第4章6節(jié) 高斯求積公式

§6高斯求積公式1

1.一般理論

求積公式含有個待定參數(shù)當為等距節(jié)點時得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為次.2為具有一般性，研究帶權(quán)積分這里為權(quán)函數(shù)，求積公式為為不依賴于的求積系數(shù).為求積節(jié)點，適當選取使其具有最高次代數(shù)精度3

定理n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度不超過2n+1.證：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)24

定義若n+1個互異節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度達到2n+1次，則稱此n+1個互異節(jié)點為高斯點，此求積公式為高斯型求積公式。5根據(jù)定義要使求積公式具有次代數(shù)精度，只要對當給定權(quán)函數(shù)，求出右端積分，則可解得令精確成立，6

例5

解令公式(5.3)對于準確成立，試構(gòu)造下列積分的高斯求積公式：得7

由此解出從而8這樣，高斯公式是由于非線性方程組較復雜，通常就很難求解.故一般不通過解方程求，而從分析高斯點的特性來構(gòu)造高斯求積公式.9

定理5是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數(shù)不超過的多項式帶權(quán)正交，

證明即插值型求積公式的節(jié)點必要性.設則10是高斯點，因此，如果因即有故成立.精確成立，則求積公式對于充分性.用除，記商為余式為即,其中.對于

11由于求積公式是插值型的，它對于是精確的，即再注意到知從而有12可見求積公式對一切次數(shù)不超過的多項式均精確成立.因此，為高斯點.定理表明在上帶權(quán)的次正交多項式的零點就是求積公式的高斯點.有了求積節(jié)點，再利用對成立，解此方程則得的線性方程.則得到一組關于求積系數(shù)13下面討論高斯求積公式的余項.利用在節(jié)點的埃爾米特插值于是也可直接由的插值多項式求出求積系數(shù)即14兩端乘，并由到積分，則得其中右端第一項積分對次多項式精確成立，故由于由積分中值定理得為關于高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性，有15

定理6

證明它是次多項式，因而是次多項式，注意到高斯求積公式的求積系數(shù)全是正的.考察故高斯求積公式對于它能準確成立，即有上式右端實際上即等于從而有16由本定理及定理2，則得下列推論.

推論

定理7定理得證.高斯求積公式是穩(wěn)定的.即設則高斯求積公式收斂，17

2高斯-勒讓德求積公式

在高斯求積公式中，由于勒讓德多項式是區(qū)間上的正交多項式，因此，勒讓德多項式的零點就是求積公式的高斯點.此類高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式.區(qū)間為則得公式若取權(quán)函數(shù)18令它對準確成立，即可定出這樣構(gòu)造出的一點高斯-勒讓德求積公式是中矩形公式.若取的零點作為節(jié)點構(gòu)造求積公式再取的兩個零點構(gòu)造求積公式19令它對都準確成立，有由此解出三點高斯-勒讓德公式的形式是表4-7列出了高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點和系數(shù).從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式2021這里是最高項系數(shù)為1的勒讓德多項式.

余項22得當時，有它比區(qū)間上辛普森公式的余項還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值.當積分區(qū)間不是，而是一般的區(qū)間時，只要做變換23可將化為,對等式右端的積分即可使用高斯-勒讓德求積公式.這時24

例6用4點()的高斯-勒讓德求積公式計算

解先將區(qū)間化為，根據(jù)表4-7中的節(jié)點及系數(shù)值可求得有25

3高斯-切比雪夫求積公式若且取權(quán)函數(shù)則所建立的高斯公式為稱為高斯-切比雪夫求積公式.26由于區(qū)間上關于權(quán)函數(shù)的正交多項式是切比雪夫多式，因此求積公式的高斯點是次切比雪夫多項式的零點，即為的系數(shù)使用時將個節(jié)點公式改為個節(jié)點，于