函數(shù)的極值與最值(第二課時(shí))課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

5.3.2函數(shù)的極值與最值(第二課時(shí))1．借助函數(shù)圖象，直觀地理解函數(shù)的最大值和最小值的概念．2．弄清函數(shù)最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯(lián)系，理解和熟悉函數(shù)必有最大值和最小值的充分條件．3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．

我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì).也就是說(shuō)，如果

x0是函數(shù)

的極大(小)值點(diǎn)，那么在

附近找不到比

更大(小)的值.但是，如果我們想要找到函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)，哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小，這樣的值要滿足什么條件呢？思考1：如圖是函數(shù)

，

的圖象，你能找出它的極大值、極小值嗎？進(jìn)一步地，你能找出函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值、最小值嗎？ax1x2x3x4x5x6bxyO函數(shù)的最值觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)，

，

，

是函數(shù)的極小值，

，

，

是函數(shù)的極大值.進(jìn)一步地，函數(shù)

在區(qū)間

上的最小值是

，最大值是.思考2.如圖，觀察

上的函數(shù)

和

的圖象，它們?cè)?/p>

上有最大值和最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？abxyOabxyOx1x2x3x4x5函數(shù)

在區(qū)間

上的最小值是

，最大值是

；函數(shù)

在區(qū)間

上的最小值是

，最大值是.

一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值．函數(shù)最值的理解(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對(duì)函數(shù)值的比較，具有相對(duì)性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對(duì)整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒(méi)有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值．求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟：1．求函數(shù)

在(a，b)內(nèi)的極值；2．將函數(shù)

的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值．例1.求函數(shù)在上的最大值與最小值.解：由在上，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，又由于，，所以，函數(shù)在上的最大值是4，最小值是.

導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值要注意的問(wèn)題：(1)求

f′(x)，令

f′(x)＝0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為

0的點(diǎn)．(2)比較兩類點(diǎn)處的函數(shù)值：導(dǎo)數(shù)為

0的點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大者便是

f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是

f(x)在[a，b]上的最小值．注：比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小時(shí)，可以作差、作商或分類討論．1.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值(1)，

；(2)，.解：(1)因?yàn)樗栽?/p>

上有

，

單調(diào)遞增；在

上有

，

單調(diào)遞減.所以

在

上有極大值又由于

，所以

在

上的最大值為3，最小值為-17.(2)因?yàn)樗?/p>

在

單調(diào)遞增，所以

在

上的最大值為

，最小值為.利用最值證明不等式例2.證明：當(dāng)

時(shí)，.證明：令

，則所以在

上有

，

單調(diào)遞減；在

上有

，

單調(diào)遞增.所以

在

上有最小值所以即

，則原不等式

成立.證不等式恒成立，用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式直接構(gòu)成函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，通過(guò)分類討論研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.2.(1)證明：對(duì)任意

，都有.(2)已知函數(shù)

，若

在

上恒成立，求

a的取值范圍.證明：(1)令

，則所以在

上有

，

單調(diào)遞減；在

上有

，

單調(diào)遞增.所以

在

上有最小值所以即

，則原不等式

成立.(2)因?yàn)?/p>

在

上恒成立，即

在

上恒成立，也等價(jià)于

在

上