三角形、三角形相似及全等

三角形、三角形相似及全等一、三角形的邊例1：①3、4、x為三角形的三邊，求x的取值范圍。②3、4、x為直角三角形的三邊，求x的取值。③3、4、x為等腰三角形的三邊，求x的取值。例2：a、b、c為三角形的三邊，它們存在如下關(guān)系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請(qǐng)問(wèn)三角形為什么三角形？并說(shuō)明理由。課堂練習(xí)1.以下列各組線段長(zhǎng)為邊，能組成三角形的是（）TOC\o"1-5"\h\z若線段，線段，線段，則（）.^^或.V等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則此三角形的周長(zhǎng)是（）.^^^或.已知a,b,c為^ABC三邊，且滿足a2c2—b2c2=a4—b4,則它的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形.若3,m,5為三角形三邊，化簡(jiǎn)：G—mA—（m—8）2二、三角形的角例1：三角形的三個(gè)角的比值為1：2：3,求三角形三個(gè)角的度數(shù)及三角形的三邊比。例？：△ABC中，/A,ZB均為銳角，且有ItanB-x3I+（2sinA—<3）2=0,則4ABC是（）A.直角（不等腰）三角形B.等腰直角三角形C.等腰（不等邊）三角形D.等邊三角形科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳露290號(hào)《旅游公司）4株2樓咨詢電話科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳髓科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳髓19。號(hào)《旅游公司）4棟2摟咨詢電話科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號(hào)《旅游公司）科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號(hào)《旅游公司）4棟2樓咨誨電話三、三角形的線（一）角平分線：過(guò)三角形的頂點(diǎn)引一條射線，把這個(gè)角分成二等分，這條線就叫做三角形的角平分線。角平分線上的點(diǎn)到三角形的兩邊相等。例1：如圖，OE是/AOB的平分線，CD〃OB交OA于C,交OE于DNACD=50o,則ZCDE的度數(shù)是課堂練習(xí)，.已知：如圖，4ABC中，BD平分NABC,且D為AC的中點(diǎn)，DE〃BC交AB^若BC=4，則I」EB長(zhǎng)為..已知△ABC中，ZB=ZC,D為BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AM是NCAD的平分線，求證：AM〃BC.（二）中線、高、垂直平分線（1）三角形的中線：連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.（2）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊（或其延長(zhǎng)線）引垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高（3）線段的垂直平分線：垂直并平分這條線段的線叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。例2：如圖，在△中，N=°,/=°,的垂直平分線交于點(diǎn)，=62,±于點(diǎn)，求的長(zhǎng).EC3題圖

BCETOC\o"1-5"\h\z圖1圖2圖3.如圖2,在Rt△ABC中，/B=90。，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.已知/BAE=10。，則/C的度數(shù)為（）A．30。B．40。C．50。D．60。.如圖3,在RtAABC中，NACB=90°BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為（）A.-B.7C.25D.2266（三）中位線例1：如右圖，在4ABC中，D.E兩點(diǎn)分別在BC.AC邊上.若BD=CD,AZB=ZCDE,DE=2,則I」AB的長(zhǎng)度是（）/\A.4B.5C.6D.7//八四、三角形相似H7；C（一）相似三角形的判定：①兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.③三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.注意：①直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似.②在運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)和判定時(shí),要找對(duì)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊,相等的角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊.例1：如圖，在4ABC中，DE〃BC求證AABC^AADE.ADEBC科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳窿工科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳窿工90號(hào)《旅游公司)4棟2摟咨誨電話例2：如圖所示，在^ABC中，AB=8cm,AC=10cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒2cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x。當(dāng)x為何值時(shí)，以A、B為頂點(diǎn)的三角形與△APQ相似？(二)相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.②相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.③相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.④相似三角形面積的比等于相似比的平方.例1：如圖，△t，=則3(1)，=則3(2)若．如圖，平行四邊形中,△，則．如圖，平行四邊形中,△，則△課堂練習(xí).如圖，在△中,=，則1．如圖，△中,：23，則．如圖.如圖，在△中,=，則1．如圖，△中,：23，則．如圖，平行四邊形中,是三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)線交長(zhǎng)線交科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳^科翰文化羅芳部，羅湖區(qū)羅芳^190號(hào)《旅游公司）4棟2樓咨海電話廚房角柜的臺(tái)面是三角形，如圖，如果把各邊中點(diǎn)的連線所圍成的三角形鋪成黑色大理石．（圖中陰影部分）其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是（A14．如圖，的斜邊上的高線，求證：（1）的平分線交.如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)作XD垂足為E連結(jié)為上一點(diǎn)，且/E=（）求證：△s△AAB（）若，4。，求的長(zhǎng)；f（）在（），（）條件下，若，求的長(zhǎng).DCE科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿工科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿工90號(hào)（旅游公司）4株2樓咨海電話科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳窿190號(hào)《旅游公司）4棟2樓咨誨電話的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。求證：.如圖，BD、BE分別是NABC與它的鄰補(bǔ)角NABP的平分線，AE±BE,AD±BD,E、D為垂足.（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）若AE=3,F、G分別為AE、AD上的點(diǎn)，F(xiàn)G交AB于點(diǎn)H,且AF=3,求

ADAG證：4AHG是等腰三角形..如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB\以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的1S1PsB運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X。（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ〃BC?（2）當(dāng)~^BCQ=-，求^BPQ的值；（3）s3sAABCAABC△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

10.已知/10.已知/人08=90，，OM是NAOB的平分線，按以下要求解答問(wèn)題:（1）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與邊OA,OB交于點(diǎn)C,D.①在圖甲中，證明：PC=PD；②在圖乙中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，且PG=^PD，求APOD與4PDG的面積之比.2（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D,OD=1,另E為頂點(diǎn)的三角形與4OCD相直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，E，E為頂點(diǎn)的三角形與4OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長(zhǎng).科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號(hào)(旅游公司)科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳號(hào)(旅游公司)4棟2樓咨誨電話五、全等三角形(一)全等三角形的判定方法：()三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”()兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)二角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角"或"ASA”()兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”.()兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”.(5)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜過(guò)直角邊定理”或“HL”．(二)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．(三)注意事項(xiàng)：(1)說(shuō)明兩個(gè)三角形全等時(shí)，應(yīng)注意緊扣判定的方法，找出相應(yīng)的條件，同時(shí)要從實(shí)際圖形出發(fā)，弄清對(duì)應(yīng)關(guān)系，把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上．(2)注意三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，另外已知兩個(gè)三角形的兩邊與一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不一定全等．例1：如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O,AC〃BD,OC=OD,E、F為AB上兩點(diǎn)，且AE=BF,求證：(1)△AOC^ABODCE=DF.例2：(2010四川宜賓)如圖，分別過(guò)點(diǎn)CB作^ABC的BC邊上的中線AD及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為E.E求證：BF=CE.1010科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳耀科翰文化羅芳部:羅湖區(qū)羅芳耀190號(hào)《旅游公司）4株2摟咨誨電話“"一、z用|匚|許京龍中壬例3：（2009南充）如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE±AG于E,BF〃DE,交AG于F.求證：AF=BF+EF.AM平分NDAB.求證：MB=MC例：已知：如圖，ZB=ZC=900AM平分NDAB.求證：MB=MC課堂練習(xí)如圖1,CB=CD,NABC=NADC=90°,NBAC=35°,則/BCD的度數(shù)為（）A．145°B．130°C．110°D．70°C.一條邊對(duì)應(yīng)相等C.一條邊對(duì)應(yīng)相等D.兩條邊對(duì)應(yīng)相等如圖，點(diǎn)D、E、F分別為4ABC三邊的中點(diǎn)，且Sf=2,則4ABC的面積為（）△DEFA．4B．6C．8D．12如圖，已知AB=CD,AE±BD于E,CF±B