多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的基本概念第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

第二章第一節(jié)一、平面點(diǎn)集二、二元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集，稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開(kāi)集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域

,簡(jiǎn)稱區(qū)域;。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作E;第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

整個(gè)平面點(diǎn)集是開(kāi)集，

是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無(wú)第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日的距離記作中點(diǎn)

a

的

鄰域?yàn)橐?guī)定為與零元O

的距離為第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日二、二元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定義1.

設(shè)是三個(gè)變量.如果當(dāng)變量在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)數(shù)值時(shí),變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng),則稱變量是變量的二元函數(shù),記為二元函數(shù)在點(diǎn)所取得的函數(shù)值記為

，或其中稱為自變量,稱為因變量.自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日推廣：

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例1.設(shè)求解：令第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例2.

求函數(shù)的定義域.解:函數(shù)定義域必須滿足所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋旱谑唔?yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)定義2.設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)可以除外）,如果當(dāng)點(diǎn)沿任意路徑趨于點(diǎn)時(shí),函數(shù)趨于常數(shù),那么稱為函數(shù)的某一總無(wú)限AA時(shí)的極限，記為或或三、二元函數(shù)的極限第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù).（2）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換等。xyoP0第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.

求極限：例4.

求極限：解:原式例5.求第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例6.

討論函數(shù)函數(shù)定理1.點(diǎn)以任何方式趨向于點(diǎn)函數(shù)的極限都存在且相等.第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例6知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)二元函數(shù)

在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域如果函數(shù)在區(qū)域D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上內(nèi)有定義，如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),在點(diǎn)第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例7

求．解因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù),且點(diǎn)在該函數(shù)的定義域內(nèi),故第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例8

討論函數(shù)

的連續(xù)性．時(shí)，為初等函數(shù),故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).當(dāng)不存在,所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，即原點(diǎn)是函數(shù)的間解當(dāng)斷點(diǎn)．時(shí),由例6知第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定有最大值和最小值．性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，必能取得介于函數(shù)的最大值與最小值之間的任何值．第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開(kāi)集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)第二十九頁(yè)，共三十