一元二次方程復習

學習目標復習一元二次方程及其有關概念。會解一元二次方程。會利用根與系數的關系解題。自學指導細致思索課本第52頁“小結”內容，留意：1.弄清本章“學問結構圖”。2.回答“回顧與思索”中的1~3個問題。自學過程中如有不懂的地方，可查看課本相關章節(jié)活小聲請教同桌。5分鐘后，比誰能做對檢測題。一元二次方程根的判別式兩不相等實根兩相等實根無實根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判別式的狀況根的狀況定理與逆定理兩個不相等實根

兩個相等實根

無實根(無解)一、例1：不解方程，判別下列方程的根的情況（1）（3）（2）解：（1）=

判別式的應用:所以，原方程有兩個不相等的實根。說明：解這類題目時，一般要先把方程化為一般形式，求出△，然后對△進行計算，使△的符號明朗化，進而說明△的符號狀況，得出結論。1、不解方程，判別方程的根的狀況例2：當k取什么值時，已知關于x的方程：（1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程無實根；解：△=(1).當△>0，方程有兩個不相等的實根,8k+9>0,即

(2).當△=0，方程有兩個相等的實根,8k+9=0,即

(3).當△<0，方程有沒有實數根,8k+9<0,即

2、依據方程的根的狀況確定方程的待定系數的取值范圍說明：解此類題目時，也是先把方程化為一般形式，再算出△，再由題目給出的根的狀況確定△的狀況。從而求出待定系數的取值范圍K＜例3、已知m為非負整數，且關于x的方程：有兩個實數根，求m的值。

解：∵方程有兩個實數根∴解得：∵m為非負數∴m=0或m=1說明：當二次項系數也含有待定的字母時，要留意二次項系數不能為0，還要留意題目中待定字母的取值范圍.例4、求證：關于x的方程：有兩個不相等的實根。證明：所以，無論m取任何實數,方程有兩個不相等的實數根。無論m取任何實數都有：即：△>03、證明方程根的狀況說明：此類題目要先把方程化成一般形式，再計算出△，假如不能干脆推斷△狀況，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，依據完全平方的非負性，推斷△的狀況，從而證明出方程根的狀況二、一元二次方程根與系數的關系以兩個數x1、x2為根的一元二次方程（二次項系數為1）是

設x1、x2是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表

x1·

x2

x1+x2一元二次方程56解：設方程的另一個根為x1，那么例2、利用根與系數的關系，求一元二次方程

兩個根的；（1）平方和；（2）倒數和解：設方程的兩個根是x1x2，那么例3

已知方程x2-5x-2=0，作一個新方程，使它的根分別是已知方程各根平方的倒數解：設x1、x2為方程x2-5x-2=0的兩根，則x1+x2=5x1x2=-2設所求方程兩根為y1、y2則：例6.已知方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，且這兩個根的平方和比兩根的積大21，求m的值．解：設x1、x2為方程的兩根∵方程有兩個實數根，解得m≤0．依題意，得

∵m≤0，

∴m＝－1．(x12+x22)-x1x2=21例7.試確定m的值，使關于x的方程8x2－(2m2＋m－6)x＋2m－1＝0的兩根互為相反數．解：設此方程的兩個根為x1、x2,要使方程的兩個根互為相反數,必需滿足條件:Δx1＋x2＝0,x1x2≤0．0,得2m2＋m－6＝0∴當m＝－2時，原方程的兩根互為相反數．三、二次三項式的因式分解中的因式千萬不能忽視。2.在分解二次三項式的因式時，可先用求根公式求出方程的兩個根x1,x2然后,寫成a例題講解例1把分解因式此步的目的是去掉括號內的分母例2本題是關于x的二次三項式，所以應把y看作常數歸納一元二次方程根與系數的關系(韋達定理）補充規(guī)律：兩根均為負的條件：X1+X2

且X1X2。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2。

兩根一正一負的條件：X1+X2且X1X2。當然，以上還必需滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac≥0二、一元二次方程解應用題的一般步驟（1）審題，分析題意，找出已知量和未知量，弄清它們之間的數量關系；（2）設未知數，一般實行干脆設法，有的要間接設；（3）找尋數量關系，列出方程，要留意方程兩邊的數量相等，方程兩邊的代數式的單位相同；（4）選擇合適的方法解方程；（5）檢驗。因為一元二次方程的解有可能不符合題意，如：線段的長度不能為負數，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，確定要進行檢驗．（6）寫出答語。三、常見實際問題運用舉例：（一）變更率的題目方法提示：增長率問題：設基數為a，平均增長率為x，則一次增長后的值為＿＿＿，二次增長后的值為＿＿＿＿．

降低率問題：若基數為a，平均降低率為x，則一次降低后的值為＿＿＿＿＿＿＿，二次降低后的值為＿＿＿＿＿＿＿．鞏固練習1、政府近幾年下大力氣降低藥品價格,希望使廣袤人民群眾看得起病吃得起藥,某種針劑的單價由100元經過兩次降價,降至64元,設平均每次下降的百分率為x，則可列方程（）.2、某商廈二月份的銷售額為100萬元，三月份銷售額下降了20%,該商廈趕快改進經營措施,銷售額起先穩(wěn)步上升,五月份銷售額達到了135.2萬元,設四、五月份的平均增長率為x，則可列方程（）.拓展提高：某超市1月份的營業(yè)額為200萬元，第一季度營業(yè)額為1000萬元，若平均每月增長率相同，求該增長率。（二）幾何問題方法提示：1)主要集中在幾何圖形的面積問題,這類問題的面積公式是等量關系；假如圖形不規(guī)則應割或補成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關系,再運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;2)與直角三角形有關的問題：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是這類問題的等量關系，即用勾股定理列方程。鞏固練習：如圖，一塊長方形鐵板，長是寬的2倍，假如在4個角上截去邊長為5cm的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個沒有蓋的盒子，盒子的容積是3000cm，求鐵板的長和寬。設X1、X2是方程X2－4X+1=0的兩個根，則X1+X2=

___

X1X2=____，X12+X22=

；(X1-X2)2

=

；

基礎練習例題回顧：例1：假如是方程2X2+mX+3=0的一個根，求它的另一個根及m的值.例2：已知關于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0滿足：兩根的平方和比兩根之積的3倍少10，求k的值.《根與系數的關系》練習一、填空：1、已知方程的兩根是,則

，=

。2、已知方程的一個根是1，則另一個根是

，k的值是

..3、若關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根互為相反數，則p=______;若兩根互為倒數，則q=_____．

4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是–1、3，則b=

，c=

.二、選擇1、若方程中有一個根為零，另一個根非零，則的值為()ABCD

2、兩根均為負數的一元二次方程是()A.4x2+2x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0