期權(quán)定價原理及其應(yīng)用概述

期權(quán)定價原理及其應(yīng)用5.1期權(quán)定價原理期權(quán)期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日、以執(zhí)行價格（從期權(quán)出售方）買入或賣出相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）?？礉q期權(quán)合約中指定：——相關(guān)資產(chǎn)、執(zhí)行價格(X)、到期日(T)●歐式看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人只能在到期日T、以執(zhí)行價格X（從看漲期權(quán)出售方）買入（“看漲”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）?！衩朗娇礉q期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日T前或到期日、以執(zhí)行價格X（從看漲期權(quán)出售方）買入（“看漲”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。到期日看漲期權(quán)的價值ST

＝到期日T相關(guān)資產(chǎn)或股票的價值或價格。CT

＝在到期日執(zhí)行價格為X的看漲期權(quán)的價值是ST的函數(shù)如果ST>X，則成為“實(shí)值期權(quán)”。如果ST<X，則成為“虛值期權(quán)”。如果ST=X，則成為“兩平期權(quán)”?？吹跈?quán)指定：——相關(guān)資產(chǎn)——執(zhí)行價格(X)——到期日(T)歐式看跌期權(quán)賦予期權(quán)持有人只能在到期日T、以執(zhí)行價格X（向看跌期權(quán)出售方）賣出（“看跌”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。美式看跌期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日T前或到期日、以執(zhí)行價格X（向看跌期權(quán)出售方）賣出（“看跌”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。到期日看跌期權(quán)的價值ST＝到期日T時，相關(guān)資產(chǎn)或股票的價值或價格。PT＝在到期日、執(zhí)行價格為X的看跌期權(quán)的價值是ST的函數(shù)如果ST<X，則成為“實(shí)值期權(quán)”。如果ST>X，則成為“虛值期權(quán)”。如果ST=X，則成為“兩平期權(quán)”。Black-Scholes公式歐式看漲期權(quán)的公式計算是：這兒：S＝相關(guān)資產(chǎn)或股票的現(xiàn)價T-t＝剩余到期時間r＝連續(xù)無風(fēng)險收益率e≈2.71828＝相關(guān)資產(chǎn)或股票連續(xù)復(fù)利報酬率的標(biāo)準(zhǔn)差（即波動）N(y)＝均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量小于y的概率期權(quán)定價基本原理問題：一只股票目前價格100元，未來可能上漲到120元，也可能下跌至80元；如果現(xiàn)在你為了規(guī)避股票下跌的風(fēng)險，買入一份看漲期權(quán)（執(zhí)行價格為110元）那么，你應(yīng)該支付多少錢得到這份看漲期權(quán)（對方需要多少錢才會愿意承擔(dān)此風(fēng)險）？期權(quán)的支付100120（120-110=10）80（0）無套利原理如果不同的資產(chǎn)在未來帶來相同的現(xiàn)金流，那么資產(chǎn)（當(dāng)前）的價格應(yīng)該相等，否則就會存在套利的機(jī)會；橫向套利：不同市場縱向套利：不同期限二叉樹期權(quán)定價二叉樹期權(quán)定價（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出為期權(quán)定價模型為B-S模型提供一種比較簡單和直觀的方法12例：遠(yuǎn)期匯率與即期匯率拋補(bǔ)利率平價拋補(bǔ)利率平價公式(1+美元利率)=(1+英鎊利率)x(美元/英鎊遠(yuǎn)期匯率)/(美元/英鎊即期匯率)所以存在平價關(guān)系：即期匯率=遠(yuǎn)期匯率x(1+外幣利率)/(1+本幣利率)例：人民幣拋補(bǔ)利率平價例：2010年4月利率:中國是2.25%美國：最高1.5%匯率即期匯率是6.823遠(yuǎn)期匯率是6.647投資策略：ⅰ在紐約的銀行存1美元，一年以后得到1.015美元ⅱ將1美元換成RMB6.823,存入中國的銀行可以獲得:6.823x1.0225=RMB6.9765

用遠(yuǎn)期匯率換成美元，可獲得：6.9765/6.647=$1.0495策略ⅱ可獲得有無風(fēng)險的利潤期權(quán)定價的基礎(chǔ)就是無套利原理構(gòu)建一種資產(chǎn)組合，其未來的現(xiàn)金流支付等于期權(quán)的支付，那么期權(quán)的價格就應(yīng)該等于該資產(chǎn)組合的價格二叉樹定價模型：Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$1818StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20

A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.19StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?構(gòu)建無風(fēng)險組合ConsiderthePortfolio: longDshares short1calloption Portfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.252022D–118D股股票－1份期權(quán)=無風(fēng)險證券→1份期權(quán)=D股股票-無風(fēng)險證券單期二叉樹期權(quán)定價模型考慮一個買權(quán)在當(dāng)前時刻t，下期t=T到期，中間只有1期，τ=T-t假設(shè)該買權(quán)的標(biāo)的股票是1個服從二項分布的隨機(jī)變量。當(dāng)前股票價格為st=S是已知的，到期股票價格為sT，且滿足21其中，u為上漲因子，d為下跌因子22sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q問題：如何確定該期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價值ct？設(shè)想：構(gòu)造如下投資組合，以無風(fēng)險利率r借入資金B(yǎng)（相當(dāng)于無風(fēng)險債券空頭），并且在股票市場上購入N股股票（股票多頭）。目的：在買權(quán)到期日，上述投資組合的價值特征與買權(quán)完全相同。在當(dāng)前時刻t，已知股票的價格為s，構(gòu)造上述組合的成本為23在到期時刻T，若希望該組合的價值v與買權(quán)的價值完全相同則必須滿足由上兩式得到由此得到的組合稱為合成期權(quán)（syntheticoption），由無套利定價原則，在當(dāng)前時刻t買權(quán)的價值為例子假設(shè)有1個股票買權(quán)合約，到期日為1年，執(zhí)行價格為112美元，股票當(dāng)前的價格為100美元，無風(fēng)險利率為8％（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。在到期日股票的價格有兩種可能：180美元或者60美元，求期權(quán)的價值？25sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=026Dicussion:Risk-neutralprobabilitypisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’sexpectedrelativereturnis27Option’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.Dicussion:Risk-neutralprobability在風(fēng)險中性世界中，主觀概率q沒有出現(xiàn)。雖然個人對q的信念是不同的，但是在期權(quán)的定價過程中并沒有涉及到q，也就是人們對q認(rèn)識的分歧并不影響對期權(quán)的定價結(jié)果。投資者最終都一致風(fēng)險中性概率p，它只取決于r，u，d這三個客觀因子。28Dicussion:Risk-neutralprobability風(fēng)險中性世界，不必考慮風(fēng)險，這等價于假設(shè)投資者是風(fēng)險中性的。若在期初構(gòu)造如下組合：以S的價格買入N股股票，同時以c的價格賣出1個期權(quán)，則該組合的投資成本為NS－c必然等于B。若sT＝su29若sT＝Sd投資者雖然投資于有風(fēng)險的股票和期權(quán)，但是由二者構(gòu)成的組合NS－c，即相當(dāng)于投資1個無風(fēng)險的證券。組合貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)率只能是無風(fēng)險利率由于是無風(fēng)險證券，對于理性投資者，不論其偏好如何，其風(fēng)險態(tài)度對于這樣的組合是無關(guān)緊要。只要考慮收益的大小即可，由此大大簡化資產(chǎn)的定價?；谏鲜龅睦碛?，只要以上述方式構(gòu)建投資組合來對期權(quán)定價，就等價于假設(shè)投資者是風(fēng)險中性的，既然是風(fēng)險中性的，則對這樣的組合定價就不必考慮風(fēng)險問題。30

兩階段二叉樹定價模型由于標(biāo)的資產(chǎn)市場價格是1個連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可能只有2種情形，因此可以考慮將時間T-t分為多段處理，首先介紹兩階段模型。31兩階段模型（Two-stepbinomialtree)若把從定價日t至到期日T的時間區(qū)間T-t，劃分為2個階段，在每1個階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格只可能取2種狀態(tài)，上漲和下跌，且上漲和下跌的幅度相等，則第2階段結(jié)束時候（t=T），標(biāo)的資產(chǎn)價格的取值為3個，并且令h為每個階段的時間長度兩階段模型示意圖32stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，u＝1/d兩階段模型第2期本來有4種狀態(tài)，為簡化分析，不妨規(guī)定u=1/d，則第2、3兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，故將其合并。期權(quán)到期日價值的所有可能值為33由1階段模型可知，在風(fēng)險中性條件下34注意：風(fēng)險中性概率p只與r，h，u，d有關(guān)，當(dāng)上述值確定下來后，兩個階段的p就完全相同，這也正是階段平分的優(yōu)點(diǎn)。35當(dāng)前時刻t，期權(quán)的價值為定價思路：倒推定價法首先得到2期節(jié)點(diǎn)的股票價格，從而得到該期的期權(quán)價格。采用風(fēng)險中性定價，通過貼現(xiàn)得到1期節(jié)點(diǎn)的股票價格和期權(quán)價格。由1期的股票價格得到期權(quán)價格，得到當(dāng)前期權(quán)的價格。風(fēng)險中性定價下，每一期的風(fēng)險中性概率都是相同的。365.4n階段二叉樹定價模型將定價日t到到期日T的時間進(jìn)一步等分為n個階段，每個階段的長度為h37標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的狀態(tài)可能取值為n＋1個.若n→∞，即每個階段所對應(yīng)的長度無窮小，則完全有理由用二叉樹來近似表示標(biāo)的資產(chǎn)價格的連續(xù)變化過程。數(shù)學(xué)意義：根據(jù)中心極限定理，若n充分大，則二項分布收斂于正態(tài)分布思路：推導(dǎo)出n期的二項式模型，然后令n趨于無窮。標(biāo)的股票當(dāng)前價格為St=S，而在以后任意一期，股價的變化有上升和下降兩個可能。這樣經(jīng)過n期后（到期日T），若該股票上漲j次，下跌n-j次，到期日T股價ST為38由概率論可知，sT服從二項分布（binomialdistribution)，所以，具有j次上漲，n-j次下降的股票價格sT的概率為recall：binomialdistribution假設(shè)在一個不透明的袋子中有N個球，其中M個是白色的，其余N-M個球是黑色的，則每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，稱之為n重貝努里試驗(yàn)。在貝努里試驗(yàn)中剛好取到j(luò)次白球的概率記為b(j;n,p)39recall：binomialdistribution由于b(j;n,p)剛好是二項式40例如第j項就是故上述分布又稱為二項式分布，并且成立recall：binomialdistribution由于二項式分布計算復(fù)雜，為簡化計算。當(dāng)n→∞，可以用正態(tài)分布逼近（定理：獨(dú)立同分布下的中心極限定理）。設(shè)隨機(jī)變量Yn~b(j;n,p)，則隨機(jī)變量4142參照2階段模型的思路，從最后的n期（T時刻）開始逐期向前推導(dǎo)，則期權(quán)在當(dāng)前時刻t的價格為公式意義：在風(fēng)險中性世界里，將期權(quán)到期時所有的可能值對當(dāng)前時刻貼現(xiàn)，并以風(fēng)險中性概率加權(quán)，得到的是期權(quán)現(xiàn)值的期望值。此期望值是期權(quán)的真實(shí)值嗎？Forexample:two-stepbinomialtrees43CRRmodel:n-stepbinomialtrees444546Howtocomputeuord?ChoosinguanddOnewayofmatchingthevolatilityistoset48wheresisthevolatilityandhisthelengthofthetimestep.ThisistheapproachusedbyCox,Ross,andRubinstein.Neutral-riskprobabilityisSimplifyfirstterm49=150Binomialequation51Simplifysecondterm52Simplifyallterms53Nextstep,wemustdeduced1andd2whenn→∞deducingd1andd2(form)54deducingd1andd2(forp)555657deducingd258Result:Black-Scholesformula59HowtochooseuanddBlack-scholesmodelassumethemotionofstockpricesatisfiestheGeometryBrownmotionorlogarithmnormaldistribution60Howtochooseuandd61Inbinomialmodel,weassumeqisprobabilityofstockpriceupinrealworlds.Howtochooseuandd626364So,wefindonesolveoftheequationInrisk-neutralworld,thereturnofsecuritiesmustber,whichmeansDisscusion:ChoosinguanddWehaveknowneutralprobabilitypforanystep65ud1p1-pWecanget66Prove:inrisk-neutralworldVarianofastock’sreturnin

AccordingtoGeometryBrownmotion67ud1p1-p68Substitutingforuandd,thetermsofhigherthan2powerareignored.FromCox，RossandRubinstein(1979)美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一個非常微小的變化，但是歐式期權(quán)與美式期權(quán)（尤其是看跌期權(quán)）價值有很大的不同。WeknowthevalueoftheoptionatthefinalnodesWeworkbackthroughthetreeusingrisk-neutralvaluationtocalculatethevalueoftheoptionateachnode,testingforearlyexercisewhenappropriate美式期權(quán)沒有解析解，故采用二叉樹方法來逼近。695.7Application:AmericanoptionpricingAmericanoptionpricing70以無收益證券的美式看跌期權(quán)為例。把該期權(quán)有效期劃分成N個長度為h的小區(qū)間，令表示在時間時第j個結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價值，同時用表示結(jié)點(diǎn)處的證券價格，可得：后，假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險中性條件下：

71Example:AmericanPutOption

(SeeExample16.1,page391)S=50;X=50;r=10%;s=40%; T=5months=0.4167(year);

h=1month=0.0833(year);Theparametersimply u=1.1224;d=0.8909;

=1.0084;p=0.507672為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個月（等于0.0833年）?？梢运愠觯?3Example74X＝50二叉樹模型的程序example：PriceanAmericancalloptionusingabinomialmodel.Again,theassetpriceis$100.00,theexercisepriceis$95.00,therisk-freeinterestrateis10%,andthetimetomaturityis0.25years.Itcomputesthetreeinincrementsof0.01years,sothereare0.25/0.01=25periodsintheexample.Thevolatilityis0.50,thisisacall(flag=1),thedividendrateis0,anditpaysdividendof$5.00afterthreeperiods(anex-dividenddate).Executingthetoolboxfunction75MATLABfinancialtoolbox[AssetPrice,OptionPrice]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)[StockPrice,OptionPrice]=binprice(100,95,0.10,0.25,0.05,0.50,1,0,5.0,3);76StockPrice=Columns1through4100.0000111.2713123.8732137.9629085.9677100.0495111.32110080.999490.017500072.98250000000