多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的基本概念第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日

第二章第一節(jié)一、平面點集二、二元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日一、區(qū)域1.鄰域點集，稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導集

.E

的邊界點)第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日

整個平面點集是開集，

是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點PD與某定點A的距離APK,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日的距離記作中點

a

的

鄰域為規(guī)定為與零元O

的距離為第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日二、二元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日定義1.

設是三個變量.如果當變量在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時,變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它們對應,則稱變量是變量的二元函數(shù),記為二元函數(shù)在點所取得的函數(shù)值記為

，或其中稱為自變量,稱為因變量.自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日推廣：

設非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當n=2時,有二元函數(shù)當n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1.設求解：令第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2.

求函數(shù)的定義域.解:函數(shù)定義域必須滿足所以，函數(shù)的定義域為：第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日當鄰域內(nèi)有定義（點定義2.設二元函數(shù)在點可以除外）,如果當點沿任意路徑趨于點時,函數(shù)趨于常數(shù),那么稱為函數(shù)的某一總無限AA時的極限，記為或或三、二元函數(shù)的極限第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日說明：（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù).（2）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等。xyoP0第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日例3.

求極限：例4.

求極限：解:原式例5.求第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日

若當點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例6.

討論函數(shù)函數(shù)定理1.點以任何方式趨向于點函數(shù)的極限都存在且相等.第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例6知它在(0,0)點二重極限不存在.第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設二元函數(shù)

在點的某個領域如果函數(shù)在區(qū)域D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上內(nèi)有定義，如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),在點第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周結論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日例7

求．解因為函數(shù)是初等函數(shù),且點在該函數(shù)的定義域內(nèi),故第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日例8

討論函數(shù)

的連續(xù)性．時，為初等函數(shù),故函數(shù)在點處連續(xù).當不存在,所以函數(shù)在點處不連續(xù)，即原點是函數(shù)的間解當斷點．時,由例6知第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定有最大值和最小值．性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，必能取得介于函數(shù)的最大值與最小值之間的任何值．第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)第二十九頁，共三十