高一數(shù)學直線與平面垂直的判定人教

2.3.1直線與平面垂直的判定.一、直線與平面垂直的定義如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α。（如圖）直線l叫做平面α的垂線。平面α叫做直線l的垂面。直線l和平面α的交點叫做垂足。.αPl注：畫直線與水平平面垂直時，要把直線畫成和表示平面的平行四邊形橫邊垂直。返回.二、直線和平面垂直的判定定理

如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。.三、線面垂直判定定理的證明已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n。求證：l⊥α。.αmnBl.αmnBll.αmnBl.lαmngB.lαmngBg.lαmnBgAA’AB=A’B.lαmnBgAA’AB=A’B.lαmnBgAA’AB=A’B.lαmnBgAA’.lαmngABA’CDE.lαmngABCDA’E.lαmngABCDA’El⊥m.lαmABCA’l⊥m.lαmABCA’l⊥mAC=A’C.lαmngABCDA’EAD=A’D.lαmngABCDA’ECD=CD.lαmngABCDA’E△ACD≌△A’CD.lαmngABCDA’E∠ACE=∠A’CE.lαmngABCDA’EAC=A’CCE=CE.lαmngABCDA’E△ACE≌△A’CE.lαmngABCDA’EAE=A’E.lαmngABCDA’EAE=A’EAB=A’B.lαgABA’EAE=A’EAB=A’B.lαgABA’EAE=A’EAB=A’Bl⊥g.

如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線和平面垂直的判定定理注：mαnαm∩n=Bl⊥m

l⊥nl⊥α.這個定理還說明這樣一個事實，的確存在著和一個平面內(nèi)一切直線都垂直的直線，從而得證了直線和平面垂直的合理性。這個定理不僅提供了判定直線和平面垂值得一種方法，而且還是證明直線和直線互相垂直的一種常用的方法，即要想證明a⊥b，只需證a與b所在平面內(nèi)的兩條相交直線垂直（或證b與a所在平面內(nèi)的兩條相交直線垂直）。小結(jié).1、如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？2、如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？3、如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？練習.4、如果三條直線共點、且兩兩垂直，其中任一條直線是否垂直于另兩條直線確定的平面？為什么？5、如果一條直線垂直于一個三角形的兩邊，能否斷定這條直線和三角形的第三條邊垂直？為什么？練習.αabmn已知：a∥b，a⊥α求證：b⊥α例1如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面。（此定理可看作線面垂直的判定公理二）.證明：在平面α內(nèi)作兩條相交直線m，n∵a⊥α∴a⊥m,a⊥n∵b∥a∴b⊥m，b⊥n∴b⊥ααabmn.αβγabcE例2已知：bα，cα,b∩c=E，

β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。求證：a⊥α。.證明：∵b⊥β，β∩γ=a，∴b⊥a；∵c⊥γ，β∩γ=a，∴c⊥a；

∵b∩c=E，

bα，cα,∴a⊥α。αβγabcE.例3已知：正方體中，AC是面對角線，BD’是與AC異面的體對角線。求證：AC⊥BD’ABDCA′B′CD′′.證明：連接BD∵正方體ABCD-A’B’C’D’∴DD’⊥正方體ABCD∵AC、BD為對角線