第三節(jié)：taylor公式第四節(jié)函數的單調性與凹凸性

二、幾個初等函數的麥克勞林公式

第三節(jié)一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應用

—應用用多項式近似表示函數理論分析近似計算泰勒(Taylor)公式特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x

的一次多項式1.求

n

次多項式要求:故令則近似等于2.余項估計令(稱為余項),則有公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項

.泰勒中值定理:階的導數,時,有①其中②則當公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項

.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立特例:(1)當n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差稱為麥克勞林（Maclaurin

）公式

.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式其中其中42246420246泰勒多項式逼近42246420246泰勒多項式逼近類似可得其中其中已知其中類似可得三、泰勒公式的應用1.在近似計算中的應用

誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數

n;2)已知項數

n

和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.已知例1.計算無理數e的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計算可知當

n=9

時上式成立,因此的麥克勞林公式為說明:注意舍入誤差對計算結果的影響.本例若每項四舍五入到小數點后6位,則

各項舍入誤差之和不超過總誤差為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結果應比精度要求多取一位

.2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:內容小結1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.2.常用函數的麥克勞林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的應用(1)近似計算(3)其他應用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數,思考與練習

計算解:原式由題設對證:例.有且下式減上式,得令兩邊同乘

n!=整數

+假設

e

為有理數(p,q

為正整數),則當

時,等式左邊為整數;矛盾!2.證明e為無理數

.

證:

時,當故e為無理數.等式右邊不可能為整數.泰勒

(1685–1731)英國數學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國數學家,著作有:《流數論》(1742)《有機幾何學》(1720)《代數論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數.一、函數單調性的判定法二、曲線的凹凸與拐點第四節(jié)函數的單調性與

曲線的凹凸性一、函數單調性的判定法那么函數在[a,b]上單調增加；(2)如果在(a,b)內那么函數在[a,b]上單調減少.1.判定定理：定理1.設函數在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導.(1)如果在(a,b)內(1)證明：設：則由中值定理：1)若函數在駐點兩邊導數同號,則不改變函數的單調性.說明:2)函數單調區(qū)間的分界點也可能是不可導點.

一般地,如果在某區(qū)間內的有限個點處為零，在其余各點處均為正(或負)時,在該區(qū)間上仍舊是單調增加(或單調減少)的.那么求函數導數求函數的駐點以駐點為端點將定義域劃分成若干個子區(qū)間；在各子區(qū)間內分別判別導數的符號,寫出各單調區(qū)間.2.函數單調區(qū)間的求解步驟:導數為0或導數不存在的點稱為駐點從而確定其單調性；例2.

討論函數的單調性.在區(qū)間上的單調性.例1.判斷函數解：令：單調增在得：解：令：得：函數為單調減函數為單調增當當時時例3.確定函數的單調區(qū)間.解：令：得：所以函數為單調減區(qū)間為函數為單調增區(qū)間為例4.確定函數的單調區(qū)間.解：令：得：所以函數為單調減區(qū)間為函數為單調增區(qū)間為例5.

當時成立.3.應用:利用函數的單調性可以證明不等式證明：當時,試證：時有即：函數為單調增函數例6.當時證明：當時,試證：時有即：為單調增函數無法判斷正負號為單調增函數時所以有：例7.

證明方程只有一個實根.證明方程根的唯一性:證明:在連續(xù)至少存在一點使得為原方程的根又所以函數在為單調增函數與x軸最多有一個交點證畢上則或的大小順序是()B1.

設在思考與練習2.證明：當時，二、曲線的凹凸性與拐點對于單調增函數圖形可以形如ACB也可以形如ADB定義.設函數在區(qū)間I上連續(xù)

,(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形是凸的.1.曲線凹凸性的定義：例.利用定義判斷曲線的凹凸性.解：所以凹的.(1)在I內則在I內圖形是凹的;(2)在

I內則在

I

內圖形是凸的.設函數在區(qū)間I

上有二階導數2.曲線凹凸性的判定：定理2.(凹凸判定法)證明:設:則所以：其中凹的曲線的凹凸區(qū)間的求解步驟:從而判斷曲線弧的凹凸性；求函數一階二階導數及二階導數不存在的點；

令：以駐點為端點將定義域劃分成若干個子區(qū)間；在各子區(qū)間內分別判別二階導數的符號,例８.判斷曲線的凹凸性.解：令：得：時當當時函數圖形為凸.函數圖形為凹.1)定義:

連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點稱為拐點

.3.曲線的拐點及其判定：2)拐點的必要條件:

定理3.如果內具有二階連續(xù)導數,在是拐點,則注:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.

且點說明:1)若在某點二階導數為0,則曲線的凹凸性不變

.在其兩側二階導數不變號,2)函數二階導數不存在的點也可能是曲線的拐點.例９.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解：令：得：當時當時當時凹凸凹為拐點.所以4.利用曲線凹凸性證明不等式