正弦交流電路

第3章正弦交流電路

3．1正弦交流電的基本概念

3．2正弦量的相量表示方法

3．3單一元件構(gòu)成的交流電路3．4混合元件構(gòu)成的交流電路——RLC串聯(lián)電路

3．5正弦交流電路的分析方法

3．6諧振電路

3．7功率因數(shù)的提高3．1正弦交流電的基本概念前面的章節(jié)中我們所分析的電路都是直流電路，其特點(diǎn)是電流和電壓的大小和方向都不隨時(shí)間變化，是恒定的，如圖3-1所示。而在實(shí)際中應(yīng)用最多的還是交流電，其特點(diǎn)是電流和電壓的大小和方向都隨時(shí)間作周期變化，且在一個(gè)周期內(nèi)，其平均值為零。在交流電中，正弦交流電應(yīng)用最廣泛。所謂正弦交流電是指電流和電壓的大小及方向隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，其波形如圖3-2所示。正弦交流電流流過(guò)的電路稱(chēng)為正弦交流電路。

3．1．1正弦交流電量的三要素在分析計(jì)算正弦交流電路時(shí)，我們首先要寫(xiě)出正弦交流電量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并畫(huà)出它的波形圖。為此，必須像直流電路那樣，預(yù)先設(shè)定交流電量的正方向。如圖3-3（a）所示的一段電路，通過(guò)正弦電流，其正方向用箭頭標(biāo)示在電路中。當(dāng)?shù)膶?shí)際方向與正方向一致時(shí)，是正值，對(duì)應(yīng)波形圖的正半周；反之，的實(shí)際方向與正方向相反時(shí)，是負(fù)值，對(duì)應(yīng)波形圖的負(fù)半周。其正弦電流的波形圖如圖3-3（b）所示。與該波形圖相對(duì)應(yīng)的正弦電流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式（3－1）為正弦電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。正弦電量在每一瞬間的數(shù)值，稱(chēng)為瞬時(shí)值。規(guī)定用小寫(xiě)字母i，u，e分別表示正弦電流、電壓和電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。利用它們的瞬時(shí)值表達(dá)式可以計(jì)算出任一瞬時(shí)該正弦電量的數(shù)值。此值的正負(fù)與規(guī)定的正方向比較，便可確定該瞬時(shí)電量的實(shí)際方向。式（3-1）和圖3-3（b）表明：一個(gè)正弦電量的特征表現(xiàn)在它變化的最大值又稱(chēng)振幅值（），隨時(shí)間變化的快慢（）和起始值（t=0時(shí)的數(shù)值，它取決于t=0時(shí)的角度）三個(gè)方面。描述這三個(gè)特征的物理量是最大值、角頻率（頻率）和初相角，這三個(gè)物理量通常又被稱(chēng)為正弦量的三要素。

2．周期、頻率和角頻率周期、頻率和角頻率這三個(gè)物理量都是用來(lái)表示正弦電量隨時(shí)間變化快慢的。正弦量重復(fù)變化一周所需要的時(shí)間，稱(chēng)為周期，用大寫(xiě)字母表示，其單位是秒（s）。單位時(shí)間（１秒）內(nèi)正弦量變化的周期數(shù)，稱(chēng)為頻率，用小寫(xiě)字母f來(lái)表示，頻率的單位是赫茲（HZ）。根據(jù)上述定義可知，頻率與周期互為倒數(shù)，即：（注：在我國(guó)，發(fā)電廠提供的正弦交流電能的頻率是f=50HZ

，其周期秒，這一頻率稱(chēng)為工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)工頻。）3．初相位正弦量在每一瞬時(shí)的狀態(tài)是不同的，具體表現(xiàn)在每一瞬時(shí)的數(shù)值（包括正、負(fù)號(hào)）及變化趨勢(shì)不同。我們以圖3-5所示的正弦電流i為例，當(dāng)t=t1時(shí)，對(duì)應(yīng)波形圖上的b點(diǎn)，其瞬時(shí)值為b點(diǎn)在縱坐標(biāo)軸上的截距，變化趨勢(shì)是由小變大，而正弦量在這一瞬時(shí)的狀態(tài)則是由該瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的電角度（）所決定。我們把正弦電量在任意瞬時(shí)的電角度（）稱(chēng)為相位角，簡(jiǎn)稱(chēng)為相位。它反映了正弦量隨時(shí)間變化的進(jìn)程，決定了它在每一瞬時(shí)的狀態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)，正弦電量的相位角稱(chēng)為初相角，又稱(chēng)初相位。正弦電量在任何瞬時(shí)的相位都與初相位有關(guān)。例3.1

正弦電壓V，試求（1）最大值、角頻率和初相角。（2）該電壓從計(jì)時(shí)起點(diǎn)開(kāi)始需經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才第一次出現(xiàn)最大值。解（1）根據(jù)該正弦電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式可知：其最大值V；角頻率；頻率＝50HZ

；初相角。（2）該正弦電壓第一次出現(xiàn)最大值的時(shí)間應(yīng)為，即：314t＋60°＝90°將度數(shù)化為弧度數(shù)，可得：3．1．2兩同頻率正弦電量之間的相位關(guān)系在同一線性電路中，若電源都是同頻率的正弦電量，則各支路電流、電壓也都是同頻率的正弦電量。但是它們隨時(shí)間變化的進(jìn)程不同，為了描述同頻率正弦電量隨時(shí)間變化進(jìn)程的先后，我們引出了相位差這一概念。（3）若<，則相位差，波形如圖3-7（c）所示。這時(shí)u1滯后u2一個(gè)相位角，也就是u2超前于u1一個(gè)相位角。（4）當(dāng)時(shí)，波形圖如圖3-7（d）所示，這時(shí)u1與u2的相位相反，稱(chēng)為反相。例3.2

求兩個(gè)正弦電流A，A的相位差。解把電流寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的解析式，求出二者的初相，再求出相位差。

AA

根據(jù)解析式和相位差的定義可得：在正弦量的分析計(jì)算中，經(jīng)常要比較同一電路中多個(gè)同頻率正弦量之間的相位關(guān)系，為了方便起見(jiàn)，可以選取其中某一個(gè)正弦量作為參考，即令其初相角為零，我們把初相角為零的正弦量稱(chēng)為參考正弦量。這樣其它的正弦量的初相角應(yīng)等于與參考正弦量之間的相位差（即初相差）。各正弦量必須以同一時(shí)刻為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)才能比較相位差，故一個(gè)電路中只能有一個(gè)參考正弦量，而選擇哪一個(gè)則是任意的。

3．1．3正弦量的有效值在實(shí)際應(yīng)用中，用瞬時(shí)值或最大值來(lái)表示交流電量在電路中產(chǎn)生的效果既不確切，又不方便。為了反映交流電量的實(shí)際作用效果，我們通常使用“有效值”來(lái)表示交流電量的大小。什么是有效值？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是使一個(gè)交流電量的作功與一定數(shù)值的直流電量作功相等。這個(gè)直流電量的數(shù)值就是該交流電量的有效值。按照這樣的設(shè)想，根據(jù)電流的熱效應(yīng)，對(duì)交流電量的有效值定義如下：交流電流i和直流電流I分別流過(guò)阻值相同的電阻，如果在交流電流的一個(gè)周期內(nèi)它們所產(chǎn)生的熱量相等，即其熱效應(yīng)相等。我們就稱(chēng)該直流電流的數(shù)值就是交流電流的有效值。交流電流在一個(gè)周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量為：在實(shí)際應(yīng)用中，一般所說(shuō)交流電量的大小，都是指它的有效值。如民用交流電的電壓是220V，低壓動(dòng)力用電電壓是380V，均為有效值。各種交流電機(jī)、電氣設(shè)備銘牌標(biāo)注的電壓、電流數(shù)值；交流電壓表、電流表的示數(shù)等也都是有效值。一般只有在分析電氣設(shè)備與電路元件的耐壓絕緣能力時(shí)，才用到最大值。例3.4一個(gè)正弦電流的初相角為60°，在時(shí)電流的值為5A，試求該電流的有效值。解該正弦電流的解析式為：

3．2正弦量的相量表示方法前面已經(jīng)介紹了表示一個(gè)正弦量的兩種方法：瞬時(shí)值表達(dá)式（三角函數(shù)式）和波形圖。用這兩種方法表示的特點(diǎn)是直觀、形象，但用于分析和計(jì)算交流電路則比較麻煩，很不方便。因此，有必要找出一種便于分析計(jì)算的表示正弦電量的數(shù)學(xué)形式，即相量表示法。因?yàn)橛脧?fù)數(shù)可以表示一個(gè)有向線段（矢量）；而有向線段（矢量）又可以表示一個(gè)正弦量，因此，可以用復(fù)數(shù)表示一個(gè)正弦量。它們之間的邏輯關(guān)系，如下圖所示。

3．2．1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

1．復(fù)數(shù)及其表示形式在數(shù)學(xué)中為虛數(shù)單位并用i表示。由于在電工中i已代表電流，所以虛數(shù)單位改用j表示，即j＝，實(shí)數(shù)與j的乘積為虛數(shù)。由實(shí)數(shù)和虛數(shù)組合而成的數(shù)，稱(chēng)為復(fù)數(shù)。例如3＋4j，-2-3j等。把復(fù)數(shù)表示為一個(gè)實(shí)數(shù)部分和一個(gè)虛數(shù)部分，這種表示形式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其表達(dá)式為：

A=a+jb（3－9）復(fù)數(shù)也可以用復(fù)平面（在直角坐標(biāo)系中，其橫軸為實(shí)軸，用來(lái)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，其縱軸為虛軸，用來(lái)表示復(fù)數(shù)的虛部，這兩個(gè)坐標(biāo)軸所在平面稱(chēng)為復(fù)平面）上的矢量來(lái)表示。任意一個(gè)復(fù)數(shù)A=a＋jb與一個(gè)復(fù)平面上的矢量OA相對(duì)應(yīng)，其矢量長(zhǎng)度稱(chēng)為復(fù)數(shù)A的模，矢量與實(shí)軸正方向的夾角稱(chēng)為復(fù)數(shù)A的輻角，如圖3-9所示，它們之間的關(guān)系是根據(jù)公式（3－10）可把復(fù)數(shù)A=a+jb變?yōu)槿切问剑焊鶕?jù)歐拉公式

可以得出復(fù)數(shù)A的指數(shù)形式：

在電工中為了書(shū)寫(xiě)方便，常把指數(shù)形式的復(fù)數(shù)簡(jiǎn)寫(xiě)為，于是得到復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式：

綜上所述可知，一個(gè)復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上的一個(gè)矢量來(lái)表示，所以矢量也可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，并且有代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式四種形式，其中代數(shù)形式和極坐標(biāo)形式常用于計(jì)算。復(fù)數(shù)形式的相互變換和四則運(yùn)算，是求解交流電路的基本運(yùn)算。

2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)

1）復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算通常采用代數(shù)形式。即各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相加或相減。即：

2）復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算通常采用極坐標(biāo)形式。（1）乘法運(yùn)算是模相乘、輻角相加，即（2）除法運(yùn)算是模相除、輻角相減，即

3．2．2正弦量的相量圖及復(fù)數(shù)表示法

由上述可知，用復(fù)數(shù)可以表示一個(gè)矢量，可以證明矢量又可以表示正弦量，因此正弦量必然可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示。用一個(gè)復(fù)數(shù)表示正弦量的方法稱(chēng)為相量表示法。相量法分為相量圖和復(fù)數(shù)式兩種表示方法。下面分別予以介紹。1．相量圖表示法正弦交流電可用旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示。現(xiàn)以正弦電流為例，過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)作一有向線段（也稱(chēng)矢量）Im，矢量的長(zhǎng)度等于正弦量的最大值Im，矢量與橫軸正向的夾角等于正弦電流的初相位，讓該矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)的角速度等于該正弦電流的角頻率ω。如圖3-11所示?？梢?jiàn)，這一旋轉(zhuǎn)矢量Im任一瞬時(shí)在縱軸上的投影為：

顯然，旋轉(zhuǎn)矢量Im任一瞬時(shí)在縱軸上的投影與該正弦電流的瞬時(shí)值處處相等。由于正弦量的三要素與旋轉(zhuǎn)矢量有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即旋轉(zhuǎn)矢量反映了正弦量的三要素，而且它在縱軸上的投影就是正弦量的瞬時(shí)值，因此正弦交流電可以用旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示。在同頻率正弦量的電路分析中，因?yàn)樗鼈兊男D(zhuǎn)速度相等，它們的相對(duì)位置是不變的，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，只畫(huà)出它們的初始位置即可，即將它們固定在初始位置，用固定矢量來(lái)代替旋轉(zhuǎn)矢量。因此，一個(gè)正弦量只要它的最大值和初相位這兩個(gè)要素確定后，表示它的矢量就可確定。用相量圖表示正弦量，應(yīng)明確幾點(diǎn)：

(1)只有正弦交流電量才能用相量表示。相量與正弦量之間只能說(shuō)是存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，或代表關(guān)系。不能說(shuō)相量等于正弦量。但是，正弦量與其相應(yīng)的相量之間存在互求的對(duì)應(yīng)關(guān)系。相量的大小正弦交流電的有效值(或最大值)

相量的輻角正弦交流電的初相位

(2)只有同頻率的正弦量才能畫(huà)在同一相量圖上，因?yàn)橥l率的交流電在任何瞬時(shí)的相位差不變，故在相量圖中，它們之間的相對(duì)位置不變，從而可用平行四邊形法則進(jìn)行相量的加減法運(yùn)算。相量除了可用相量圖表示外，還可以用復(fù)數(shù)式表示，用復(fù)數(shù)式表示可以利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則對(duì)電路進(jìn)行分析和計(jì)算。2．復(fù)數(shù)表示法因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)矢量可以用復(fù)數(shù)表示，所以相量同樣可以用復(fù)數(shù)表示。若把有效值相量置于復(fù)平面上，便可得到正弦量的復(fù)數(shù)表示形式。由圖3-14可知，相量可表示為代數(shù)形式：

這種表示適用于相量的加、減運(yùn)算。相量還可以表示為極坐標(biāo)形式：

極坐標(biāo)形式適用于相量的乘、除運(yùn)算。復(fù)數(shù)的代數(shù)式和極坐式之間可利用下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：根據(jù)上述，當(dāng)用復(fù)數(shù)表示正弦量時(shí)，只要知道正弦量的幅值(或有效值)和初相位兩個(gè)量，則可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)式。例如正弦電流與它的復(fù)數(shù)式可以用下面對(duì)應(yīng)關(guān)系式來(lái)表示：因此，給出一個(gè)正弦電量，就可以寫(xiě)出它所對(duì)應(yīng)的相量的復(fù)數(shù)式；反之，若已知正弦電量的復(fù)數(shù)式，并已知它的角頻率，也可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的正弦電量的瞬時(shí)值表達(dá)式。這里要著重說(shuō)明的是，復(fù)數(shù)只是為了簡(jiǎn)化正弦量的計(jì)算而采取的一種表示形式，它們之間只有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而不是相等。即?？傊硎菊伊康南嗔坑袃煞N表示形式，即相量圖和復(fù)數(shù)式。綜上所述，一個(gè)正弦量除了可以用瞬時(shí)值三角函數(shù)式和波形圖表示外，還可用相量圖、復(fù)數(shù)式表示。并且這些表示方式可以互相轉(zhuǎn)換。只要知道其中之一，就可轉(zhuǎn)換為其它幾種形式。相量圖如圖3-15所示。

3．2．3兩個(gè)同頻率正弦量的加、減運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)同頻率正弦量進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，例如，在圖3-16所示電路中，設(shè)兩個(gè)正弦電壓：

因此，兩個(gè)同頻率正弦量的加、減運(yùn)算問(wèn)題就可以化成對(duì)應(yīng)的相量的加、減問(wèn)題，從而變成了復(fù)數(shù)運(yùn)算。其步驟為：（1）由已知正弦量的瞬時(shí)值表達(dá)式寫(xiě)出相應(yīng)的復(fù)數(shù)式，并化成代數(shù)形式。（2）按復(fù)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行加、減運(yùn)算，求出和、差的相量式（復(fù)數(shù)式），并最終化成極坐標(biāo)形式。（3）由和、差的相量的有效值和初相寫(xiě)出兩個(gè)正弦量和、差的瞬時(shí)值表達(dá)式。還可以作相量圖，按照矢量的運(yùn)算法則求相量的和（差）。矢量求和除了按平行四邊形法則之外，還可以按矢量的三角形法則計(jì)算相量的和差，使過(guò)程簡(jiǎn)化。如圖3-17所示。方法二：作相量圖求解。根據(jù)和畫(huà)出相量圖，如圖3-18所示。其結(jié)果與方法一相同。讀者可自行分析。

3．3單一元件構(gòu)成的交流電路

最簡(jiǎn)單的交流電路是由電阻、電感、電容單個(gè)電路元件組成的，這些電路元件分別由R、L、C三個(gè)參數(shù)來(lái)表示其特性，故稱(chēng)這種電路為單一參數(shù)的交流電路。工程實(shí)際中的某些電路就可以作為單一參數(shù)的交流電路來(lái)處理，另外，復(fù)雜的交流電路也可以認(rèn)為是由單一參數(shù)電路元件組合而成的，因此掌握單一參數(shù)的交流電路的分析是很重要的。3．3．1電阻元件的交流電路1．電壓與電流關(guān)系在交流電路中，通過(guò)線性電阻元件的電流和它兩端的電壓，在任何瞬時(shí)均遵守歐姆定律。在圖3-19所示的電路中，只包含電阻元件R，其電壓、電流正方向均如圖所示。則設(shè)電阻兩端的電壓是正弦交流電壓，則電流i為

式（3－19）表明：電阻元件中的電流及其兩端的電壓都是同頻率的正弦量。

1）數(shù)值關(guān)系由式（3－19）可得電壓、電流最大值之間的關(guān)系：兩邊同除以，可得有效值之間的關(guān)系：

即電壓與電流的有效值服從歐姆定律。

2）相位關(guān)系因?yàn)殡娏髋c電壓的初相位相同，即，因此電壓與電流是同相位。波形圖如圖3-20（a）所示。3）相量關(guān)系根據(jù)電壓和電流對(duì)應(yīng)的相量式，可得

或（3－22）式（3－22）稱(chēng)為歐姆定律的相量形式，它既表達(dá)了電壓與電流有效值之間的關(guān)系為，又表達(dá)了電壓與電流同相位。相量圖如圖3-20（b）所示。總之，電阻元件兩端的電壓與電流的關(guān)系可概括如下：（1）電壓與電流同頻率。（2）電壓與電流同相位。（3）電壓與電流瞬時(shí)值、有效值、最大值及相量均符合歐姆定律。2．功率1）瞬時(shí)功率在交流電路中，通過(guò)電阻元件的電流及其兩端的電壓都是交變的，電阻吸收的電功率也必定隨時(shí)間變化。電阻在每一瞬時(shí)所吸收的電功率稱(chēng)為瞬時(shí)功率，用小寫(xiě)字母p表示，它等于同一瞬時(shí)電壓、電流瞬時(shí)值的乘積，即現(xiàn)假定電阻兩端的電壓，通過(guò)的電流，則瞬時(shí)功率為：上式表明：瞬時(shí)功率p是隨時(shí)間變化的，并可認(rèn)為由兩部分組成：第一部分是電壓、電流有效值的乘積UI，是恒定值。第二部分是幅值為UI，并以隨時(shí)間變化的交變量。瞬時(shí)功率p的波形如圖3-21所示。由于電阻元件的電壓、電流同相位，它們的瞬時(shí)值總是同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)，所以瞬時(shí)功率p總為正值（正弦零點(diǎn)時(shí)p＝0）。這表明，電阻元件總是從電源吸收功率，并轉(zhuǎn)換為熱能，因此，電阻是耗能元件。

2）平均功率瞬時(shí)功率p隨時(shí)間變化，不能表示電阻元件的實(shí)際耗能效果。為此，取瞬時(shí)功率p在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱(chēng)為平均功率，用大寫(xiě)字母P表示，平均功率又稱(chēng)為有功功率。可得平均功率此式說(shuō)明，當(dāng)正弦電壓、電流用它們的有效值表示時(shí)，電阻元件的平均功率與直流電路中功率的計(jì)算公式是相同的。3．3．2電感元件的交流電路

1．電壓與電流的關(guān)系圖3-22所示的電路是僅有參數(shù)為L(zhǎng)的電感元件電路，在規(guī)定的正方向下，根據(jù)公式（1-23），其伏安關(guān)系是：假定通過(guò)電感元件的電流為正弦電流

則電感元件的端電壓為：

1）數(shù)值關(guān)系由式（3－25）可得最大值的關(guān)系式：用有效值表示時(shí)，為下式所示：

式中是電感電壓和電流有效值（或最大值）的比值，稱(chēng)為電感的電抗，簡(jiǎn)稱(chēng)感抗，其單位是歐姆。式（3－27）表明：引入感抗之后，電感的電壓與電流的有效值之間具有歐姆定律的形式。當(dāng)電壓有效值U一定時(shí)，感抗越大，電流有效值越小?？梢哉J(rèn)為，感抗是表征電感元件對(duì)交流電流呈現(xiàn)阻力作用的一個(gè)物理量。其值為即電感的感抗與電感L成正比，與電源的頻率

成正比。當(dāng)電感L為定值時(shí)，感抗只與有關(guān)。越高，越大，在電壓U為定值時(shí)，通過(guò)電感L的電流I就越小。利用電感線圈在高頻時(shí)感抗大的特點(diǎn)，可做成扼流線圈，以阻止高頻電流的流過(guò)。而對(duì)于直流電流，因，其感抗，所以在直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感元件相當(dāng)于短路。應(yīng)該指出：在單一電感參數(shù)電路中，電壓與電流的瞬時(shí)值之間并不具有歐姆定律的形式，即不存在正比關(guān)系，感抗也不能代表電壓、電流瞬時(shí)值比值。

2）相位關(guān)系從式（3－25）可知：電感電壓u與電流i之間出現(xiàn)了相位差，且u超前i90°，或者說(shuō)電感電流i滯后電壓u90°。其波形圖如圖3-23（a）所示。

3）相量關(guān)系根據(jù)電壓和電流對(duì)應(yīng)的相量式：可得

或（3－29）式（3－29）稱(chēng)為歐姆定律的相量形式，它既表達(dá)了電壓與電流有效值之間的關(guān)系為，又表達(dá)了電壓相位超前電流90°。相量圖如圖3-23（b）所示。波形圖表明：在第一個(gè)和第三個(gè)周期內(nèi)，u和i同為正值或同為負(fù)值，瞬時(shí)功率p為正。在此期間，由于i是從零增長(zhǎng)到最大值，電感元件建立磁場(chǎng)，將從電源吸收的電能轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能量，儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中。在第二個(gè)和第四個(gè)周期內(nèi)，u和i一個(gè)為正值，另一個(gè)為負(fù)值，故瞬時(shí)功率p是負(fù)值。在此期間，電流i是從最大值下降為零，電感元件中建立的磁場(chǎng)在消失。這期間電感中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量釋放出來(lái)，轉(zhuǎn)換為電能送還給電源。在以后的每個(gè)周期中都重復(fù)上述過(guò)程。由于我們所討論的是單一電感元件電路，電路中沒(méi)有電阻。因此，沒(méi)有能量消耗，電感元件從電源中吸收的能量又全部返還個(gè)電源，所以電感的平均功率P必為零。這說(shuō)明電感不消耗能量，是一儲(chǔ)能元件。2）平均功率（有功功率）電感元件瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率3）無(wú)功功率電感元件的平均功率為零，但存在著電源與電感元件之間的能量交換，所以瞬時(shí)功率不為零。為了衡量這種能量交換的規(guī)模，我們把瞬時(shí)功率的最大值，即電壓和電流有效值的乘積，稱(chēng)為無(wú)功功率，用大寫(xiě)字母表示，即無(wú)功功率并不是實(shí)際消耗的功率，為了與有功功率區(qū)別開(kāi)，無(wú)功功率的電位用“乏”（var）或“千乏”（kvar）表示。

以上計(jì)算結(jié)果表明：交流電流的頻率越高，電感元件的感抗越大。在電壓一定時(shí)，通過(guò)電感元件的電流便越小。因此，電感線圈具有阻止高頻交流電流通過(guò)的作用。3．3．3電容元件的交流電路1．電壓與電流的關(guān)系圖3-25所示的電路是只有電容元件C的正弦交流電路。電壓u和電流i的正方向均如圖所示。在規(guī)定正方向下，根據(jù)公式（1-18），其伏安關(guān)系是：若電容兩端接入正弦電壓，則通過(guò)電容元件的電流i為

當(dāng)電容C為一定值時(shí)，頻率f越高，則容抗XC就越小。在電壓Uc一定的條件下，電容電流就越大。從物理概念分析，電流頻率越高，電容充電和放電就越頻繁，單位時(shí)間內(nèi)電荷的遷移量就越大，所以電容電流就越大。另一方面，電壓Uc一定時(shí)，電容量C越大，表示電容儲(chǔ)存電荷的能力便越強(qiáng)，單位時(shí)間內(nèi)電容充電和放電移動(dòng)的電荷量就越多，因而電容電流也就越大。電容元件對(duì)于高頻電流呈現(xiàn)的容抗較小，使較高頻率的電流易于通過(guò)。對(duì)于直流電流，其頻率f

＝0，所呈現(xiàn)的容抗，可視為開(kāi)路。因此，電容元件具有“隔直流、通交流”的作用。在電壓U和電容C均為一定值時(shí)，容抗XC和電流I與頻率f的關(guān)系曲線如圖3-26所示。2）相位關(guān)系從式（3－32）可以看出，電容電流i超前電壓u90°，或稱(chēng)電容電壓滯后于電容電流90°，波形圖如圖3-27（a）所示。

3）相量關(guān)系根據(jù)電壓和電流對(duì)應(yīng)的相量式：可得

式（3－35）稱(chēng)為歐姆定律的相量形式，它既表達(dá)了電壓與電流有效值之間的關(guān)系為，又表達(dá)了電壓相位滯后電流90°。相量圖如圖3-27（b）所示。2．功率1）瞬時(shí)功率電容元件在正弦交流電路中的瞬時(shí)功率就是其電壓u和電流i瞬時(shí)值的乘積，即由于所討論的是單一電容參數(shù)電路，電路中沒(méi)有電阻。因此沒(méi)有能量消耗，電容從電源吸取的電能將全部返還給電源，所以電容的平均功率必為零。說(shuō)明電容不消耗能量，也是一儲(chǔ)能元件。

2）平均功率（有功功率）電容元件瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率

3）無(wú)功功率電容元件的平均功率為零，但存在著電源與電容元件之間的能量交換，所以瞬時(shí)功率不為零。同樣，采用無(wú)功功率來(lái)衡量這種能量交換的規(guī)模，它等于瞬時(shí)功率的最大值UI。電容元件的無(wú)功功率用大寫(xiě)字母表示，且其單位為乏（var）或千乏（kvar）。

由此可見(jiàn)：在電源電壓一定時(shí)，頻率越高，容抗越小，電容電流便越大。以上介紹了純電阻、純電感、純電容三種單一元件的正弦交流電路，這三種單一元件電路中的電壓、電流的數(shù)值與相位關(guān)系以及功率與能量的特性，是分析正弦交流電路的基礎(chǔ)。為了便于復(fù)習(xí)、掌握，現(xiàn)將這三種電壓、電流關(guān)系及功率特性，總結(jié)列表如表3-1所示。3.4混合元件構(gòu)成的交流電路——RLC串聯(lián)電路

3．4．1電壓與電流的關(guān)系設(shè)在圖3-29（a）所示的RLC串聯(lián)電路中有正弦電流通過(guò)，則該電流在電阻、電感和電容上產(chǎn)生的電壓降為

它們是與電流i有相同頻率的正弦量，但有不同的相位。根據(jù)KVL顯然有由于是同頻率的正弦量，故可以用相量來(lái)表示，即

將代入上式得是感抗與容抗之差，稱(chēng)之為電抗，單位為歐姆（）

Z是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱(chēng)為復(fù)阻抗，單位也是歐姆（），也具有對(duì)電流起阻礙作用的性質(zhì)。但是要注意不是代表正弦量的復(fù)數(shù)，故在它的符號(hào)上不加“.”，以示與代表正弦量的復(fù)數(shù)（相量）之間的區(qū)別。既然Z是一個(gè)復(fù)數(shù)，故可以寫(xiě)成復(fù)阻抗的模（簡(jiǎn)稱(chēng)阻抗）

復(fù)阻抗的輻角（稱(chēng)為阻抗角）

式與直流電路中的歐姆定律有相似的形式，稱(chēng)為正弦交流電路的歐姆定律的相量形式。它既表達(dá)了電路中電壓與電流有效值之間的關(guān)系，又表達(dá)了電壓與電流之間的相位差。這時(shí)歐姆定律的相量形式可寫(xiě)成：

若，則電壓超前于電流角；若，則電壓滯后電流角；若，則電壓與電流同相位。根據(jù)所表達(dá)的電壓相量與電流相量之間的關(guān)系可知，圖3-29（a）所示的電路可用圖3-29（b）和圖3-29（c）來(lái)代替。圖3-29（b）是將電壓和電流以相量表示，而電路中的電阻參數(shù)不變，電感L變成，電容C變成。圖3-29（c）是將圖3-29（b）中的感抗與容抗合并成電抗，然后電阻和電抗以復(fù)阻抗Z來(lái)表示。

有了相量形式表示的電路圖，給求解電路帶來(lái)很大方便。由圖3-29（c），可直接寫(xiě)出電壓、電流相量之間的關(guān)系故電流：

以電源電壓為參考相量，則電源電壓瞬時(shí)值表達(dá)式為V又因阻抗角：

故電流瞬時(shí)值表達(dá)式為

A例3.13已知某繼電器的電阻為2k，電感為43.3H，接于380V的工頻交流電源上。試求通過(guò)線圈的電流及電流與外電壓的相位差。解這是RL串聯(lián)電路，可看成是的RLC串聯(lián)電路，其電路圖如圖3-34（a）所示。3．4．2串聯(lián)電路的功率

在分析單一參數(shù)電路元件的交流電路時(shí)已經(jīng)知道，電阻是消耗能量的，而電感和電容是不消耗能量的，只在電感、電容與電源之間進(jìn)行能量的交換。那么在RLC串聯(lián)電路中能量交換的情況又是怎樣的呢？電路的功率又是如何計(jì)算的呢？1．瞬時(shí)功率RLC串聯(lián)電路所吸收的瞬時(shí)功率為2．平均功率由于電感和電容不消耗能量，電路所消耗的功率就是電阻所消耗的功率。所以該電路在一周內(nèi)消耗的平均功率為由電壓三角形可知所以3．視在功率式（3－48）中，U與I的乘積UI，具有功率的形式，且與功率有相同的量綱，但卻不是電路實(shí)際所消耗的功率，稱(chēng)為視在功率，用S表示，即（3－49）視在功率的單位為伏安（VA）。一般變壓器的額定容量SN就是以視在功率表示的，它是額定電壓UN與額定電流IN的乘積。至于它能向外電路輸出多少有功功率，還與負(fù)載的功率因數(shù)有關(guān)。功率因數(shù)是電路的一個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)。4．無(wú)功功率由于電路中有儲(chǔ)能元件電感和電容，它們雖不消耗功率，但與電源之間是有能量交換的，這種能量交換仍用無(wú)功功率表示。電感與電源進(jìn)行功率交換的最大值為（即感性無(wú)功功率）；電容與電源進(jìn)行功率交換的最大值為（即容性無(wú)功功率）。由于在RLC電路中電感和電容上流過(guò)的是同一電流i，而電壓UL和UC是反相的，所以感性無(wú)功功率QL與容性無(wú)功功率QC的作用也是反相的。當(dāng)電感上pL的為正值時(shí)，電容上的pC恰好為負(fù)值，即當(dāng)電感吸收能量時(shí)，電容恰好放出能量，反之亦然。這樣就減輕了電源負(fù)擔(dān)，使它與負(fù)載之間傳輸?shù)臒o(wú)功功率等于QL與QC之差。因此電路總的無(wú)功功率為由電壓三角形可知故得：5．功率三角形由公式，及可知，有功功率P、無(wú)功功率Q和視在功率S也組成了一個(gè)直角三角形，如圖3-35所示。顯然功率三角形也可由阻抗三角形各邊乘以而得，因此功率三角形、電壓三角形、阻抗三角形它們是相似三角形。值得指出，對(duì)于任何復(fù)雜電路，電路中所消耗得總有功功率等于各部分有功功率之和，即總無(wú)功功率等于各部分無(wú)功功率之和，即

但是，在一般情況下，總視在功率不等于各部分視在功率之和。(3-54)(3-55)3．5正弦交流電路的分析方法

在RLC串聯(lián)電路中，我們已導(dǎo)出了正弦交流電路中歐姆定律的相量形式，同樣，還可以導(dǎo)出基爾霍夫定律的相量形式。這樣一來(lái)，直流電路中由歐姆定律和基爾霍夫定律所推導(dǎo)出來(lái)的一切結(jié)論、定理和分析方法都可以擴(kuò)展到交流電路中。3.5.1基爾霍夫定律的相量形式1．基爾霍夫電流定律(KCL)基爾霍夫電流定律對(duì)電路中的任一節(jié)點(diǎn)任一瞬時(shí)都是成立的，即。將方程改寫(xiě)成如果這些電流都是同頻率的正弦量，則可用相量表示為或這就是基爾霍夫電流定律在正弦交流電路中的相量形式。它與直流電路中的基爾霍夫電流定律的形式上相似。

(3-56)

2．基爾霍夫電壓定律(KVL)基爾霍夫電壓定律對(duì)電路中的任一回路任一瞬時(shí)都是成立的，即。同樣，如果這些電壓uk都是同頻率的正弦量，則可用相量表示為（3－57）這就是基爾霍夫電壓定律在正弦交流電路中的相量形式。它與直流電路中的基爾霍夫電壓定律在形式上相似。由此可以得出結(jié)論：在正弦交流電路中，以相量形式表示的歐姆定律和基爾霍夫定律都與直流電路有相似的表達(dá)式。因而在直流電路中由歐姆定律和基爾霍夫定律推導(dǎo)出來(lái)的支路電流法、疊加定理、戴維南定理等都可以同樣擴(kuò)展到正弦交流電路中。在擴(kuò)展中，直流電路中的電動(dòng)勢(shì)E、電壓U和電流I分別要用相量、和來(lái)代替，電阻R要用復(fù)阻抗Z來(lái)代替。3．5．2復(fù)阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)由于正弦交流電路中的復(fù)阻抗Z與直流電路中的電阻R是對(duì)應(yīng)的，因而直流電路中的電阻串聯(lián)公式也同樣可以擴(kuò)展到正弦交流電路中，用于復(fù)阻抗的串并聯(lián)計(jì)算。如圖3-36（a）所示的多個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)時(shí)，其總復(fù)阻抗等于各個(gè)分復(fù)阻抗之和，即

圖3-36（b）所示的多個(gè)復(fù)阻抗并聯(lián)時(shí)，其總復(fù)阻抗的倒數(shù)等于各個(gè)分復(fù)阻抗倒數(shù)之和，即（3－59）當(dāng)兩個(gè)復(fù)阻抗并聯(lián)時(shí)，（3－60）若兩個(gè)并聯(lián)的復(fù)阻抗相等，則（3－61）必須注意：上列各式是復(fù)數(shù)運(yùn)算，而不是實(shí)數(shù)運(yùn)算。因此，在一般情況下，當(dāng)阻抗串聯(lián)時(shí)，；阻抗并聯(lián)時(shí)，以及。3．6諧振電路

在3.4RLC串聯(lián)電路中已指出，當(dāng)電感上的電壓與電容上的電壓相等時(shí)，它們正好相互抵消，電路中電流與電壓同相位，這時(shí)就稱(chēng)電路發(fā)生了諧振。研究諧振的目的在于掌握這一客觀規(guī)律，以便在生產(chǎn)實(shí)踐中充分地利用它，同時(shí)也要防止它可能造成的危害。諧振分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種，下面分別予以討論。3．6．1串聯(lián)諧振

1．串聯(lián)諧振的條件在一般情況下，RLC串聯(lián)電路中的電流與電壓相位是不同的。但是可以用調(diào)節(jié)電路參數(shù)（L、C）或改變外加電壓頻率的方法，使電抗即

（3－62）這時(shí)電路中的阻抗是電阻性的，故電流與電壓同相位，也就是說(shuō)電路發(fā)生了諧振。由于電路中的電阻、電感及電容元件是串聯(lián)的，故稱(chēng)為串聯(lián)諧振。由諧振條件式（3－62）可得諧振時(shí)的角頻率為（3－63）諧振頻率為（3－64）當(dāng)電路參數(shù)L、C一定時(shí)，f0為一定值，故f0又稱(chēng)為電路的固有頻率。由此可見(jiàn)，若要使電路在頻率為f的外加電壓情況下發(fā)生諧振，可以用改變電路參數(shù)L、C的辦法，使電路的固有頻率與外加電壓的頻率相等來(lái)實(shí)現(xiàn)。２．串聯(lián)諧振的特征

串聯(lián)諧振有以下特征：（1）電流與電壓同相位，電路呈電阻性。（2）阻抗最小，電流最大。這是由于諧振時(shí)電抗為零，故阻抗最小，其值為

這時(shí)電路中的電流最大，稱(chēng)為諧振電流，其值為

圖3-38是阻抗和電流隨頻率變化曲線。（3）電感端電壓與電容端電壓大小相等，相位相反；電阻端電壓等于外加電壓。因諧振時(shí)電感端電壓與電容端電壓相互補(bǔ)償，這時(shí)外加電壓與電阻上的電壓相平衡，即（4）電感和電容的端電壓有可能大大超過(guò)外加電壓。諧振時(shí)電感或電容的端電壓與外加電壓的比值為

當(dāng)XL＞＞R時(shí)，電感和電容的端電壓就大大超過(guò)外加電壓，二者的比值Q稱(chēng)為諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，它表示在諧振時(shí)電感或電容上的電壓是外加電壓的倍。Q值一般可達(dá)幾十至幾百，因此串聯(lián)諧振又稱(chēng)為電壓諧振。串聯(lián)諧振在有些地方是有害的，例如在電力工程中，若電壓為380V，Q＝10，則在諧振時(shí)電感或電容上的電壓就是3800V，這是很危險(xiǎn)的，如果Q值再大，則更危險(xiǎn)。所以在電力工程中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。但在無(wú)線電工程中，串聯(lián)諧振卻得到廣泛應(yīng)用，例如在收音機(jī)里常被用來(lái)選擇信號(hào)。（3－65）

圖3-39（a）是收音機(jī)的磁性天線。繞在磁棒上的線圈兩端接上可變電容C,當(dāng)各臺(tái)不同頻率的電磁波信號(hào)經(jīng)過(guò)天線時(shí)，線圈中便感應(yīng)出不同頻率的電動(dòng)勢(shì)，其原理如圖3-39（b）所示，電路中的電流是各個(gè)不同頻率的電動(dòng)勢(shì)所產(chǎn)生的電流之疊加，如果調(diào)節(jié)電容C使之與某電臺(tái)的信號(hào)頻率f1發(fā)生諧振，則電路對(duì)該電臺(tái)信號(hào)源e1的阻抗最小，該頻率的信號(hào)電流最大，在電感的兩端就會(huì)得到最高的輸出電壓，經(jīng)放大后，揚(yáng)聲器便播出該電臺(tái)的節(jié)目。而對(duì)于其它電臺(tái)的信號(hào)頻率，電路不發(fā)生諧振，阻抗很大，故電流受到抑制，電感上輸出的電壓就很小。因此，調(diào)節(jié)電容C的數(shù)值，電路就會(huì)對(duì)不同的頻率發(fā)生諧振，從而達(dá)到選臺(tái)的目的。如果諧振電路的Q值越大，則選頻特性越好。

3．6．2并聯(lián)諧振諧振也可以發(fā)生在并聯(lián)電路中，下面以電感線圈與電容器并聯(lián)的電路為例來(lái)討論并聯(lián)諧振的條件和主要特征。

1．并聯(lián)諧振的條件如將一電感線圈與電容器相并聯(lián)，當(dāng)電路參數(shù)選取適當(dāng)時(shí)，可使總電流與外加電壓同相位，就稱(chēng)這電路發(fā)生了并聯(lián)諧振。由于線圈總是具有電阻的，所以實(shí)際電路可看成是R、L串聯(lián)后與C的并聯(lián)，如圖3-40所示。此時(shí)RL支路中的電流為電容C支路中的電流為故總電流

此式表明，若要使電路中的電流與外加電壓同相位，則需的虛部為零，即

在一般情況下，線圈的電阻R很小，線圈的感抗＞＞R，故

由此可得諧振角頻率故諧振頻率

這就是說(shuō)，當(dāng)電感線圈的感抗＞＞R時(shí)，并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振的條件基本相同。即相同的電感和電容當(dāng)它們接成并聯(lián)或串聯(lián)時(shí)，諧振頻率幾乎相等。

２．并聯(lián)諧振的特征并聯(lián)諧振的相量圖如圖3-41所示。并聯(lián)諧振有以下特征：（1）電流與電壓同相位，電路呈電阻性。（2）阻抗最大，電流最小。因?yàn)殡娏髋c電壓同相，式（3－66）中電流的虛部為零，故諧振時(shí)的電流式中

（3－70）因電阻很小，故并聯(lián)諧振呈高阻抗特性。若，則，即電路不允許頻率為f0的電流通過(guò)。

（3）電感電流與電容電流幾乎大小相等，相位相反。因?yàn)榕c同相，且的數(shù)值極小，故與必然近乎大小相等，相位相反。（4）電感或電容支路的電流有可能大大超過(guò)總電流。電感支路（或電容支路）的電流與總電流之比為電路的品質(zhì)因數(shù)，其值為

（3－71