相似三角形知識(shí)點(diǎn)大總結(jié)

...wd......wd......wd...相似三角形知識(shí)點(diǎn)大總結(jié)知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相似形的概念(1)形狀一樣的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.(2)如果兩個(gè)邊數(shù)一樣的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念〔1〕如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一?！?〕在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說(shuō)是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)，此時(shí)有?！?〕黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即簡(jiǎn)記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形知識(shí)點(diǎn)3比例的性質(zhì)〔注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0〕〔1〕基本性質(zhì)：①；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．〔2〕更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：〔3〕反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：．〔4〕合、分比性質(zhì)：．注：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：等等．〔5〕等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法〞〔即引入新的參數(shù)k〕這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．知識(shí)點(diǎn)4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.③平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時(shí)，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原那么是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.AD∥BE∥CF,可得等.注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。知識(shí)點(diǎn)5相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號(hào)“∽〞表示，讀作“相似于〞．相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．注：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣寫(xiě)比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．知識(shí)點(diǎn)6三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價(jià)關(guān)系：①反身性：對(duì)于任一有∽．②對(duì)稱(chēng)性：假設(shè)∽，那么∽．③傳遞性：假設(shè)∽，且∽，那么∽(2)三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：，∴∽．知識(shí)點(diǎn)7三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，那么AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。知識(shí)點(diǎn)8相似三角形常見(jiàn)的圖形1、下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱(chēng)為“平行線型〞的相似三角形〔有“A型〞與“X型〞圖〕(2)如圖：其中∠1=∠2，那么△ADE∽△ABC稱(chēng)為“斜交型〞的相似三角形?！灿小胺碅共角型〞、“反A共角共邊型〞、“蝶型〞〕如圖：稱(chēng)為“垂直型〞〔有“雙垂直共角型〞、“雙垂直共角共邊型〔也稱(chēng)“射影定理型〞〕〞“三垂直型〞〕(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，那么△ADE∽△ABC，稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)型〞的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：〔1〕假設(shè)DE∥BC〔A型和X型〕那么△ADE∽△ABC〔2〕射影定理假設(shè)CD為Rt△ABC斜邊上的高〔雙直角圖形〕那么Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；〔3〕滿(mǎn)足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．〔4〕當(dāng)或AD·AB=AC·AE時(shí)，△ADE∽△ACB．知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)

兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)

三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理

兩角對(duì)應(yīng)相等

兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等

三邊對(duì)應(yīng)成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)點(diǎn)10相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等．知識(shí)點(diǎn)11相似三角形中有關(guān)證〔解〕題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：

(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：〔1〕總體思路:“等積〞變“比例〞，“比例〞找“相似〞

(2)找相似：通過(guò)“橫找〞“豎看〞尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，那么可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

(3)找中間比：假設(shè)沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，那么需要進(jìn)展“轉(zhuǎn)移〞(或“替換〞)，常用的“替換〞方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。①②③(4)添加輔助線：假設(shè)上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線〔即得平行線〕構(gòu)造相似三角形或比例線段?！?〕比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份〞看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理方法是設(shè)“公比〞為k?！?〕．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將局部需要的圖形〔或基本圖形〕“別離〞出來(lái)的方法處理。知識(shí)點(diǎn)12相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是根基和關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)13位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比.注：〔1〕位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).〔2〕位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.〔3〕位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4.畫(huà)位似圖形的一般步驟：〔1〕確定位似中心〔位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)〕〔2〕分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)〔或截取〕.〔3〕根據(jù)的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.〔4〕順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上〔圖形邊上或頂點(diǎn)上〕。②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱(chēng)為“外位似〞〔即同向位似圖形〕③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱(chēng)為“內(nèi)位似〞〔即反向位似圖形〕〔5〕在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k〔k>0〕,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x,y〕,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、相似三角形的概念1．判斷對(duì)錯(cuò)：

(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎為什么

(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎為什么

(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎為什么

(4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎為什么

(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎為什么

思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說(shuō)明不相似，那么只要否認(rèn)其中的一個(gè)條件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中

設(shè)AB=a，A′B′=b，那么BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b

∴∴ABC∽A′B′C′(4)一定相似.

因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟龋鹘嵌嫉扔?0度，所以?xún)蓚€(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.

舉一反三

【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎

解析：全等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形相似，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相似比為1，所以對(duì)應(yīng)邊相等.

因此這兩個(gè)三角形全等.

總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似.

(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等.

【變式2】以下能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿(mǎn)足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿(mǎn)足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.

類(lèi)型二、相似三角形的判定2．如以下列圖，中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相似比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相似比；

當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相似比.

總結(jié)升華：此題中△BEF、△CDF、△AED都相似，共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，假設(shè)次序顛倒，那么相似比成為原來(lái)的倒數(shù).

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，那么△ABC和△EDF相似嗎為什么思路點(diǎn)撥：△ABC和△EDF都是直角三角形，且兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似).

總結(jié)升華：

(1)此題易錯(cuò)為只看3，6，4，10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相

似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊.

(2)此題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，判定兩三角形相似.

4．如以下列圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿(mǎn)足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似試分別加以列舉.思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問(wèn)題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可.

解：當(dāng)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC.

條件一：∠1=∠B.

條件二：∠2=∠ACB.

條件三：，即.

總結(jié)升華：此題的探索鑰匙是相似三角形的識(shí)別方法.在探索兩個(gè)三角形相似時(shí)，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，然后尋找兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.此題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化〞原那么，因?yàn)闂l件三能使問(wèn)題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.

舉一反三

【變式1】：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．

求證：△ADQ∽△QCP．

思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而B(niǎo)P=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來(lái)判定．具體證明過(guò)程如下：

證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP．

【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.

思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，從而找到應(yīng)證哪兩個(gè)三角形相似.同時(shí)圓當(dāng)中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈活應(yīng)用.

證明：連接，.

在∴∽∴.

【變式3】：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．

求證：△DFE∽△ABC．

思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線，

∴DE=AB，

即=．

同理=．

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF=BC，

即=．

∴==．

∴△DFE∽△ABC．

總結(jié)升華：此題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個(gè)角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．

類(lèi)型三、相似三角形的性質(zhì)

5．△ABC∽△DEF，假設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎試說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥：因沒(méi)有說(shuō)明長(zhǎng)4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)展討論.

解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)是xcm，ycm，且x<y.

(1)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)5cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(2)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)6cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(3)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)7cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

綜上所述，△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度應(yīng)是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.

總結(jié)升華：一定要深刻理解“對(duì)應(yīng)〞，假設(shè)題中沒(méi)有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類(lèi).

6．如以下列圖，△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，假設(shè)BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.思路點(diǎn)撥：利用條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形的面積.

解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，那么EH=2xcm.

由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得，

∴，∴，.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴.

總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問(wèn)題，經(jīng)常利用相似三角形“對(duì)應(yīng)高的比等于相似比〞和“面積比等于相似比的平方〞的性質(zhì)，假設(shè)圖中沒(méi)有高可以先作出高.

舉一反三

【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，假設(shè)，求.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

∴∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC

∴∴=1：2.總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“〞字形，線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“〞字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“〞字形轉(zhuǎn)化到另一個(gè)“〞字形，從而解決問(wèn)題.

類(lèi)型四、相似三角形的應(yīng)用

7．如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法

方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測(cè)量CD，得到AB=CD，得到河寬.

方案2：

思路點(diǎn)撥：這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問(wèn)題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測(cè)出了三條線段的長(zhǎng)，必能求出第四條.

如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然前方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河寬為85m．

總結(jié)升華：方案2利用了“〞型基本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“〞型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

舉一反三

【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，小明的身高是1.6m，他的影長(zhǎng)是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE

∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴∴DE=16m

答：古塔的高度為16m.

【變式2】：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC

思路點(diǎn)撥：光線AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.那么，利用邊的比例關(guān)系求出BC.

解：作EF⊥DC交AD于F.因?yàn)锳D∥BE，所以又因?yàn)椋?/p>

所以，所以.

因?yàn)锳B∥EF，AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.

所以m.

類(lèi)型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積8．：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．

解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．

∵AE︰BE=1︰2，

∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE︰AB=1︰3，

∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴S△AEF==．

總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方．

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.

解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【變式2】如圖，：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．

(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求C