橢圓及其幾何性質(zhì)

關(guān)于橢圓及其幾何性質(zhì)第一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過(guò)圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；

當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截線（平面與圓錐面的交線）是一個(gè)圓．

當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對(duì)位置時(shí)，觀察截線的變化情況，并思考：●用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？第二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日橢圓雙曲線拋物線第三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日探究：橢圓有什么幾何特征？活動(dòng)1：動(dòng)手試一試數(shù)學(xué)史：第四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日MQF2PO1O2VF1古希臘數(shù)學(xué)家Dandelin在圓錐截面的兩側(cè)分別放置一球，使它們都與截面相切（切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2），又分別與圓錐面的側(cè)面相切（兩球與側(cè)面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2）．過(guò)M點(diǎn)作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2與P，Q兩點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)球外一點(diǎn)作球的切線長(zhǎng)相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，MF1+MF2＝MP+MQ

＝

PQ＝定值第五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日1、橢圓的定義：M

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓形成演示橢圓定義.gsp第六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日思考：是否平面內(nèi)到兩定點(diǎn)之間的距離和為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是橢圓？

結(jié)論：（若

PF1＋PF2為定長(zhǎng)）１）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2>F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓。２）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2＝F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一條線段F1F2

。３）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2<F1F2時(shí),Ｐ點(diǎn)沒(méi)有軌跡。想一想.gsp第七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日直觀感受第八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

神舟六號(hào)在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)200公里的橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過(guò)變軌調(diào)整為距地343公里的圓形軌道.太陽(yáng)系第九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

拱橋的橋拱采用基于橢圓的優(yōu)化設(shè)計(jì)，無(wú)論從力學(xué)原理，還是從施工角度考慮都是優(yōu)越于傳統(tǒng)的圓弧型和拋物線型的。生活中的應(yīng)用中國(guó)水利水電科學(xué)研究院研究表明：第十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日生活中有橢圓，

感受生活中用橢圓。第十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日求曲線方程的一般步驟？設(shè)點(diǎn)建系列式代坐標(biāo)化簡(jiǎn)、證明第十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日怎樣建立平面直角坐標(biāo)系呢？2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1、F2的距離的和為2a第十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于含有兩個(gè)根式的方程，可以采用移項(xiàng)兩邊平方或者分子有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。第十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上。

焦點(diǎn)在y軸上，可得出橢圓它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx第十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法：一定焦點(diǎn)位置；二設(shè)橢圓方程；三求a、b的值.第十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日例1．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－4，0）（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx.解：∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）首先要判斷類型，（2）用待定系數(shù)法求橢圓的定義a2=b2+c2第十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日？思考一個(gè)問(wèn)題:把“焦點(diǎn)在y軸上”這句話去掉，怎么辦？第二十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知，則可以設(shè)出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時(shí)，要“先定型，再定量”.~求曲線方程的方法：第二十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

代入法：或中間變量法，利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的坐標(biāo)。~求曲線方程的方法：第二十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日變式題組一第二十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日變式題組二第二十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日1、方程表示________。2、方程表示________。3、方程表示________。4、方程的解是________。登高望遠(yuǎn)第三十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日鞏固練習(xí)14DD第三十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日C第三十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日一、二、二、三一個(gè)概念；二個(gè)方程；三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，

求簡(jiǎn)意識(shí)，猜想的意識(shí)。小結(jié)二個(gè)方法：去根號(hào)的方法；求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法|MF1|+|MF2|=2a第三十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第三十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日一、復(fù)習(xí)回顧：1.橢圓:

到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系:a2=b2+c2當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)第三十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日二、橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)1.范圍：x≤≤≤≤,≤1,≤1得：oyB2B1A1A2F1F2第三十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日≤≤≤≤第三十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日2.對(duì)稱性

根據(jù)橢圓的圖形，觀察它有何對(duì)稱性？第三十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日2.對(duì)稱性：從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。如何從方程來(lái)分析這些對(duì)稱性呢？（1）把y換成-y方程不變，橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱；（2）把x換成-x方程不變，橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，橢圓關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。第三十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)2.第四十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.橢圓的頂點(diǎn)*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。*長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。*

分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。這四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？oF1F2B2B1A1A2第四十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)3第四十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)4.畫(huà)出下列橢圓的草圖（1）（2）B1

123-1-2-3-44yA1

A2

B2

12345-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB2

A2

B1

A1

12345-1-5-2-3-4x0第四十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日4.橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率。（1）離心率的取值范圍：（2）離心率對(duì)橢圓形狀的影響：0<e<11）離心率e越大，橢圓就越扁（瘦）；2）離心率e越小，橢圓就越圓（胖）；第四十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)5第四十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率

關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；---對(duì)稱軸關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱-----對(duì)稱中心a2=b2+c2≤≤≤≤,第四十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱a2=b2+c2同左同左同左同左≤≤≤≤,≤b,≤≤≤y-第四十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)6.已知橢圓方程為則它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是：

;短軸長(zhǎng)是：

;焦距是：

;離心率等于：

;焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

＿＿＿;頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

＿＿＿＿＿＿＿;

外切矩形的面積等于：

。

2第四十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日解：由題意得:當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是第四十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)7.若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。第五十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率同左同左同左同左≤≤≤≤,≤b,≤≤≤y-關(guān)于x