體驗(yàn)，感受到數(shù)學(xué)天地?zé)o處不在，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。學(xué)習(xí)過(guò)程：一、課前準(zhǔn)備1．知識(shí)鏈接(1)回憶學(xué)過(guò)的“變化的魚(yú)”，坐標(biāo)的變化帶來(lái)圖形的怎樣變化。(2)利用位似如何放縮圖形？2、預(yù)習(xí)檢測(cè)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，怎樣通過(guò)改變一個(gè)圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)的得到與原圖形位似的圖形？說(shuō)說(shuō)你的方法。探究1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描0(0,0),A(5,4),B(3,0),C(5,l),D(5,-l),B(3,0),E(4,-2),0(0,0)用線段把這些點(diǎn)順次連接，得到什么圖形？將這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘以2，再用線段將它們順次連接。

1?線段CD與HL,0A與OF,BE與GM的長(zhǎng)度各是多少？2?線段CD與HL，0A與OF,BE與GM的比各是多少？它們相等嗎？3?在圖中，你還能找到比相等的其他線段嗎？如果把圖（1）中的“魚(yú)”畫(huà)到同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,它們是位似圖形嗎？如果是位似圖形位似中心是哪一個(gè)點(diǎn)？探究2自學(xué)課本62頁(yè)，觀察課本圖形并思考：A',B',C'、D‘四點(diǎn)的坐標(biāo)與A,B,C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？你還能在其他象限中畫(huà)出滿足條件的矩形A〃B〃C〃D〃嗎？如果能，兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？探究3在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k,當(dāng)k是一個(gè)不等于1的正數(shù)時(shí),得到的圖形與原來(lái)的圖形是位似圖形嗎？如果是位似圖形,位似中心是哪個(gè)點(diǎn)？位