工程力學(xué) 第五章

內(nèi)力的概念內(nèi)力物體因受外力作用而使其內(nèi)部各部分之間因相對(duì)位置改變而引起的相互作用力；材料力學(xué)中的內(nèi)力，是指外力作用下，物體各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力的變化量，所以是物體內(nèi)部各部分之間因外力而引起的附加相互作用力，即“附加內(nèi)力”；內(nèi)力隨外力的增加而加大，隨外力的撤除而消失。截面法求內(nèi)力的三步曲沿橫截面截開(kāi)，留下一部分作為研究對(duì)象，棄去另一部分——截開(kāi)用作用于截面上的內(nèi)力代替棄去部分對(duì)留下部分的作用——替代對(duì)留下部分建立平衡方程并解之——平衡F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布內(nèi)力內(nèi)力必須滿足平衡條件作用在彈性體上的外力相互平衡內(nèi)力與外力平衡；內(nèi)力與內(nèi)力平衡。F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布內(nèi)力彈性體受力與變形特點(diǎn)F1FRF3MF1FnF3F2內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩(ResultantForceandResultantMoment)使用靜力平衡方程求出內(nèi)力FR和MSFi=FR

Smo(Fi)=M內(nèi)力分量(ComponentsoftheInternalForces)

在確定的坐標(biāo)系中,軸力、剪力、扭矩、彎矩及其可能產(chǎn)生的變形效應(yīng)。FRFNFQMMBMx

引言(Introduction)例1.1確定m-m截面上的內(nèi)力N=PM=Pa整個(gè)桿件最大的軸力發(fā)生在固定端截面上，其值：例1直徑為d長(zhǎng)為l圓截面直桿，鉛垂放置，上端固定，若材料單位體積質(zhì)量為，試求因自重引起桿的m-m截面的內(nèi)力。解：一、拉、壓桿的內(nèi)力(InternalForces)

軸力圖舉例軸力圖例-2：F1=2.5kN,F3=1.5kN,畫(huà)桿件軸力圖。解：1)截面法求AC段軸力，沿截面1-1處截開(kāi)，取左段如圖14-1-2所示∑Fx=0FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段軸力，從2-2截面處截開(kāi)，取右段，如圖14-1-3所示∑Fx=0–FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（負(fù)號(hào)表示所畫(huà)FN2方向與實(shí)際相反）3)圖14-1-4為AB桿的軸力圖已知知F1=10kN；；F2=20kN；；F3=35kN；；F4=25kN;試試畫(huà)畫(huà)出出圖圖示示桿桿件件的的軸軸力力圖圖。。11例題題2-3FN1F1解：：1、、計(jì)計(jì)算算各各段段的的軸軸力力。。F1F3F2F4ABCDAB段段BC段段2233FN3F4FN2F1F2CD段段2、、繪繪制制軸軸力力圖圖。。軸力力圖圖舉舉例例軸的的扭扭矩矩扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)內(nèi)內(nèi)力力扭矩矩Torque:用T表表示示扭矩矩的的正正負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)規(guī)規(guī)定定：：按右右手手螺螺旋旋法法則則：矢量量離離開(kāi)開(kāi)截截面面為為正正，，矢矢量量指指向向截截面面為為負(fù)負(fù)。。軸的的扭扭矩矩圖圖示示例例扭矩矩圖圖計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)扭扭矩矩用用矢矢量量表表示示例題題AB段段扭扭矩矩AC段段扭扭矩矩§5-2彎彎曲曲的的概概念念和和內(nèi)內(nèi)力力彎曲曲變變形形：桿件件在在垂垂直直于于其其軸軸線線的的載載荷荷作作用用下下，，使使原原為為直直線線的的軸軸線線變變?yōu)闉榍€線的的變變形形。。通通常常將將承承受受彎彎曲曲變變形形的的桿桿件件稱稱為為梁梁。。對(duì)稱彎彎曲：載荷作作用在在梁的的縱向向?qū)ΨQ稱平面面內(nèi)。。—平平面面彎曲曲§5-2彎彎曲曲的概概念和和內(nèi)力力梁的類類型靜定梁梁：梁的的所有有支座座反力力均可可由靜靜力平平衡方方程確確定。。靜定定梁的的基本本形式式有：：簡(jiǎn)支梁梁：一端端固定定鉸支支座，，另一一端可可動(dòng)鉸鉸支座座的梁梁，如如圖5-3a懸臂梁梁：一端端固定定端，，另一一端為為自由由端的的梁，，如圖圖5-3b所示示。外伸梁梁：簡(jiǎn)支支梁的的一端端或兩兩端伸伸出支支座之之外的的梁，，如圖圖5-3c。圖5-3梁的整整體處處于平平衡狀狀態(tài)，，因此此其各各個(gè)部部分也也應(yīng)處處于平平衡狀狀態(tài)。。截面面m―m上上將產(chǎn)產(chǎn)生內(nèi)內(nèi)力,這些些內(nèi)力力將與與外力力FA和F1；或FB和F2；在梁的左左半段或右右半段構(gòu)成成平衡力系系。

FS稱為橫截面m―m上的剪力，它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力。

FNFSMFAyFByFNFSM§5.2剪剪力力圖和彎矩矩圖§5-2剪剪力力和彎矩根據(jù)平衡條條件，若把把左段上的的所有外力力和內(nèi)力對(duì)對(duì)截面m―m的的形心O取取矩，其力力矩總和應(yīng)應(yīng)為零，即即∑MC=0，則 這一內(nèi)力偶矩M

稱為橫截面m―m上的彎矩。它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。FNFSMFAyFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪剪力對(duì)梁上上任意一點(diǎn)點(diǎn)的矩為順順時(shí)針轉(zhuǎn)向向時(shí)，剪力力為正；反之為負(fù)。。+_截面上的彎彎矩使得梁梁呈凹形為為正；反之之為負(fù)。+_左上右下為正正；反之為負(fù)左順右逆為正正；反之為負(fù)剪力和彎矩的的符號(hào)規(guī)則剪力、彎矩方方程法若以橫坐標(biāo)x表示橫橫截面在梁軸軸線上的位置置，則各橫截截面上的剪力力和彎矩可以以表示為x的函數(shù)，，即：

函數(shù)在直角坐坐標(biāo)系下的曲曲線，即為剪剪力圖和彎矩矩圖。舉例如如下：剪力圖和彎矩矩圖或?qū)懗桑簈懸臂梁受均布布載荷作用。。試寫(xiě)出剪力和和彎矩方程，，并畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。解：任選一一截面x，寫(xiě)出剪力力和彎矩方方程x依方程畫(huà)出出剪力圖和彎矩圖FSxMxl由剪力圖、彎矩圖圖可見(jiàn)。最最大剪力和和彎矩分別別為§5.2.剪力圖圖和彎矩圖圖的繪制例題5.2-1qxBAlFAYFBY圖示簡(jiǎn)支支梁C點(diǎn)受集中中力作用用。試寫(xiě)出剪剪力和彎彎矩方程程，并畫(huà)畫(huà)出剪力力圖和彎彎矩圖。。解：1．．確定約約束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．寫(xiě)出出剪力和和彎矩方方程x2FSxMxx1ACCB3.依依方程程畫(huà)出剪剪力圖和和彎矩圖圖。CFab§5.2.剪剪力圖和和彎矩圖圖的繪制制例題5.2-2§5.2.剪剪力圖和和彎矩圖圖的繪制制例題5.2-3BAlFAYFBY圖示簡(jiǎn)支支梁C點(diǎn)受集中中力偶作作用。試寫(xiě)出剪剪力和彎彎矩方程程，并畫(huà)畫(huà)出剪力力圖和彎彎矩圖。。解：1．．確定約約束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．寫(xiě)出出剪力和和彎矩方方程x2x1ACCB3.依依方程程畫(huà)出剪剪力圖和和彎矩圖圖。CMab內(nèi)力與外外力的相相依關(guān)系系某一截面面上的內(nèi)內(nèi)力與作作用在該該截面一側(cè)局局部桿件件上的外外力相平平衡；在載荷無(wú)無(wú)突變的的一段桿桿的各截截面上內(nèi)力按按相同的的規(guī)律變變化；平衡微分分方程內(nèi)力與外外力關(guān)系系桿件各截截面上內(nèi)內(nèi)力變化規(guī)律律隨著外外力的變變化而改變變。平衡微分分方程內(nèi)力與外外力關(guān)系系結(jié)論論例：簡(jiǎn)支支梁受力力如圖a所示。。試寫(xiě)出出梁的剪剪力方程程和彎矩矩方程，，并作剪剪力圖和和彎矩圖圖?！窘狻浚ǎ?）求求支座反反力(2)建建立剪剪力方程程和彎矩矩方程（3）作剪力圖圖和彎矩矩圖控制面的的概念：外力規(guī)律律發(fā)生變變化的的截面———集中中力、集集中力偶偶作作用用點(diǎn)處、、分布載載荷的起起點(diǎn)和終終點(diǎn)處處的橫截截面。內(nèi)力與外力力關(guān)系平衡微分方方程平衡微分方方程考察dx微段的受力力與平衡FQ+dFQFQ平衡微分方方程ΣFy=0:FQy+qdx-FQy-dFQy=0略去高階項(xiàng)項(xiàng)，得到:ΣMc=0:-Mz+(Mz+dMz)-FQydx-qdx.dx/2=0FQ+dFQFQ平衡微分方方程=qdxdFQy類似地在xz平面內(nèi)，也也可以得到到類似的表達(dá)達(dá)式，只是是下標(biāo)有所所不同。dx

dMz

=FQy平衡微分方方程FQy

+dFQyFQyd2Mzdx2=q=qdxdFQy不失一般性性，略去下下標(biāo)，寫(xiě)成成2dd

dd

ddFSxqMxFSMxq===;;2此即適用于于所有平面面載荷作用用情形的平衡微分分方程。平衡微分方方程根據(jù)上述微微分方程，，由載荷變變化規(guī)律，即可推推知內(nèi)力FS、M的變化規(guī)律律?？刂平孛娣址侄畏治鰣D圖舉例PMF1S1FS22M截面左段圖圖截面右段圖圖內(nèi)力圖(theInternalForceDiagram)剪力圖和彎彎矩圖剛架的內(nèi)力力圖剪力圖和彎彎矩圖畫(huà)法法根據(jù)平衡，，可以確定定控制面上上FQ、M數(shù)值,確定定函數(shù)變化化區(qū)間；根據(jù)剪力、、彎矩、分分布載荷之之間的平衡衡微分方程程總結(jié)出規(guī)規(guī)律可以確確定FQ、M的變變化化圖圖形形。。內(nèi)力力圖圖FQ、M圖4.集中中力力作作用用處處，，剪剪力力圖圖突突變變；；左左右右兩兩側(cè)側(cè)控控制制面面彎彎矩矩相相等等。。集中中力力偶偶作作用用處處，，彎彎矩矩圖圖突突變變；；剪剪力力圖圖不不變變。。2.q＝＝常數(shù)數(shù)，，F(xiàn)s(x)為為x的一一次次函函數(shù)數(shù)，，剪剪力力圖圖為為斜斜直直線線；；M(x)為為x的二二次次函函數(shù)數(shù)，，彎彎矩矩圖圖為為拋拋物物線線。。分布布載載荷荷向向上上（（q>0）），，拋拋物物線線呈呈凹凹形形；；分布布載載荷荷向向下下（（q<0）），，拋拋物物線線呈呈凸凸形形。。載荷集度、剪剪力和彎矩關(guān)關(guān)系：q＝0，F(xiàn)s=常數(shù)，剪剪力圖為水平平直線；M(x)為x的一次函數(shù)，，彎矩圖為斜斜直線。3.剪力Fs=0處，彎彎矩取極值。。利用載荷集度度、剪力和彎彎矩間的關(guān)系系畫(huà)圖利用微分關(guān)系系繪制剪力圖圖與彎矩圖的的方法：根據(jù)載荷及約約束力的作用用位置，確定定控制面。應(yīng)用截面法確確定控制面上上的剪力和彎彎矩?cái)?shù)值。建立FS一x和M一x坐標(biāo)系，并將將控制面上的的剪力和彎矩矩值標(biāo)在相應(yīng)應(yīng)的坐標(biāo)系中中。應(yīng)用平衡微分分方程確定各各段控制面之之間的剪力圖圖和彎矩圖的的形狀，進(jìn)而而畫(huà)出剪力圖圖與彎矩圖。。例題一xQFQxqa/2qa/2FQFQMxMxFQ內(nèi)力圖FQ、M圖剪力、彎矩圖圖直接畫(huà)圖法法舉例例題二xQFQxQqaFQFQMxMxqa2/2qa2FQ內(nèi)力圖FQ、M圖剪力、彎矩圖圖直接畫(huà)圖法法舉例例題三FQ內(nèi)力圖FQ、M圖剪力、彎矩圖圖直接畫(huà)圖法法舉例例題四內(nèi)力圖FQ、M圖剪力、彎矩圖圖直接畫(huà)圖法法舉例可以通過(guò)積分方法法確定剪力圖圖、彎矩圖圖上各點(diǎn)處的的數(shù)值。從左到到右，，向上上（下下）集集中力力作用用處，，剪力力圖向向上（（下））突變變，突突變幅幅度為為集中中力的的大小小。彎彎矩圖圖在該該處為為尖點(diǎn)點(diǎn)。從左到到右，，順（（逆））時(shí)針針集中中力偶偶作用用處，，彎矩矩圖向向上（（下））突變變，突突變幅幅度為為集中中力偶偶的大大小。。剪力力圖在在該點(diǎn)點(diǎn)沒(méi)有有變化化。載荷荷集集度度、、剪剪力力和和彎彎矩矩間間的的關(guān)關(guān)系系BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例題5.2-5簡(jiǎn)支梁受受力的大大小和方方向如圖圖示。試畫(huà)出其其剪力圖圖和彎矩矩圖。解：1．．確定約約束力求得A、B二處的約約束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根據(jù)力矩平平衡方程2．確定控控制面在集中力和和集中力偶偶作用處的的兩側(cè)截面面以及支座座反力內(nèi)側(cè)側(cè)截面均為為控制面。。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系5．根據(jù)微微分關(guān)系連連圖線4．應(yīng)用截截面法確定定控制面上上的剪力和和彎矩值，，并將其標(biāo)標(biāo)在FS－x和M－x坐標(biāo)系中。。0.891.111.3351.665(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例例題5.2-5續(xù)續(xù)（-）（+）解法2：1．確定約約束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．確定控控制面為A、C、D、B兩側(cè)截面。。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．從A截面左側(cè)開(kāi)開(kāi)始畫(huà)剪力力圖。Fs（kN）0.891.11例題5.2-5續(xù)續(xù)剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例（-）（-）4．從A截面左側(cè)開(kāi)開(kāi)始畫(huà)彎矩矩圖。M（kN.m）從A左到A右從C左到C右從D左到D右從A右到C左1.3350.335從C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11從D右到B左從B左到B右例題5.2-5續(xù)續(xù)剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例qBADa4aFAyFBy例題5.2-6試畫(huà)出梁剪剪力圖和彎彎矩圖。解：1．確確定約束力力根據(jù)梁的整整體平衡，，由求得A、B二處的的約束力qa2．確定控控制面由于AB段上作用有有連續(xù)分布布載荷，故故A、B兩個(gè)截面為為控制面，，約束力FBy右側(cè)的截面面，以及集集中力qa左側(cè)的截面面，也都是是控制面。。C剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐坐標(biāo)系建立FS－x和M－x坐標(biāo)系OFSxOMx4．確定控控制面上的的剪力值，，并將其標(biāo)標(biāo)在FS－x中。5．確定控控制面上的的彎矩值，，并將其標(biāo)標(biāo)在M－x中。剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例例題5.2-6續(xù)續(xù)

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．確定約約束力2．確定控控制面，即即A、B、D兩側(cè)截面。。3．從A截面左側(cè)開(kāi)開(kāi)始畫(huà)剪力力圖。

Fs

9qa/4

7qa/4qa剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例例題5.2-6續(xù)續(xù)（+）

M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪剪力為零的的點(diǎn)到A的的距離。B點(diǎn)的彎矩矩為-1/2××7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段為上上凸拋物線線。且有極極大值。該該點(diǎn)的彎矩矩為1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．從A截截面左側(cè)開(kāi)開(kāi)始畫(huà)彎矩矩圖

81qa2/32qa2剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例例題5.2-6續(xù)續(xù)（-）（-）（+）（+）（-）Fs例題5.2-7試畫(huà)出圖示示有中間鉸鉸梁的剪力力圖和彎矩矩圖。解：1．確確定約束力力從鉸處將梁梁截開(kāi)qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA剪力、彎矩矩圖直接畫(huà)畫(huà)圖法舉例例Bqly已知平面剛剛架上的均均布載荷集集度q,長(zhǎng)度l。B試：畫(huà)出剛剛架的內(nèi)力力圖。例題5.2-8ql解：1、確確定約束力力2、寫(xiě)出各各段的內(nèi)力力方程FN(y)FS(y)M(y)豎桿AB：A點(diǎn)向上為yy平面剛架的的內(nèi)力豎桿AB：：Bqly3、根據(jù)各各段的內(nèi)力力方程畫(huà)內(nèi)內(nèi)力圖橫桿CB：：MFNFSql＋－＋平面剛架的的內(nèi)力例題5.2-8續(xù)續(xù)＋＋謝謝大家返回本章第第一頁(yè)本章內(nèi)內(nèi)容結(jié)結(jié)束??！9、靜夜夜四無(wú)無(wú)鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹(shù)，，燈下下白頭頭人。。。14:34:2414:34:2414:341/6/20232:34:24PM11、以以我我獨(dú)獨(dú)沈沈久久，，愧愧君君相相見(jiàn)見(jiàn)頻頻。。。。1月月-2314:34:2414:34Jan-2306-Jan-2312、故人江海海別，幾度度隔山川。。。14:34:2414:34:2414:34Friday,January6,202313、乍見(jiàn)見(jiàn)翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問(wèn)問(wèn)年。。。1月-231月-2314:34:2414:34:24January6,202314、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青青山。。06一月20232:34:24下午14:34:241月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月232:34下下午1月-2314:34January6,202316、行動(dòng)動(dòng)出成成果，，工作作出財(cái)財(cái)富。。。2023/1/614:34:2414:34:2406January202317、做前，，能夠環(huán)環(huán)視四周周；做時(shí)時(shí)，你只只能或者者最好沿沿著以腳腳為起點(diǎn)點(diǎn)的射線線向前。。。2:34:24下午午2:34下午午14:34:241月-239、沒(méi)有失敗，，只有暫時(shí)停停止成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒(méi)沒(méi)有。。14:34:2414:34:2414:341/6/20232:34:24PM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小努力力的積積累。。。1月-2314:34:2414:34Jan-2306-Jan-2312、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對(duì)對(duì)圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無(wú)無(wú)限限完完美美。。。。14:34:2414:34:2414:34Friday,January6,202313、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。1月-231月-2314:34:2414:34:24January6,202314、意志堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。06一月月20232:34:25下下午14:34:251月-2315、楚塞