“未來教育”案例1懸鏈線和多邊形

未來教育”案例1懸鏈線和多邊形一、團(tuán)隊(duì)介紹團(tuán)隊(duì)介紹： 團(tuán)隊(duì)成員介紹： 二、問題來源我們都知道車輪是圓的，但是在科技館中有一件展品叫做方輪與圓輪，我們看到盡管軌道不平，方輪車也能作平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，這個(gè)原因是因?yàn)橄旅娴能壍朗菓益溇€。而對(duì)于任意正!邊形的車輪，滿足平穩(wěn)前行的道路形狀又該是怎樣的呢？多邊形是數(shù)學(xué)當(dāng)中常見的基本圖形，也是初中生學(xué)習(xí)當(dāng)中歐幾里得方面重要的一環(huán)。而懸鏈線在工程學(xué)當(dāng)中有著非常非常重要的應(yīng)用。三、解決方案如果直接給學(xué)生一個(gè)正多邊形輪子的小車，和相應(yīng)的軌道，同學(xué)們可能推兩下覺得挺有意思的，就放到一邊不管。我們希望通過一個(gè)學(xué)生親自制作的過程，讓學(xué)生們自己能夠動(dòng)手來研究和思考，盡管對(duì)于任意正n邊形的車輪，滿足平穩(wěn)前行的道路形狀也是一個(gè)懸鏈線。首先我們通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到公式，而后通過CAD作圖得到拼查結(jié)構(gòu)的模型，而后用激光切割機(jī)進(jìn)行加工得到成品。3.1．?dāng)?shù)學(xué)推導(dǎo)作圖如下3.2推導(dǎo)過程

y=y(x)為軌道方程，其中I(x,y)是正方形車輪與“道路”的一個(gè)切點(diǎn)，根據(jù)道路與車輪的關(guān)系，線段AI的長(zhǎng)度要等于弧KI的長(zhǎng)，記該長(zhǎng)為s，用微積分的符號(hào)表示為(x0左端的一個(gè)零點(diǎn))我們有以下關(guān)系從中解出s,得到將兩個(gè)s用等號(hào)聯(lián)系起來，得到積分方程i+r1巖+yi+r1巖+y2dx+r2通過取導(dǎo)數(shù)變化得到~x—f/ 1. —y)說—疔―]=arccosh{y/2—y)+C根據(jù)初始條件，可以得出c=o,于是最終的軌道方程為y=-coshx+y/2這是一條懸鏈線。3.3多邊形推導(dǎo)對(duì)于任意正n邊形的車輪，它依舊只是一條懸鏈線！設(shè)正n邊形的邊長(zhǎng)為2a,高為h,方程為：y=—hcosh(^)+y/a2+ft2

四、方案和模型4.1．CAD作圖通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到公式，而后通過CAD作圖得到拼插結(jié)構(gòu)的模型，而后用激光切割機(jī)進(jìn)行加工得到成品。4.4組裝得到的成品五、作品前景展望5.1教育意義通過方輪與圓輪這個(gè)展品，我們可以知道方輪也可以代替圓輪做平滑的滾動(dòng)，而且軌道是一條懸鏈線。但其實(shí)不只是方輪，正多邊形的輪子都可以代替圓輪，而且軌道的形狀也是一個(gè)懸鏈線。當(dāng)輪子半徑一定的時(shí)候，正多邊形的軌道都是同樣的懸鏈線，只不過是距地面的高度降低了一些。從這個(gè)角度出發(fā)，我們會(huì)得到一個(gè)極限的思想，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)的增加，下面的軌道也愈趨于平緩，當(dāng)無限邊數(shù)時(shí)，軌道就成為了一條直線，而輪子也變?yōu)榱藞A形。這樣就延伸了展品的內(nèi)涵。這樣這個(gè)產(chǎn)品既可以在科技博物館或?qū)W校，可以用其做逆向思維及動(dòng)手、數(shù)學(xué)等學(xué)科教育，學(xué)生自己也可以作為一個(gè)益智項(xiàng)目通過產(chǎn)品本身進(jìn)行學(xué)習(xí)和認(rèn)知。5.2改進(jìn)展品該設(shè)計(jì)的市場(chǎng)前景看好，我們也可以通過改進(jìn)來豐富科技館這個(gè)展項(xiàng)的內(nèi)容?？萍拣^的展品可以從原來只有方輪和圓輪的情況變?yōu)槎喾N情況，通過提供不同種類的輪子，例如萊洛三角形，正六邊形、八邊形之類供觀眾進(jìn)行拼裝，這樣通過互動(dòng)操作和體驗(yàn)來擴(kuò)充原有展項(xiàng)所展示的內(nèi)容。未來教育”案例2錐體上滾一、團(tuán)隊(duì)介紹團(tuán)隊(duì)介紹： 團(tuán)隊(duì)成員介紹： 二、問題來源我們都知道水往低處流，在重力的作用下幾乎所有物體都會(huì)有從高處向低處運(yùn)動(dòng)、降低重心的趨勢(shì)，這樣的現(xiàn)象屢見不鮮，若展品直接展示此運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難給觀眾留下深刻印象。我們希望設(shè)計(jì)一件展品，通過演示它看起來與常理不符的現(xiàn)象，引發(fā)觀眾好奇，但經(jīng)過實(shí)驗(yàn)、探索之后，觀眾可發(fā)現(xiàn)展品背后的原理，加深印象與認(rèn)識(shí)。三、解決方案3.1展品名稱及設(shè)計(jì)思路我們計(jì)劃設(shè)計(jì)相應(yīng)道具，利用軌道和物體，展示物體在重力作用下，重心降低，但看起來卻是從軌道低端自發(fā)向軌道高端運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。經(jīng)多次測(cè)試，我們擬選用兩根支撐桿架設(shè)為V形傾斜軌道，閉口端低，開口端高，同時(shí)選用中間厚，兩邊薄的對(duì)稱物體作為實(shí)驗(yàn)物體，通過物體在軌道不同處支撐點(diǎn)不同的特點(diǎn)，讓物體隨著在軌道的上升運(yùn)動(dòng)，實(shí)際重心則降低。根據(jù)兩邊薄、中間厚、具有對(duì)稱性、在軌道上可以持續(xù)滾動(dòng)等特點(diǎn)，我們選擇了雙圓錐體作為實(shí)驗(yàn)物體。雙圓錐體，即將兩個(gè)同樣的圓錐體底面對(duì)底面拼接起來。根據(jù)計(jì)算，密度均勻的雙圓錐體，其重心位于兩端點(diǎn)連線的中點(diǎn)，即原本圓錐體底面圓心處。故展品名稱為錐體上滾。3.2展品原理在V形軌道最低處，兩根支撐桿距離較小，在此處雙圓錐體與支撐桿的接觸點(diǎn)最靠近中間最厚部分，此時(shí)雙圓錐體的重心最高，重力勢(shì)能最大。在V形軌道最高處，兩根支撐桿的距離最大，在此處雙圓錐體與支撐桿的接觸點(diǎn)靠近兩端最薄處，此時(shí)雙圓錐體的重心最低，重力勢(shì)能最小。所以，當(dāng)從軌道最低處釋放雙圓錐體，雙圓錐體會(huì)沿著軌道滾向最高端，重心逐漸降低，重力勢(shì)能逐漸減小，轉(zhuǎn)化為錐體滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能。

原理圖如下：在這個(gè)設(shè)計(jì)中，有一些參數(shù)會(huì)影響到錐體是否能上滾。所以我們可以推導(dǎo)出滿足錐體上滾的條件。3.3數(shù)學(xué)推導(dǎo)若雙圓錐體從軌道低處到軌道高處重心高度會(huì)降低，根據(jù)能量守恒，雙圓錐體始終能上滾；若雙圓錐體從軌道低處到軌道高處重心高度升高，雙圓錐體則不會(huì)上滾；而雙圓錐體上滾的臨界情況，則是當(dāng)雙圓錐體在軌道低處和軌道高處重心高度沒有變化時(shí)，雙圓錐體在軌道任何地方均可保持穩(wěn)定。

設(shè)雙圓錐體頂角為0，長(zhǎng)度為n,底面直徑為m,則有1)tan0/2=(m/2)/(n/2)=m/n當(dāng)雙圓錐體在軌道最高處時(shí)，軌道張開寬度應(yīng)與雙圓錐體長(zhǎng)度相同，即設(shè)雙圓錐體頂角為0，長(zhǎng)度為n,底面直徑為m,則有1)tan0/2=(m/2)/(n/2)=m/n當(dāng)雙圓錐體在軌道最高處時(shí)，軌道張開寬度應(yīng)與雙圓錐體長(zhǎng)度相同，即s=n若軌道張開角度為Y，則有tan丫/2=(s/2)/l=s/2l2)由(1)(2)兩式可得tan0/2*tany/2=(m/n)*(s/2l)=m/2l3)4)m=2l*tan0/2*tany/2設(shè)軌道與水平面傾斜角度為a，雙圓錐體滾動(dòng)至軌道最高處時(shí)，錐體軸線(兩端點(diǎn)連線)與水平面高度為h，如圖2(a)，貝％ana=h/lh=l*tana由圖2(a)知，若雙圓錐體剛好可以滾動(dòng)，需滿足m/2>h，帶入(4)(5)兩式，則有5)tan0/2*tany/2>tana該式即為我們討論的錐體上滾能實(shí)現(xiàn)的條件。6)四、方案和模型根據(jù)以上計(jì)算出來的條件，通過CAD作圖得到方案如下(尺寸略)：當(dāng)雙圓錐體被放置在軌道低處并釋放時(shí)，雙圓錐體會(huì)自發(fā)向軌道更高處滾動(dòng)過去，實(shí)現(xiàn)錐體上滾。

五、作品前景展望通過體驗(yàn)錐體上滾這件展品，觀眾可第一時(shí)間觀察到看似與常識(shí)不符的現(xiàn)象，即雙圓錐體沿著傾斜軌道向更高的地方滾動(dòng)上去，引發(fā)觀眾的注意與思考，進(jìn)而繼續(xù)探索是否有與常識(shí)不一致的物理定律導(dǎo)致了上滾的現(xiàn)象。我們鼓勵(lì)觀眾可以用自己隨身攜帶的其他物品進(jìn)行體驗(yàn)，如水杯等，引導(dǎo)觀眾注意到雙圓錐體的形狀特點(diǎn)，以及軌道隨著上升還張開了一定角度等，最終明白雙圓錐體雖然隨著軌道上升，但重心實(shí)際上依然在下降。未來教育”案例3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、團(tuán)隊(duì)介紹（1） 團(tuán)隊(duì)介紹： （2） 團(tuán)隊(duì)成員介紹： 二、問題來源我們知道物體保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)，稱為慣性，度量物體慣性大小的是質(zhì)量。而與慣性類似，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則是度量剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量，又稱慣性距、慣性矩。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。慣性的大小是和物體的質(zhì)量有關(guān)，但是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小是和什么有關(guān)呢？我們希望通過設(shè)計(jì)一個(gè)展品，來幫助觀眾了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。三、解決方案3.1展品設(shè)計(jì)思路轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性（回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性）的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān)。我們計(jì)劃利用軌道使物體在重力的作用下下滾，通過兩個(gè)軌道來比較具有同等重量但形狀不同的物體的滾動(dòng)速度。計(jì)劃設(shè)計(jì)六個(gè)相同重量的旋轉(zhuǎn)物體，分別是：質(zhì)量分布遠(yuǎn)離圓心的圓形、質(zhì)量分布靠近圓心的圓形、質(zhì)量分布遠(yuǎn)離中心的三角形、質(zhì)量分布靠近中心的三角形、質(zhì)量分布遠(yuǎn)離中心的正方形、質(zhì)量分布靠近中心的正方形。3.1．?dāng)?shù)學(xué)推導(dǎo)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式如下：（式中m表示剛體的某個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量，r表示該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，求和號(hào)遍及整個(gè)剛ii體）

從公式中我們可以看出，物體質(zhì)量越集中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，就越難改變其初始狀態(tài)。四、方案和模型4.1．CAD作圖根據(jù)以上計(jì)算出來的條件，通過CAD作圖得到方案如下oooITrrOorr°。oA/O\o°oO°OH一遼廠◎oooITrrOorr°。oA/O\o°oO°OH一遼廠◎、<0J2o9)o重量分布主要集中在轉(zhuǎn)盤上面的三個(gè)圓環(huán)上，圓環(huán)采用銅質(zhì)，轉(zhuǎn)盤采用輕質(zhì)材料。軌道設(shè)計(jì)如下：采用同樣高度的兩組軌道并排放置4.2尺寸標(biāo)注（略）五