角的概念的推廣二

1.1.1角的概念的推廣1、角的概念初中是如何定義角的？從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來(lái)定義角，因此角的范圍是[0o,360o)，這種定義稱(chēng)為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”.2．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．⑵．“正角”與“負(fù)角”、“0o角”我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零度角（0o）．角的記法：角α或可以簡(jiǎn)記成∠α特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零度角（0o）．角的記法：角α或可以簡(jiǎn)記成∠α.⑶角的概念擴(kuò)展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了①角有正負(fù)之分; 如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大; 實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn).角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定純屬于習(xí)慣，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣．用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么許多問(wèn)題就可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).（3）旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)360o，角度的絕對(duì)值可大于360o.于是就會(huì)出現(xiàn)720o，－540o等角度.3．“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角。角的頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊重合于x軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1300是第Ⅲ象限角，135、2000是第Ⅱ象限角等4．終邊相同的角角⑴觀察：390，330角，它們的終終邊都與30角的終邊相同同.⑵探究：終邊相同的角角都可以表示示成一個(gè)0到360的角與k(k∈Z)個(gè)周角角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=－1)30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)1770=305×360(k=－5)⑶結(jié)論：：所有與終邊相同的角角連同在內(nèi)可以構(gòu)成成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o}(k∈Z)即：任何一個(gè)個(gè)與角終邊相同的角角，都可以表表示成角與整數(shù)個(gè)周角角的和⑷注意以下四四點(diǎn)：①k∈Z；②是任意角；③k·360o與之間是“+”號(hào)，如k·360o－30o,應(yīng)看看成k·360o+(－30o)；④終邊相同的角角不一定相等等；相等的角，終終邊一定相同同；終邊相同的角角有無(wú)數(shù)多個(gè)個(gè)，它們相差差360o的的整數(shù)倍.例1.在0o到360o范圍內(nèi)內(nèi)，找出與下下列各角終邊邊相同的角，，并判斷它是是哪個(gè)象限的的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.解：⑴∵－120o=－360o+240o，∴240o的的角與－120o的角終終邊相同，它是第三象限限角．⑵∵640o=360o+280o，∴280o的的角與640o的角終邊邊相同，它是第四象限限角．⑶∵－950o12’=－3××360o+129o48’，∴129o48’的角與與－950oo12’的角角終邊相同，，它是第二象限限角．例2.寫(xiě)出終邊落在在Y軸上的角角的集合。終邊落在坐標(biāo)標(biāo)軸上的情形形xyo0090018002700+Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX3600例2.寫(xiě)出終邊落在在y軸上的角的集集合。解：終邊落在ｙ軸軸正半軸上的角的的集合為S1={β|β=900+K?3600,K∈Z}={β|β=900+2K?1800,K∈Z}={β|β=900+1800的偶數(shù)倍}終邊落落在ｙｙ軸負(fù)半軸上上的角角的集集合為為S2={β|β=2700+K??3600,K∈∈Z}={β|β=900+1800+2K?1800,K∈∈Z}={β|β=900+（2K+1）1800，K∈Z}={β|β=900+1800的奇數(shù)倍}S=S1∪S2所以，，終邊邊落在在ｙ軸上的角角的集集合為為={β|β=900+1800的偶數(shù)倍}∪{β|β=900+1800的奇數(shù)倍}={β|β=900+1800的整數(shù)倍}={β|β=900+K?1800，K∈Z}｛偶數(shù)數(shù)｝∪｛奇數(shù)數(shù)｝＝｛整整數(shù)｝｝XYO900+K?36002700+k?3600變式1：分別寫(xiě)出終終邊落落在ｘ軸正半軸軸上、在ｘ軸軸負(fù)半半軸上、在在y軸軸正半半軸上上、在在y軸軸負(fù)半半軸上上、在在ｘ軸軸上、、在y軸上上、坐坐標(biāo)軸軸上的角的的集合合.變式2：寫(xiě)出出終邊邊落在在直線線y=x上的角角的集集合.變式4：分別寫(xiě)出終終邊落落在第第一、二、、三、、四、、一三三、二二四象限的的角的的集合合.變式3：寫(xiě)出出終邊邊落在在直線線y=-x上的角角的集集合.變式3：寫(xiě)出終邊落在直線

上的角的集合.寫(xiě)出終終邊落落在軸軸上的的角的的集合合。解：終邊邊落在在軸軸正半軸上上的角角的集集合為為S1={β|β=K?3600,K∈Z}={β|β=2K?1800,K∈Z}={β|β=1800的偶數(shù)倍}終邊落落在軸軸負(fù)半軸上上的角角的集集合為為S2={β|β=K?3600,K∈∈Z}={β|β=2K?1800,K∈∈Z}={β|β=（（2K+1）1800，K∈Z}={β|β=1800的奇數(shù)倍}S=S1∪S2所以終終邊邊落在在軸上的角角的集集合為為={β|β=1800的偶數(shù)倍}∪{β|β=1800的奇數(shù)倍}={β|β=1800的整數(shù)數(shù)倍}={β|β=K?1800，K∈Z}｛偶數(shù)數(shù)｝∪｛奇數(shù)數(shù)｝＝｛整整數(shù)｝｝XYOK?36001800+k?3600yxyxyx900+900+900+2700+900+1800+900+900+1800+例21800+yx例3.寫(xiě)出與與下列列各角角終邊邊相同同的角角的集集合S，并并把S中在在－360o~720oo間的的角寫(xiě)寫(xiě)出來(lái)來(lái)：(1)60oo；(2)－－21o；；(3)363oo14′.解：(1)S={β|β=k··360o+60o(k∈Z)},S中在－－360oo～720o間間的角角是－1××360oo+60oo=－－300oo；0×360o+60o=60o；；1×360o+60o=420oo．(2)S={β|β=k··360o－－21o(k∈Z)}S中在－－360oo～720o間間的角角是0×360o－－21o=－21oo；1×360o－－21o=339oo；2×360o－－21o=699oo．(3)β|β=k··360o+363o14’’(k∈Z)}S中在在－360o～～720oo間的的角是是－2××360oo+363o14’’=－－356oo46’；；－1××360oo+363o14’’=3o14’’；0×360o+363oo14’=363oo14’．．知識(shí)識(shí)拓拓展展討論：若是第二象限角時(shí),則2，分別是第幾象限的角？1.若若是是第第二二象象限限的的角角，，則則/2是是（（））A第第一一或或第第三三象象限限B第第二二或或第第三三象象限限C第第三三或或第第四四象象限限D(zhuǎn)第第一一或或第第四四象象限限A√√√小結(jié)結(jié)：：1.任任意意角角的的概概念念正角角：：射射線線按按逆時(shí)針針?lè)椒较蛳蛐D(zhuǎn)轉(zhuǎn)形成成的的角角負(fù)角角：：射射線線按按順時(shí)針針?lè)椒较蛳蛐D(zhuǎn)轉(zhuǎn)形形成成的的角角零角角：：射射線線不作旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形形成成的的角角1)置置角角的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)于于原點(diǎn)2)始始邊邊重重合合于于X軸軸的的正半軸軸2.象象限限角角終邊邊落在在第幾幾象象限限就是是第幾幾象象限限角角3.終終邊邊與與角角ａａ相相同同的的角角ａ＋K××3600，K∈Z作業(yè)業(yè)：：P9習(xí)習(xí)題題1.1第1題題，，第第3題題的的（（2））（（4））（（6））課堂堂練練習(xí)習(xí)1、銳角角是是第第幾幾象象限限的的角角？？第第一一象象限限的的角角是是否否都都是是銳銳角角？？小小于于90oo的的角角是是銳銳角角嗎嗎？？區(qū)區(qū)間間(0oo,90oo)內(nèi)內(nèi)的的角角是是銳銳角角嗎嗎？？答：：銳銳角角是是第第一一象象限限角角；；第第一一象象限限角角不不一一定定是是銳銳角角；；小小于于90oo的的角角可可能能是是零零角角或或負(fù)負(fù)角角，，故故它它不不一一定定是是銳銳角角；；區(qū)區(qū)間間(0oo,90oo)內(nèi)內(nèi)的的角角是是銳銳角角．．2、已知知角角的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)與與坐坐標(biāo)標(biāo)系系原原點(diǎn)點(diǎn)重重合合，，始始邊邊落落在在x軸的的正正半半軸軸上上，，作作出出下下列列各各角角，，并并指指出出它它們們是是哪哪個(gè)個(gè)象象限限的的角角？？(1)420oo，，(2)－－75oo，，(3)855oo，，(4)－－510oo．．答：：(1)第第一一象象限限角角；；(2)第第四四象象限限角角，，(3)第第二二象象限限角角，，(4)第三三象限限角.3、已已知α,β角的終終邊相相同，，那么么α－β的終邊邊在（（））Ax軸的非非負(fù)半半軸上上By軸的非非負(fù)半半軸上上Cx軸的非非正半半軸上上Dy軸的非非正半半軸上上A4、終終邊與與坐標(biāo)標(biāo)軸重重合的的角的的集合合是（（））A{β|β=k··360o(k∈Z)}B{β|β=k··180o(k∈Z)}C{β|β=k··90oo(k∈Z)}D{β|β=k··180o+90o(k∈Z)}C5、、已知知角2α的終邊邊在x軸的上上方，，那么么α是()A第第一一象限限角B