級微電子1資源-高數(shù)第一章函數(shù)與極限

1例.火箭升空時,質(zhì)量變化情形如圖.tmom0t0一般,當(dāng)f(x)連續(xù)變化時,其圖形是一條連續(xù)曲線.反之,若f(x)圖形是一條連續(xù)曲線,f(x)則是連續(xù)變化的.§5連續(xù)函數(shù)2xyoxyoxxyyxyxyx0f(x0)ABxx0xx0從圖上可看出,(x)在x0間斷.但f(x)在x0連續(xù).(x)在x0的極限不存在,而yyx0y=(x)y=f(x)3定義1.

設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有定義.若在一點(diǎn)x0∈(a,b)處函數(shù)y=f(x)有雙側(cè)極限,且極限值等于函數(shù)值f(x0),即則稱y=f(x)在x0連續(xù).若y=f(x)在(a,b)的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在(a,b)上連續(xù).1.連續(xù)函數(shù)的定義4連續(xù)定義的語言說法:若對>0,>0,使得當(dāng)|xx0|<時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足|f(x)f(x0)|<則稱f(x)在x0處連續(xù).注:與極限定義比較,將"a"換成"

f(x0)"將"0<|xx0|<"換成"|xx0|<".5例1.證:又因為f(0)=0.xyof(x)=|x|.6如圖xyof(x)=|x|還可得到,|x|在任何點(diǎn)x0處連續(xù).稱為x0的右鄰域和x0的左鄰域.7定義2.則稱f(x)在x0處右(左)連續(xù).設(shè)f(x)在x0的某右鄰域(某左鄰域 )內(nèi)有定義,8定理1.

f(x)在x0處連續(xù)f(x)在x0左連續(xù)且右連續(xù).9例2.問f(x)在x=0是否連續(xù).解:

f(0)=1=1右連續(xù).故,f(x)在x=0間斷.=–1f(0)不左連續(xù).圖形為xyo–11y=f(x)10例3.問a為何值時,f(x)在x=0連續(xù).解:

f(0)=3=3f(x)在x=0右連續(xù).為使f(x)在x=0連續(xù),必須f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故,a=3時,f(x)在x=0連續(xù).=a11若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),且f(x)在x=a右連續(xù).在x=b左連續(xù).則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).記作f(x)C[a,b].定義:y=f(x)在[a,b]連續(xù)

12y1-1O12x13y1-1O12x14連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性152.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性16定理2的證明：17g(yo)-

εg(yo)g(yo)+εyo-δ1yoyo+δ1xo-δxoxo+δ182.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性19例4.解:203.反函數(shù)的連續(xù)性213.反函數(shù)的連續(xù)性223.反函數(shù)的連續(xù)性23定理4的證明24Oax1x0x2bxcyo-εyoyo+εbf(x)25Oax1x0x2bxcyo-εyoyo+εbf(x)26

注意：27例6.例5.28稱形如y=[f(x)]g(x)的函數(shù)為冪指函數(shù),其中f(x)>0.根據(jù)對數(shù)恒等式y(tǒng)=elny,y>0,有[f(x)]gx=eg(x)·lnf(x),即,因此,當(dāng)f(x),g(x)均連續(xù)時,[f(x)]g(x)也連續(xù).則29例7.若limf(x)=A>0.limg(x)=B,存在.30例8.=21=231例9.yx0132例10.y01x133若limf(x)=1,limg(x)=,稱lim[f(x)]g(x)為“1”型極限問題.若limf(x)=0,limg(x)=0,稱lim[f(x)]g(x)為“00”型極限問題.“1”,“00”和“0”型都不一定是無窮小量,也不一定是無窮大量,更不一定是1.若limf(x)=,limg(x)=0,稱lim[f(x)]g(x)為“0”型極限問題.34例如:“1”型35例如:“00”型36例如:

“0”型37例11.解:“1”型,原式=384.間斷點(diǎn)的分類3940y1-1O12x第一類間斷點(diǎn)41O1xy可去間斷點(diǎn)42第二類間斷點(diǎn)43§6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)442、介值定理設(shè)f(x)C([a,b])，f(a)＝A,

f(b)＝B,且AB,則對于A，B之間的任意一個數(shù)C，至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得f()=C45證：令(x)=f(x)C

故,由根存在定理，至少存在一點(diǎn)(a,b)使則(x)C([a,b]).C在A，B之間(a)(b)=(f(a)C)(f(b)

C)＝(AC)(BC)<0

(x)=0，即f(x)=C. yBCAOabx461、根存在定理(零點(diǎn)定理)設(shè)f(x)C([a,b])，且f(a)

f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得f()＝0.axyy=f(x)f(a)bf(b)O47證明的思想方法是等分區(qū)間法(區(qū)間套法)：將區(qū)間[a,b]等分為[a,a1]和[a1,b],在這兩個區(qū)間中選擇與[a,b]性質(zhì)相同的一個，例如，若f(a1)f(b)<0,則選取[a1,b],然后，對[a1,b]進(jìn)行等分，并進(jìn)行選擇，又得一個新的小區(qū)間.如此下去，小區(qū)間的長度趨于零，并且總保持區(qū)間端點(diǎn)值反號，由函數(shù)的連續(xù)性，這些小區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)構(gòu)成的數(shù)列的極限值就是我們要求的(a,b).48§6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)49設(shè)f(x)C([a,b])，則(i)f(x)在[a,b]上為單調(diào)函數(shù)時aObxyaObxyOabxyOabxy50此時，函數(shù)f(x)恰好在[a,b]的端點(diǎn)a和b取到最大值和最小值.y=f(x)[a,b],則y=f(x)[a,b],則51(ii)y=f(x)為一般的連續(xù)函數(shù)時，如圖中所示，xyaa1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x)52在定理中，閉區(qū)間的條件是很重要的，例如，y=x在(1,3)內(nèi)連續(xù)，但它不能取到它的最大值和最小值.53§6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).54f(x)在[a,b]上可取到它的最大值M和最小值m，證：f(x)C([a,b])故mf(x)Mx[a,b]|f(x)|

maxM*

x[a,b]令M*

=

max

{|m|,|M|},則即f(x)在[a,b]上有界.推論：若f(x)C([a,b])，則f(x)在[a,b]上有界.55推論：設(shè)f(x)C([a,b])，則f(x)取得介于其在[a,b]上的最大值M和最小值m之間的任何值就是說，對任意的Ｃ，只要滿足mCM,則必存在[a,b],使得f()=C.56例2或ax1bOxyηx2ξ1ξ2x3ax1bOx2x3ξ1ξ2yη5758例1：設(shè)f(x)C([a,b])，a<x1<x2<…<xn<b,證明:至少存在一點(diǎn)[x1,xn]，使得59證：

f(x)C([a,b]).有從而由介值定理，至少存在一點(diǎn)(x1,xn)，使若

f(x1)=f(x2)＝…=f(xn),則可?。絰1或＝xn.綜上所述，命題獲證.mf(xi)M.60例2:證明方程x5–3x=1,在x=1與x=2之間至少有一根.證：令f(x)=x5–3x–1，x[1,2]則f(x)C([1,2])又f(1)=–3，f(2)=25，即f(1)f(2)

<0即方程在x=1與x=2之間至少有一根.故至少存在一個(1,2)，使得f()=0,61例3：證明：方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個不超過a+b的正根.證：問題歸結(jié)為在(0,a+b]上求方程的根的問題.62而f(0)=0–asin0–b=–b<0f(a+b)=(a+b)–asin(a+b)–b=a(1sin(a+b))0設(shè)f(x)=xasin