三角形、三角形相似及全等

三角形、三角形相似及全等一、三角形的邊例1：①3、4、x為三角形的三邊，求x的取值范圍。②3、4、x為直角三角形的三邊，求x的取值。③3、4、x為等腰三角形的三邊，求x的取值。例2：a、b、c為三角形的三邊，它們存在如下關(guān)系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請問三角形為什么三角形？并說明理由。課堂練習(xí)1.以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（）TOC\o"1-5"\h\z若線段，線段，線段，則（）.^^或.V等腰三角形的兩邊長分別為和，則此三角形的周長是（）.^^^或.已知a,b,c為^ABC三邊，且滿足a2c2—b2c2=a4—b4,則它的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形.若3,m,5為三角形三邊，化簡：G—mA—（m—8）2二、三角形的角例1：三角形的三個角的比值為1：2：3,求三角形三個角的度數(shù)及三角形的三邊比。例？：△ABC中，/A,ZB均為銳角，且有ItanB-x3I+（2sinA—<3）2=0,則4ABC是（）A.直角（不等腰）三角形B.等腰直角三角形C.等腰（不等邊）三角形D.等邊三角形科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳露290號《旅游公司）4株2樓咨詢電話科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳髓科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳髓19。號《旅游公司）4棟2摟咨詢電話科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號《旅游公司）科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號《旅游公司）4棟2樓咨誨電話三、三角形的線（一）角平分線：過三角形的頂點引一條射線，把這個角分成二等分，這條線就叫做三角形的角平分線。角平分線上的點到三角形的兩邊相等。例1：如圖，OE是/AOB的平分線，CD〃OB交OA于C,交OE于DNACD=50o,則ZCDE的度數(shù)是課堂練習(xí)，.已知：如圖，4ABC中，BD平分NABC,且D為AC的中點，DE〃BC交AB^若BC=4，則I」EB長為..已知△ABC中，ZB=ZC,D為BA延長線上的點，AM是NCAD的平分線，求證：AM〃BC.（二）中線、高、垂直平分線（1）三角形的中線：連結(jié)三角形的一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線.（2）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊（或其延長線）引垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高（3）線段的垂直平分線：垂直并平分這條線段的線叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等。例2：如圖，在△中，N=°,/=°,的垂直平分線交于點，=62,±于點，求的長.EC3題圖

BCETOC\o"1-5"\h\z圖1圖2圖3.如圖2,在Rt△ABC中，/B=90。，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D,交BC于點E.已知/BAE=10。，則/C的度數(shù)為（）A．30。B．40。C．50。D．60。.如圖3,在RtAABC中，NACB=90°BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E,則CE的長為（）A.-B.7C.25D.2266（三）中位線例1：如右圖，在4ABC中，D.E兩點分別在BC.AC邊上.若BD=CD,AZB=ZCDE,DE=2,則I」AB的長度是（）/\A.4B.5C.6D.7//八四、三角形相似H7；C（一）相似三角形的判定：①兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.②兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似.③三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.④如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似.注意：①直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形和原三角形相似.②在運用三角形相似的性質(zhì)和判定時,要找對對應(yīng)角、對應(yīng)邊,相等的角所對的邊是對應(yīng)邊.例1：如圖，在4ABC中，DE〃BC求證AABC^AADE.ADEBC科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳窿工科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳窿工90號《旅游公司)4棟2摟咨誨電話例2：如圖所示，在^ABC中，AB=8cm,AC=10cm,點P從A點出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒2cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x。當(dāng)x為何值時，以A、B為頂點的三角形與△APQ相似？(二)相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.②相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.③相似三角形周長的比等于相似比.④相似三角形面積的比等于相似比的平方.例1：如圖，△t，=則3(1)，=則3(2)若．如圖，平行四邊形中,△，則．如圖，平行四邊形中,△，則△課堂練習(xí).如圖，在△中,=，則1．如圖，△中,：23，則．如圖.如圖，在△中,=，則1．如圖，△中,：23，則．如圖，平行四邊形中,是三等分點，延長線交長線交科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳^科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳^190號《旅游公司）4棟2樓咨海電話廚房角柜的臺面是三角形，如圖，如果把各邊中點的連線所圍成的三角形鋪成黑色大理石．（圖中陰影部分）其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是（A14．如圖，的斜邊上的高線，求證：（1）的平分線交.如圖，在平行四邊形中，過點作XD垂足為E連結(jié)為上一點，且/E=（）求證：△s△AAB（）若，4。，求的長；f（）在（），（）條件下，若，求的長.DCE科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿工科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿工90號（旅游公司）4株2樓咨海電話科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿190號《旅游公司）4棟2樓咨誨電話的延長線交于點。求證：.如圖，BD、BE分別是NABC與它的鄰補角NABP的平分線，AE±BE,AD±BD,E、D為垂足.（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）若AE=3,F、G分別為AE、AD上的點，F(xiàn)G交AB于點H,且AF=3,求

ADAG證：4AHG是等腰三角形..如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點P從A點出發(fā)，沿AB\以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的1S1PsB運動時間為X。（1）當(dāng)x為何值時，PQ〃BC?（2）當(dāng)~^BCQ=-，求^BPQ的值；（3）s3sAABCAABC△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。

10.已知/10.已知/人08=90，，OM是NAOB的平分線，按以下要求解答問題:（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA,OB交于點C,D.①在圖甲中，證明：PC=PD；②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=^PD，求APOD與4PDG的面積之比.2（2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D,OD=1,另E為頂點的三角形與4OCD相直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，E為頂點的三角形與4OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長.科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號(旅游公司)科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號(旅游公司)4棟2樓咨誨電話五、全等三角形(一)全等三角形的判定方法：()三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”()兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個二角形全等，簡寫成“角邊角"或"ASA”()兩角和其中一角的對邊對應(yīng)角相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.()兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”.(5)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜過直角邊定理”或“HL”．(二)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．(三)注意事項：(1)說明兩個三角形全等時，應(yīng)注意緊扣判定的方法，找出相應(yīng)的條件，同時要從實際圖形出發(fā)，弄清對應(yīng)關(guān)系，把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上．(2)注意三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，另外已知兩個三角形的兩邊與一角對應(yīng)相等的兩個三角形也不一定全等．例1：如圖，已知AB、CD相交于點O,AC〃BD,OC=OD,E、F為AB上兩點，且AE=BF,求證：(1)△AOC^ABODCE=DF.例2：(2010四川宜賓)如圖，分別過點CB作^ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E.E求證：BF=CE.1010科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳耀科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳耀190號《旅游公司）4株2摟咨誨電話“"一、z用|匚|許京龍中壬例3：（2009南充）如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE±AG于E,BF〃DE,交AG于F.求證：AF=BF+EF.AM平分NDAB.求證：MB=MC例：已知：如圖，ZB=ZC=900AM平分NDAB.求證：MB=MC課堂練習(xí)如圖1,CB=CD,NABC=NADC=90°,NBAC=35°,則/BCD的度數(shù)為（）A．145°B．130°C．110°D．70°C.一條邊對應(yīng)相等C.一條邊對應(yīng)相等D.兩條邊對應(yīng)相等如圖，點D、E、F分別為4ABC三邊的中點，且Sf=2,則4ABC的面積為（）△DEFA．4B．6C．8D．12如圖，已知AB=CD,AE±BD于E,CF±B