2019年高考數(shù)學(xué)試題全國(guó)三卷3理科數(shù)學(xué)

2019?全國(guó)卷n（理科數(shù)學(xué)）TOC\o"1-5"\h\z1.A1,E3［2019全國(guó)卷田］已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2。},則A通=( )A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2}1.A［解析］因?yàn)锳={-1,0,1,2},B={x|x2<1}={x|-1今<1},所以APB={-1,0,1}.2.L4［2019全國(guó)卷出］若z(1+i)=2i^z=( )A.-1-i B.-1+I C.1-i D.1+i2D ［解析］z=--="(I"—=1+i［川十"］z1+i(1+i)(1-i)1l.3.I2［2019全國(guó)卷叫《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶 ，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位,閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位,閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位,則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為 （）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.83.C［解析］設(shè)只閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生有x位，則x+60+（80-60）=90，解得x=10，所以閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為10+60=70,故該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為 喘=074.J3［2019全國(guó)卷m］(1+2x2)(1+x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為( )A.12 B.16 C.20 D.244.A［解析］因?yàn)?1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C3+2Ci=12.5.D3［2019全國(guó)卷出］已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=( )A.16 B.8 C.4 D.2??(1-??)1——=15 ??=1 一.C［斛析］設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由題知a1>0,q>0且q在,則{1-?? ,解得{??=2,所以a3=a1q2=4.????=3????+4??, "=,6.B12［2019全國(guó)卷四已知曲線(xiàn)y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線(xiàn)方程為y=2x+b,則 ( )A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1.D［解析］令y=f(x)=aex+xlnx,則f'(x)=aex+lnx+1，由題意知{??!12+?*P{??e=2+??,??(1)=2, ??€+1=2,解得藍(lán)；,?=-I.“一， 一，， 2??.B8［2019全國(guó)卷田］函數(shù)yuy+p?在［-6,6］的圖像大致為 ( )AB

AB7.B［解析］令y=f(x)=2?+2-?艱矢口f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C；f(4)=24+2-4=16+1>0,排除選項(xiàng)7.B3D;f(6)=26+2F=64+)前.75排除選項(xiàng)A.故選B.8.G5［2019全國(guó)卷皿如圖1-2，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，4CD為正三角形，平面ECD4面ABCD,M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則( )圖1圖1-2A.BM=EN，且直線(xiàn)BM,EN是相交直線(xiàn)B.BM吒N,且直線(xiàn)BM,EN是相交直線(xiàn)C.BM=EN，且直線(xiàn)BM,EN是異面直線(xiàn)D.BM至N,且直線(xiàn)BM,EN是異面直線(xiàn)8.B［解析］連接BD,則N為BD的中點(diǎn)，連接MN,CM,BE.如圖所示，在在DB中,M,N分別是ED,BD的中點(diǎn)，所以1MN/BE,MN=2BE,則四邊形MNBE是梯形,BM,EN是梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)，所以直線(xiàn)BM,EN相交.設(shè)正萬(wàn)形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由題意可得與CM為直角三角形，則BM=，？，?？？???=-2a.記CD的中點(diǎn)為H,連接EH,HN,則在HN為直角三角形，則EN=，？??+????=a,故BM在N.綜上所述，BM咋N,且直線(xiàn)BM,EN是相交直線(xiàn).9.D3,L1［2019全國(guó)卷出］執(zhí)行圖1-3的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出s的值等于1A.2-241B.2-259.C [解析]/輸出圖1-31C.2-1A.2-241B.2-259.C [解析]/輸出圖1-31C.2-261D.2-夢(mèng)x=1,s=0,s=0+1=1,x=2,2>0.01；s=1+2，x=4,4>0.01sa+l+^xuwjO.Olsm+D+z+石內(nèi)二夜三1111 1>0.01；S=1+2+4+8+16，X=32,1 1111132>0.01;s=1+2+4+8+16+32,x=64,641111 1 1 1 1 〃r>0.01;S=1+2+4+8+i6+32+64,X=i28,i28<0.01前出_ 1111 1 1s=1+2+4+8+16+32+641x[1-(2)]121=2-26????10.H6［2019全國(guó)卷m］雙曲線(xiàn)C：彳-2=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，0為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|PF|,則4PFO的面積為3V2B~D.3V23V2B~D.3V2a=，一一、一、- ,,??，—―、.， 一一- v6._.、- ，_一一,,_.10.A［解析］設(shè)M為OF的中點(diǎn)，由題意知|OF|=v4+2=g則|OM尸元.因?yàn)閨PO|=|PF|,所以點(diǎn)P在線(xiàn)段OF的垂直平分線(xiàn)上，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限由題知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程為 y=我可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為［所以zPFO的面積S=2必/6埠=^^.11.B3,B4[2019全國(guó)卷m]設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+為單調(diào)遞減，則( )1 (J1(2)A.f(log34)>fM2-2J>f12-3/1 ' 2 3B.f(log34)>f2-3>f2-2C.f(2-3)>f(2-2)>f(log31)D.f(2-2)>f(2-2)>f(log31)3-2 111.C［解析］因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)旦在(0,+可單倜遞減，log34>1,0<2N<23<20=1，所以f(log3R=f(-10g34)=f(log34)<f(1),f(2-2)>f(2-0>f(20)=f(1)，所以f(2-2)>f(24)>f(log3》.12.C4［2019全國(guó)卷m］設(shè)函數(shù)f(x)=sin(???R^(役)。)，已知f(x)在［0,2旬有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)在5(0,2力有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)塢紛)在(0,2力有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)^f(x)在(0,10)單倜遞增；④3的取值范圍是嗒,29).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 ()A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④圈smzH12.D ［解析］由xq0,2Tt］,得cox+5q5,2??+J設(shè)23n+5=t,由題意及函數(shù)y=sinx的圖像知，tq5n,6n)，則?€［1,29)，故f(x)在(0,2n)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，而f(x)在(0,2n)可能有2個(gè)極小值點(diǎn)，也可能有3個(gè)極小值點(diǎn)，故①正510確,②不正確，④正確;TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)xa0,E)時(shí),①x-5'(5,而+5，因?yàn)椤鉤［5-,10),所以而+5<100+'5=100<2,故f(x)在(0,年)單調(diào)遞增,③正確.故選D.5 5 5 5 5 5.F3［2019全國(guó)卷出］已知a,b為單位向量，且ab=0,若c=2a-*b,則cos<a,c>=.????23.3［解析］因?yàn)閨c|=，(2??”？?2=，4??+5??=v4+5=3,ac=a(2a-v5b)=2a2-v5ab=2,所以cos<a,c>=i??ii?=3..D2［2019全國(guó)卷m］記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若a1咆a2=3a1,則??00= .??14.4［解析］設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得a1+d=3a1,即d=2a1,貝IS5=5a1+52%=25a1,S10=10a1+102^d=100a1,??25??.一. . ????.H5［2019全國(guó)卷m］設(shè)F1,F2為橢圓C：全+20=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若加F1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為15.(3,”5)［解析］不妨設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，由題意知|MF1|=|F1F2|=8，則|MF2|=12-|MF1|=4.過(guò)M作MN垂直于x軸,垂足為N,則在RtWF〔N和Rt^MF2N中,分別有|MN|2=|MF1|2-|NF1|2=64-|NF1|2,|MN|2=|MF2|2-|NF2|2=16-|NF2|2，故|NFi|2-|NF2|2=48，又|NFi|+|NF2|=|FiF2|=8，所以|NFi|=7,|NF2|=1，所以N的坐標(biāo)為(3,0)，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,又M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可彳導(dǎo)yM=v45>M的坐標(biāo)為(3,位)..G1［2019全國(guó)卷田］學(xué)生到工廠(chǎng)勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖1-4,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體淇中。為長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.圖1-4靠阻至H116.118.8［解析］由題易知，四邊形EFGH是菱形，旦S四邊形efgh=5>6X4=12(cm2),四棱他O-EFGH的同為3cm,1其體積為可刈2>3=12(cm3).又長(zhǎng)萬(wàn)體ABCD-A1B1C1D1的體積為6X6必=144(cm3),故長(zhǎng)萬(wàn)體ABCD-A1B1C1D1挖3去四棱錐O-EFGH后所得幾何體的體積為144-12=132(cm3),132X0.9=118.8(g),所以，制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8g.17.I2［2019全國(guó)卷m］為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度 ，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只淇中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比 .根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖1-5所示的直方圖：圖1-5記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a,b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表 )..解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 29.15+3>0.20+49.30+59.20+6X0.10+7X0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3>0.05+4>0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8>0.15=6.00.??+??.C8[2019全國(guó)卷出]XBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin—=bsinA.⑴求B;⑵若MBC為銳角三角形，且c=1,求AABC面積的取值范圍??+??.解:(1)由題設(shè)及正弦te理得sinAsin-2—=sinBsinA.TOC\o"1-5"\h\z, ??+??因?yàn)閟inA卻，所以sin--2-=sinB., 。一… ??+?? ??由A+B+C=180，可彳導(dǎo)sin-2—=cos2,?? ?? ??故cos2=2sin2cos2.??一??1因?yàn)閏os2■溝，故sin2=2，因此B=60(2)由題設(shè)及(1)知MBC的面積S^bc=—a.??sin??sin(120°-??)v3 1由正弦定理得a= = = 由正弦定理得a=sin??sin??2tan??2.由于ZABC為銳角三角形，故0°<A<90°,0°<C<90.由⑴知A+C=120：所以30<C<90故2<a<2,從而^3<SZABC<y.因此,ZABC面積的取值范圍是(豆乃).19.G3,G5,G10[2019全國(guó)卷田]如圖1-6,圖①是由矩形ADEB,RtMBC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連接DG,如圖②.⑴證明：圖②中的A,C,G,D四點(diǎn)共面，且平面ABC年面BCGE;⑵求圖②中的二面角B-CG-A的大小.①②圖1-619.解:(1)證明：由已知得AD/BE,CG/BE,所以ADCG,故AD,CG確定一個(gè)平面從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得AB1BEABJBC,故AB外面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC餅面BCGE.(2)作EH1BC,垂足為H.因?yàn)镋H?平面BCGE,平面BCGE餅面ABC,所以EH外面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,ZEBC=60；可求得BH=1,EH=v3.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，然??方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 H-xyz,則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,6),????(1,0,^),???=(2,-1,0).設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,y,z),則?????=°,即］？？"v3??=0,??????=°{2?-??=0.所以可取n=(3,6,-黃).又平面BCGE的法向量可取為m=(0,1,0)，所以cos<n,m>=|?????=1因此二面角B-CG-A的大小為30:20.B3,B12［2019全國(guó)卷出］已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值;若不存在，說(shuō)明理由.20.解:(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0，得x=0或x=??3??一 ??一 一， ?? ??、，一一.若a>0,則當(dāng)xq-.0)?3,+內(nèi)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x6(0,引時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(-^0),(3,+兇單倜遞增，在(0,-)單倜遞減;若a=0,f(x)在(-號(hào)+o)單調(diào)遞增；若a<0,則當(dāng)xq--?*,+?)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)xq：?0)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(-Y?,(0,+今單調(diào)遞增，在(??0)單調(diào)遞減.3 3 3 3(2)滿(mǎn)足題設(shè)條件的a,b存在.(i)當(dāng)aa時(shí)，由⑴知,f(x)在［0,1］單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為f(0)=b,最大彳直為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ii)當(dāng)am時(shí)，由(1)知,f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為f(0)=b,最小彳直為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.TOC\o"1-5"\h\z, 一，, , ?? ??(iii)當(dāng)0<a<3時(shí)，由(1)知,f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為f(3)=”7+b,最大值為b或2-a+b.若—27+b=-1,b=1,則a=33/2，與0<a<3矛盾.a3 _ _若-27+b=-1,2-a+b=1，貝Ia=3v3或a=-3v3或a=0,與0<a<3矛盾.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=°,b=-1或a=4,b=1時(shí),f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1..一. .... ？？ 1,21.H4,H7［2019全國(guó)卷回已知曲線(xiàn)C:y=5,D為直線(xiàn)y=-2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B.⑴證明:直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；⑵若以E(0,5)為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切,且切點(diǎn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積._ 1 -C21.解:(1)證明:設(shè)D(?2,2),A(x1,y1),則？？=2y1.由于y′=x,所以切線(xiàn)DA的斜率為x1,故*?=x1,整理得2tx1-2y1+1=0.設(shè)B(X2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直線(xiàn)AB的方程為2tx-2y+1=0.所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(0,2).1, ??=???+?_■, ,■,,Q,⑵由(1)得直線(xiàn)AB的方程為y=tx+2.由｛ ?? 可彳導(dǎo)x2-2tx-1=0.??=一于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=，1+??|x1-x2尸<1+^?>V(??+??)2-4????=2(t2+1).一 ..一... ?.一 ..一、一e 2設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線(xiàn)AB的距離，則d仁，?+1,d2=^=.V??+11 c 因此，四邊形ADBE的面積S=2|AB|(d1+d2)=(t2+3)，？行1.設(shè)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則M(??,?R1).由于？??????,??？????t?t2-2),???刪量(1,t)平行，所以t+(t2-2)t=0,解彳導(dǎo)t=0或t=1.當(dāng)t=0時(shí),5=3;當(dāng)t=1時(shí),S=4v2.因此,四邊形ADBE的面積為3或4^.22.N3［2019全國(guó)卷田］［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］如圖1-7,在極坐標(biāo)系Ox中,A(2,0),B(v2,4),C(v2,m),D(2,ti),弧??????????在圓的圓心分別是(1,0),(1,，(1,力，曲線(xiàn)M1是弧???曲線(xiàn)M2是弧???曲線(xiàn)M3是弧????圖1-7(1)分別寫(xiě)出M1,M2M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線(xiàn)M由M1,M2,M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|=*，求P的極