平面向量的運算【新教材】人教A版高中數(shù)學必修同步講義Word

第六章平面向量及其應用平面向量的運算第3課時向量的數(shù)量積【課程標準】理解平面向量的數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積。通過幾何直觀，理解平面向量投影的概念及其投影向量的意義。會用向量的數(shù)量積判定兩個向量的垂直關系，以及解決夾角、模的問題【知識要點歸納】1．兩向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝(0≤≤π)叫做向量a與b的夾角．(2)特例：①當＝0時，向量a與b同向；②當＝時，向量a與b垂直，記作a⊥b；③當＝時，向量a與b反向．2．向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．注意：(1)兩向量的數(shù)量積，其結果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．(2)兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．3．投影向量如圖(1)，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量．(2)若與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(\s\up12(→),\s\do4())＝|a|e.4．向量數(shù)量積的性質設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0．(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|．特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.注意：對于性質(2)，可以用來解決有關垂直的問題，即若要證明某兩個非零向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0即可；若兩個非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．5．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足消去律；若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因為a·b，b·c是數(shù)量積，是實數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.【經(jīng)典例題】例題1.(1)已知單位向量e1，e2的夾角為，a＝2e1－e2，則a在e1上的投影是________．(2)已知向量a與b滿足|a|＝10，|b|＝3，且向量a與b的夾角為120°.求：①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．【答案】(1)32(2)①91.②206.例題2．(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.(2)已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.（3）．已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，則|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．【答案】(1)23(2)2例題3.(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則a與b的夾角為________；(2)(2019·高考全國卷Ⅰ改編)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為______．例題4.(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()A．－32 B．32C．±32 D．1(2)已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為，則實數(shù)λ＝________．【當堂檢測】一．選擇題（共4小題）1．若，，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．2．在平行四邊形中，，則A． B．6 C． D．83．若平面向量與的夾角為，，，則A． B． C．2 D．34．己知、、是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值為A． B． C． D．5二．填空題（共4小題）5．已知單位向量滿足．設，則向量的夾角的余弦值為．6．已知向量，1，，，0，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．7．已知非零向量與的夾角為，，若，則．8．已知向量，滿足，，與的夾角為，，則．三．解答題（共2小題）9．已知平面內(nèi)兩個不共線的向量，，（1）求．（2）求與的夾角．10．已知平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，．（1）求．（2）求與的夾角．

當堂檢測答案一．選擇題（共4小題）1．若，，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件及投影向量的求解方法即可得出在上的投影向量為：，然后化簡即可．【解答】解：，在上的投影向量為：．故選：．【點評】本題考查了投影和投影向量的定義及計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．2．在平行四邊形中，，則A． B．6 C． D．8【分析】利用向量的三角形法則，結合向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：在平行四邊形中，，．故選：．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的應用，是基本知識的考查．3．若平面向量與的夾角為，，，則A． B． C．2 D．3【分析】利用平面向量的數(shù)量積得到關于的方程，求解即可．【解答】解：平面向量與的夾角為，，，可得，可得，解得，（舍去）．故選：．【點評】本題考查了平面向量的模長以及數(shù)量積的運算；屬于基礎題．4．己知、、是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值為A． B． C． D．5【分析】把，當成平面直角坐標系的基向量，由，根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質，可以轉化為．【解答】解：根據(jù)題意設，，對應的點在單位圓上，，所以，表示點到點和的距離之和，過點和的直線為，原點到直線的距離為，所以與單位圓相交，所以的最小值為點和之間的距離，為，即的最小值為．故選：．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，用到了平面幾何中的阿波羅尼斯圓的結論、解析幾何中直線與圓的位置關系，綜合性很強，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）5．已知單位向量滿足．設，則向量的夾角的余弦值為．【分析】對兩邊平方即可求出，然后可求出，和的值，從而可根據(jù)向量夾角的余弦公式可得出夾角的余弦值．【解答】解：，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的運算，向量長度的求法，向量夾角的余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎題．6．已知向量，1，，，0，，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為，且．【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式求得，再兩個向量共線的性質，兩個向量的夾角公式，求得的范圍．【解答】解：向量，1，，，0，，，且、不平行．與的夾角為鈍角，設與的夾角為，與不共線且，即，且，即，且．即，且，求得，且．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量共線的性質，兩個向量的夾角公式，屬于中檔題．7．已知非零向量與的夾角為，，若，則1．【分析】根據(jù)條件及即可得出，從而可得出，然后根據(jù)解出的值即可．【解答】解：，，，，且，解得．故答案為：1．【點評】本題考查了向量數(shù)量積的計算公式和向量數(shù)量積的運算，向量垂直的充要條件，考查了計算能力，屬于基礎題．8．已知向量，滿足，，與的夾角為，，則．【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質，求得的值．【解答】解：向量，滿足，，與的夾角為，，，故答案為：．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質，屬于基礎題．三．解答題（共2小題）9．已知平面內(nèi)兩個不共線的向量，，（1）求．（2）求與的夾角．【分析】（1）根據(jù)條件對的兩邊平方即可得出關于的方程，然后根據(jù)題意知，從而解出；（2）進行數(shù)量積的運算可求出和的值，然后即可求出的值，從而可求出和的夾角．【解答】解：（1），，，，且，解得；（2），，，且，．【點評】本題考查了向量數(shù)量積的計算公式，向量數(shù)量積的運算，向量夾角的余弦公式，向量長度的求法，考查了