吉林省長春市市第五十六中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

吉林省長春市市第五十六中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a＞1，b＞1，且，則a+4b的最小值為（）A．13 B．14 C．15 D．16參考答案：B【考點】基本不等式．【專題】整體思想；換元法；不等式．【分析】換元可化問題為s＞0，t＞0且+=1，代入可得a+4b=10++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞1，且，令a﹣1=s，b﹣1=t，則a=s+1，b=t+1，則s＞0，t＞0且+=1，a+4b=（s+1）+4（t+1）=s+4t+5=（s+4t）（+）+5=10++≥10+2=14，當且僅當=即s=3且t=時取等號，解得a=s+1=4，b=t+1=，故選：B．【點評】本題考查基本不等式求最值，換元并變形為可以基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．2.從空間一點P向二面角α﹣L﹣β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E、F為垂足，若∠EPF=30°，則二面角α﹣L﹣β的平面角的大小是（）A．30° B．150° C．30°或150° D．不確定參考答案：C【考點】二面角的平面角及求法．【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；空間角．【分析】首先，確定∠EPF就是兩個平面α和β的法向量的夾角，然后，利用二面角的平面角和法向量的夾角直接的關(guān)系確定即可．【解答】解：∠EPF就是兩個平面α和β的法向量的夾角，它與二面角的平面角相等或互補，∵∠EPF=30°，∴二面角α﹣l﹣β的大小為30°或150°．如圖：圖一是互補情況，圖二，是相等情況．故選：C．【點評】本題重點考查了平面的法向量、法向量的夾角與平面所成的二面角之間的關(guān)系等知識，屬于中檔題．3.如果P是等邊△ABC所在平面外一點，且PA=PB=PC=，△ABC邊長為1，那么PA與底面ABC所成的角是（

）．A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：A如圖，易知為正三棱錐，面，與底面所成的角，即為，，，∴，故．故選．4.設(shè)a，b，c是空間三條直線，，是空間兩個平面，則下列命題不成立的是（

）A.當時，若⊥，則∥

B.當，且是a在內(nèi)的射影時，若b⊥c，則a⊥bC．當時，若b⊥，則D．當，且時，若c∥，則b∥c參考答案：D5.節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈在4秒內(nèi)為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.已知則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知命題“p或q”為真，“非p”為假，則必有A、真假

B、真假

C、真真

D、真，可真可假參考答案：D略8.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是（

）

A.函數(shù)的極大值是，極小值是

B.函數(shù)的極大值是，極小值是

C.函數(shù)的極大值是，極小值是

D.函數(shù)的極大值是，極小值是

參考答案：D9.下列命題：①至少有一個x使x2＋2x＋1＝0成立；②對任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③對任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全稱命題的有()A．1個

B．2個

C．3個

D．0個參考答案：B10.若曲線與曲線在交點(0,m)處由公切線，則（

）A．－1

B．0

C.2

D．1參考答案：D由曲線，得，則，由曲線，得，則，因為曲線與曲線在交點出有公切線，所以，解得，又由，即交點為，將代入曲線，得，所以，故選D．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的漸近線方程是__________．參考答案：y=±【分析】由雙曲線的方程求得，再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解漸近線的方程，得到答案?！驹斀狻坑呻p曲線的方程，可得，又由焦點在軸上，故漸近線方程為，故答案為．【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單幾何性質(zhì)，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，合理計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。12.總體由編號為01，02，，29，30的30個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取樣本，選取方法是從隨機數(shù)表第2行的第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第3個個體的編號為_______．5416

6725

1842

5338

1703

4259

7922

31483567

8237

5932

1150

4723

4079

7814

7181參考答案：1513.如果實數(shù)x，y滿足線性約束條件，則z=x﹣y+1的最小值等于．參考答案：﹣2【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出可行域，變形目標函數(shù)，平移直線y=﹣x可得當直線經(jīng)過點A（﹣2，1）時，z取最小值，代值計算可得．【解答】解：作出線性約束條件，所對應(yīng)的可行域（如圖），變形目標函數(shù)可得y=x+1+z，平移直線y=x可知，當直線經(jīng)過點A（﹣2，1）時，截距取最小值，z取最小值，代值計算可得z的最小值為z=﹣2﹣1+1=﹣2故答案為：﹣2．14.設(shè)函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，]

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立，討論k的符號，從而求出所求．【解答】解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立當k=0時，成立k＞0時，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0時，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范圍是k≤，故答案為：（﹣∞，]．【點評】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題．15.若雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且PF1=3，則PF2等于

．參考答案：9【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線方程求出a，利用雙曲線定義轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，a=3，b=4，c=5，點P在雙曲線E上，且PF1=3，可得P在雙曲線的左支上，可得|PF2|﹣|PF1|=6，可得|PF2|=|PF1|+6，PF2=9．故答案為：9．16.有一山坡，其傾斜角為，如在斜坡上沿一條與坡底線成的道上山，每向上升高10米，需走路

米.參考答案：17.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4,M為BD1的中點,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,則MN的長為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖,AB為圓O的直徑,點E、F在圓O上,AB//EF,矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.(Ⅰ)求證：平面DAF⊥平面CBF；(Ⅱ)求直線AB與平面CBF所成角的大??；(Ⅲ)當AD的長為何值時,平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°?參考答案：(I)證明：平面平面,,平面平面=,平面.平面,,…………2分又為圓的直徑,,平面.

…………3分平面,平面平面.

…………4分(II)根據(jù)(Ⅰ)的證明,有平面,為在平面內(nèi)的射影,因此,為直線AB與平面所成的角

……………6分,四邊形為等腰梯形,過點F作,交AB于H.,,則.在中,根據(jù)射影定理,得.

…………8分,.直線AB與平面所成角的大小為.

…………9分(Ⅲ)設(shè)中點為,以為坐標原點,、、方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系(如圖).設(shè),則點的坐標為則,又

…………10分設(shè)平面的法向量為,則,.即

令,解得

………………12分由(I)可知平面,取平面的一個法向量為,依題意與的夾角為,即,解得t=∴當AD的長為時,面DFC與面FCB所成的銳二面角的大小為60°……14分19.已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點．求a，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，．參考答案：(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見解析.分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–．由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=．從而f（x）=，f′（x）=．當0<x<2時，f′（x）<0；當x>2時，f′（x）>0．所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．（2）當a≥時，f（x）≥．設(shè)g（x）=，則當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．因此，當時，．點睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問在求解的時候構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果.20.

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，面⊥面，△是等邊三角形，，，是線段的中點．(1)求四棱錐的體積；(2)求與平面所成角的正弦值．參考答案：解：(1)由△是等邊三角形，是線段的中點．所以PE⊥AB,面PAB面ABCD知：平面，……

3分所以是四棱錐高．由，，可得．因為△是等邊三角形，可求得．所以．………6分(2)解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，．…8分，，．設(shè)為平面的法向量．由

即令，可得．………10分設(shè)與平面所成的角為．．所以與平面所成角的正弦值為．…………12分21.如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形，,N是棱AD的中點.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)，求點N到平面的距離.參考答案：（1）見解析（2）試題分析：（1）證明，，則，所以；（2）利用，求得。試題解析：（1）在矩形ABCD中，

又

又

（2）在中，，是棱的中點，∴

由（1）知平面，∴.

又∵，∴平面

,∥,面,而面,所以，在中，

設(shè)點到平面的距離為所以點到平面的距離為

22.（