成都電子科技大學(xué)數(shù)字信號(hào)處理-第6章

第六章IIRDF無限長數(shù)字濾波器§6-1引言一、DF按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，其特點(diǎn)為：（1）頻率變量以數(shù)字頻率表示，，為模擬角頻率，T為抽樣時(shí)間間隔；（2）以數(shù)字抽樣頻率為周期；（3）頻率特性只限于范圍，這是因?yàn)橐廊佣ɡ?，?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。00低通0高通帶通00帶阻全通二、DF的性能要求（低通為例）0通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶阻帶過渡帶平滑過渡三、DF頻響的三個(gè)參量1、幅度平方響應(yīng)2、相位響應(yīng)3、群延遲它是表示每個(gè)頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，就是表示每個(gè)頻率分量的延遲相同。四、DF設(shè)計(jì)內(nèi)容1、按任務(wù)要求確定Filter的性能指標(biāo)；2、用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；3、選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)；4、用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。五、IIR數(shù)字filter的設(shè)計(jì)方法1、借助模擬filter的設(shè)計(jì)方法（1）將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)；（2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通filter的；（3）將（4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通AF的技術(shù)指標(biāo)。2、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法）先確定一個(gè)最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下，確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)?！?-2將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為ALF的技術(shù)指標(biāo)一、意義AF的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式；設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。二、一般轉(zhuǎn)換方法1、2、3、4、三、轉(zhuǎn)換舉例例如，一低通DF的指標(biāo)：在的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在的阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成ALF的技術(shù)指標(biāo)。解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有假定處幅度頻響的歸一化值為1，即這樣，上面兩式變?yōu)橛捎冢援?dāng)沒有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式模擬filter的指標(biāo)為6-3ALF的設(shè)計(jì)ALF的設(shè)計(jì)就是求出filter的系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)，使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（filter的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據(jù)是幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)1、幅度平方函數(shù)由于所以其中，是AF的系統(tǒng)函數(shù)，是AF的頻響，是AF的幅頻特性。2、Ha（S）Ha（-S）的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)（1）如果S1是Ha（S）的極點(diǎn)，那麼-S1就是Ha（-S）的極點(diǎn)；同樣，如果S0是Ha（S）的零點(diǎn)，那麼-S0就是Ha（-S）的零點(diǎn)。所以Ha（S）Ha（-S）的零極點(diǎn)是呈象限對(duì)稱的,例如：（2）虛軸上的零點(diǎn)一定是二階的，這是因?yàn)閔a（t）是實(shí)數(shù)時(shí)的Ha（S）的零極點(diǎn)以共軛對(duì)存在；（3）虛軸上沒有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點(diǎn)）；（4）由于filter是穩(wěn)定的，所以Ha（S）的極點(diǎn)一定在左半平面；最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)，如無此要求，可取任一半對(duì)稱零點(diǎn)為Ha（S）的零點(diǎn)。3、由確定的方法（1）求（2）分解得到各零極點(diǎn)，將左半面的極點(diǎn)歸于，對(duì)稱的零點(diǎn)任一半歸。若要求最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸（全部零極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)）。（3）按頻率特性確定增益常數(shù)。例6-1由確定系統(tǒng)函數(shù)。解：所以，極點(diǎn)為零點(diǎn)為均為二階的。我們選極點(diǎn)-6，-7，一對(duì)虛軸零點(diǎn)為的零極點(diǎn)，這樣由，可確定出，所以。因此因二、巴特沃斯低通濾波器1、幅度平方函數(shù)其中，N為整數(shù)，是filter的階數(shù)；為截止頻率。當(dāng)時(shí)，則即（1）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性；（2）不管N為多少，都通過點(diǎn)。2、幅頻特性1.00N=2N=4N=83、巴特沃斯filter的系統(tǒng)函數(shù)由于所以其零點(diǎn)全部在處；即所謂全極點(diǎn)型，它的極點(diǎn)為也就是說，這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為），共有2N點(diǎn)。例如，N=2時(shí)，N=3時(shí)，4取左半平面的極點(diǎn)為的極點(diǎn)，這樣極點(diǎn)僅有N個(gè)，即其中，常數(shù)由的低頻特性決定。則[例6-2]導(dǎo)出三階巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)解：所以其極點(diǎn)為因此有取前三個(gè)極點(diǎn)，則有4、歸一化的系統(tǒng)函數(shù)如果將系統(tǒng)函數(shù)的S,用濾波器的截止頻率去除，這樣對(duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)?，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作例如，對(duì)于巴特沃斯filter如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。三、歸一化原型filter的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的歸一化原型filter，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式例如，歸一化巴特沃斯原型filter的系統(tǒng)函數(shù)（這里的S即）為當(dāng),增益為1，則有，N=1—10階的各個(gè)系數(shù)，如表5-3，P148所示。如果，則E（S）的根。即的極點(diǎn)如表5-5，P150所示。*由歸一化系統(tǒng)函數(shù)得，只需將S代入即可。四、設(shè)計(jì)舉例（巴特沃斯filter）1、技術(shù)指標(biāo)

2、計(jì)算所需的階數(shù)及3dB截止頻率將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得解上述兩式得：因此，取N=6，則3、的求得查P148，表5-3，可得N=6時(shí)的歸一化原型模擬巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)為將S用代入，可得6-4沖激響應(yīng)不變法AF設(shè)計(jì)完畢以后，還應(yīng)將變換成H（Z），也就是將S平面映射到Z平面。通常有三種方法：（1）沖激響應(yīng)不變法；（2）階躍響應(yīng)不變法；（3）雙線性變換法。我們這里只討論沖激響應(yīng)不變法。一、變換原理h（n）為DF的單位沖激響應(yīng)序列，為AF的沖激響應(yīng)，沖激響應(yīng)不變法就是使h（n）正好等于的抽樣值，即如果則有上式表明，先對(duì)沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過的映射關(guān)系映射到Z平面。二、混迭失真DF的頻響并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)AF的頻響，而是AF的頻響的周期延拓，即

根據(jù)取樣定理，只有當(dāng)AF的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即才能使DF在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)AF的頻響，而不產(chǎn)生混疊失真。但是，任何一個(gè)實(shí)際AF的頻響卻不是嚴(yán)格帶限的，就會(huì)產(chǎn)生混迭失真，如下圖0三、AF的數(shù)字化方法1、一般方法。先，再對(duì)抽樣，使，最后H（Z）=Z[h（n）]，一般說來過程復(fù)雜。2、方法的簡(jiǎn)化設(shè)只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分子的階次，可展成如下的部分公式因此，3、幾點(diǎn)結(jié)論（1）S平面的單極點(diǎn)變?yōu)閆平面單極點(diǎn)就可求得H（Z）。（2）與H（Z）的系數(shù)相同，均為（3）AF是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。（4）S平面的極點(diǎn)與Z平面的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，但兩平面并不一一對(duì)應(yīng)。例如，零點(diǎn)就沒有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。4、修正的H（Z）由于DF的頻響與T成反比，當(dāng)T很小時(shí)，DF的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：[例6-3]AF的系統(tǒng)函數(shù)為，試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIRDF，T=1解：

設(shè)T=1，6-5雙線性變換法通常，信號(hào)大都為時(shí)限的，據(jù)信號(hào)理論可知，時(shí)限信號(hào)變換到頻域，將變成非帶限信號(hào)，系統(tǒng)也遵循這一原則。這樣當(dāng)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF時(shí)，不可避免的產(chǎn)生混疊失真。為了克服混疊失真，可采用雙變換法。這種方法的基本思想是，先將S平面中非帶限的所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)變換到平面，并使其為帶限的，然后再轉(zhuǎn)換到Z平面。一、變換原理在S平面與Z平面的映射關(guān)系中,我們知道，S平面中一條寬為（如到）的橫帶就可以變換到整個(gè)Z平面.因此，可先將整個(gè)S平面壓縮到一個(gè)中介的平面的一條橫帶里，再通過將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關(guān)系。如下圖所示：時(shí)，將由經(jīng)過0變到由上圖可知，將S平面進(jìn)行壓縮，實(shí)際上，就是將其軸壓縮到平面的軸上的到的范圍內(nèi)。這可通過正切變換實(shí)現(xiàn)：其中C為任意常數(shù)。由上式可知，當(dāng)由經(jīng)過0變到通過歐拉公式，可得：上式表示兩個(gè)線性函數(shù)之比，稱作線性分式變換，若用S表示Z，可得：將上式關(guān)系延拓到整個(gè)S和平面，則有：借助于平面和Z平面的映射關(guān)系：，可以得到：可見，也是線性分式變換（函數(shù)），這樣()間的變換是雙向的，故稱作雙線性變換二、S平面與Z平面的映射關(guān)系由于可得：（1）當(dāng)時(shí)，；這就是說，S平面的軸映射Z平面的單位圓上。（1）當(dāng)時(shí)，上式的分母大于分子，則有；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。三、變換常數(shù)C的選擇由于，所以只有當(dāng)很?。ㄒ话悖椭g才存在線性關(guān)系，即：1.如果使AF和DF在低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則選擇這時(shí)有，即2.如果使DF的某一穩(wěn)定頻率（如）與AF的一特定頻嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)，則有率即四、雙線性變換的特點(diǎn)1。S平面的虛軸（）映射到Z平面的單位圓上。這是因?yàn)闀r(shí)，不管常數(shù)C為何值，均為12。穩(wěn)定的AF，經(jīng)雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是因?yàn)榉€(wěn)定的AF，其極點(diǎn)必全部位于S的左半平面上，經(jīng)雙線性變換后，這些極點(diǎn)全部落在單位圓內(nèi)。3。其突出的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻響的混疊失真。說明如下：將代入雙線性變換公式，且則即亦即從時(shí)，則從；這就是說，S平面的正虛軸被映射到Z平面的單位圓的上半部從時(shí)，則從；這