成都電子科技大學數(shù)字信號處理-第6章

第六章IIRDF無限長數(shù)字濾波器§6-1引言一、DF按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，其特點為：（1）頻率變量以數(shù)字頻率表示，，為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔；（2）以數(shù)字抽樣頻率為周期；（3）頻率特性只限于范圍，這是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。00低通0高通帶通00帶阻全通二、DF的性能要求（低通為例）0通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶阻帶過渡帶平滑過渡三、DF頻響的三個參量1、幅度平方響應2、相位響應3、群延遲它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數(shù)時，就是表示每個頻率分量的延遲相同。四、DF設計內容1、按任務要求確定Filter的性能指標；2、用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；3、選擇適當?shù)倪\算結構實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)；4、用軟件還是用硬件實現(xiàn)。五、IIR數(shù)字filter的設計方法1、借助模擬filter的設計方法（1）將DF的技術指標轉換成AF的技術指標；（2）按轉換后技術指標、設計模擬低通filter的；（3）將（4）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通AF的技術指標。2、計算機輔助設計法（最優(yōu)化設計法）先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，最大誤差最小準則等，然后在此準則下，確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)?！?-2將DF的技術指標轉換為ALF的技術指標一、意義AF的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般轉換方法1、2、3、4、三、轉換舉例例如，一低通DF的指標：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標轉換成ALF的技術指標。解：按照衰減的定義和給定指標，則有假定處幅度頻響的歸一化值為1，即這樣，上面兩式變?yōu)橛捎?，所以當沒有混疊時，根據(jù)關系式模擬filter的指標為6-3ALF的設計ALF的設計就是求出filter的系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據(jù)是幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)1、幅度平方函數(shù)由于所以其中，是AF的系統(tǒng)函數(shù)，是AF的頻響，是AF的幅頻特性。2、Ha（S）Ha（-S）的零極點分布特點（1）如果S1是Ha（S）的極點，那麼-S1就是Ha（-S）的極點；同樣，如果S0是Ha（S）的零點，那麼-S0就是Ha（-S）的零點。所以Ha（S）Ha（-S）的零極點是呈象限對稱的,例如：（2）虛軸上的零點一定是二階的，這是因為ha（t）是實數(shù)時的Ha（S）的零極點以共軛對存在；（3）虛軸上沒有極點（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點）；（4）由于filter是穩(wěn)定的，所以Ha（S）的極點一定在左半平面；最小相位延時，應取左半平面的零點，如無此要求，可取任一半對稱零點為Ha（S）的零點。3、由確定的方法（1）求（2）分解得到各零極點，將左半面的極點歸于，對稱的零點任一半歸。若要求最小相位延時，左半面的零點歸（全部零極點位于單位圓內）。（3）按頻率特性確定增益常數(shù)。例6-1由確定系統(tǒng)函數(shù)。解：所以，極點為零點為均為二階的。我們選極點-6，-7，一對虛軸零點為的零極點，這樣由，可確定出，所以。因此因二、巴特沃斯低通濾波器1、幅度平方函數(shù)其中，N為整數(shù)，是filter的階數(shù)；為截止頻率。當時，則即（1）通帶內有最大平坦的幅度特性；（2）不管N為多少，都通過點。2、幅頻特性1.00N=2N=4N=83、巴特沃斯filter的系統(tǒng)函數(shù)由于所以其零點全部在處；即所謂全極點型，它的極點為也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為），共有2N點。例如，N=2時，N=3時，4取左半平面的極點為的極點，這樣極點僅有N個，即其中，常數(shù)由的低頻特性決定。則[例6-2]導出三階巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)，設解：所以其極點為因此有取前三個極點，則有4、歸一化的系統(tǒng)函數(shù)如果將系統(tǒng)函數(shù)的S,用濾波器的截止頻率去除，這樣對應的截止頻率變?yōu)?，即所謂歸一化，相應的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作例如，對于巴特沃斯filter如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。三、歸一化原型filter的設計數(shù)據(jù)不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的歸一化原型filter，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設計公式例如，歸一化巴特沃斯原型filter的系統(tǒng)函數(shù)（這里的S即）為當,增益為1，則有，N=1—10階的各個系數(shù)，如表5-3，P148所示。如果，則E（S）的根。即的極點如表5-5，P150所示。*由歸一化系統(tǒng)函數(shù)得，只需將S代入即可。四、設計舉例（巴特沃斯filter）1、技術指標

2、計算所需的階數(shù)及3dB截止頻率將技術指標，代入上式，可得解上述兩式得：因此，取N=6，則3、的求得查P148，表5-3，可得N=6時的歸一化原型模擬巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)為將S用代入，可得6-4沖激響應不變法AF設計完畢以后，還應將變換成H（Z），也就是將S平面映射到Z平面。通常有三種方法：（1）沖激響應不變法；（2）階躍響應不變法；（3）雙線性變換法。我們這里只討論沖激響應不變法。一、變換原理h（n）為DF的單位沖激響應序列，為AF的沖激響應，沖激響應不變法就是使h（n）正好等于的抽樣值，即如果則有上式表明，先對沿虛軸作周期延拓，再經過的映射關系映射到Z平面。二、混迭失真DF的頻響并不是簡單的重復AF的頻響，而是AF的頻響的周期延拓，即

根據(jù)取樣定理，只有當AF的頻響帶限于折疊頻率以內時，即才能使DF在折疊頻率內重現(xiàn)AF的頻響，而不產生混疊失真。但是，任何一個實際AF的頻響卻不是嚴格帶限的，就會產生混迭失真，如下圖0三、AF的數(shù)字化方法1、一般方法。先，再對抽樣，使，最后H（Z）=Z[h（n）]，一般說來過程復雜。2、方法的簡化設只有單階極點，而且分母的階次大于分子的階次，可展成如下的部分公式因此，3、幾點結論（1）S平面的單極點變?yōu)閆平面單極點就可求得H（Z）。（2）與H（Z）的系數(shù)相同，均為（3）AF是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。（4）S平面的極點與Z平面的極點一一對應，但兩平面并不一一對應。例如，零點就沒有這種對應關系。4、修正的H（Z）由于DF的頻響與T成反比，當T很小時，DF的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：[例6-3]AF的系統(tǒng)函數(shù)為，試用沖激響應不變法，設計IIRDF，T=1解：

設T=1，6-5雙線性變換法通常，信號大都為時限的，據(jù)信號理論可知，時限信號變換到頻域，將變成非帶限信號，系統(tǒng)也遵循這一原則。這樣當用沖激響應不變法設計DF時，不可避免的產生混疊失真。為了克服混疊失真，可采用雙變換法。這種方法的基本思想是，先將S平面中非帶限的所設計的系統(tǒng)函數(shù)變換到平面，并使其為帶限的，然后再轉換到Z平面。一、變換原理在S平面與Z平面的映射關系中,我們知道，S平面中一條寬為（如到）的橫帶就可以變換到整個Z平面.因此，可先將整個S平面壓縮到一個中介的平面的一條橫帶里，再通過將此橫帶變換到整個Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關系。如下圖所示：時，將由經過0變到由上圖可知，將S平面進行壓縮，實際上，就是將其軸壓縮到平面的軸上的到的范圍內。這可通過正切變換實現(xiàn)：其中C為任意常數(shù)。由上式可知，當由經過0變到通過歐拉公式，可得：上式表示兩個線性函數(shù)之比，稱作線性分式變換，若用S表示Z，可得：將上式關系延拓到整個S和平面，則有：借助于平面和Z平面的映射關系：，可以得到：可見，也是線性分式變換（函數(shù)），這樣()間的變換是雙向的，故稱作雙線性變換二、S平面與Z平面的映射關系由于可得：（1）當時，；這就是說，S平面的軸映射Z平面的單位圓上。（1）當時，上式的分母大于分子，則有；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內。兩者均是穩(wěn)定的。三、變換常數(shù)C的選擇由于，所以只有當很?。ㄒ话悖?，和之間才存在線性關系，即：1.如果使AF和DF在低頻處有較確切的對應關系，則選擇這時有，即2.如果使DF的某一穩(wěn)定頻率（如）與AF的一特定頻嚴格相對應，則有率即四、雙線性變換的特點1。S平面的虛軸（）映射到Z平面的單位圓上。這是因為時，不管常數(shù)C為何值，均為12。穩(wěn)定的AF，經雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是因為穩(wěn)定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經雙線性變換后，這些極點全部落在單位圓內。3。其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。說明如下：將代入雙線性變換公式，且則即亦即從時，則從；這就是說，S平面的正虛軸被映射到Z平面的單位圓的上半部從時，則從；這