《從力做的功到向量的數(shù)量積》設(shè)計3

《從力做的功到向量的數(shù)量積（第2課時）》教學設(shè)計——平面向量數(shù)量積的運算律一、教學目標：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.二、教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用三、授課類型：新授課四、內(nèi)容分析：啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).

五、課時安排：1課時六、教學過程（一）復(fù)習引入：1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.3．“投影”的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為|b|；當=180時投影為|b|.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1ea=ae=|a|cos；2aba3當a與b同向時，ab=|a||b|；當a與b反向時，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|（二）講解新課：平面向量數(shù)量積的運算律1．交換律：ab=ba證：設(shè)a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．數(shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)證：若>0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若<0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面內(nèi)取一點O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２（三）講解范例：例1.已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b兩式相減：2ab=b2代入①或②得：a2=b設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，=∴||2=而=，∴||2=∴||2+||2=2=例3四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.（四）課堂練習：1.下列敘述不正確的是（）A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律·b是一個實數(shù)2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為６０°，則(a+2b)·(a-3b)等于（）B.-72C.363.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（）A.平行B.垂直C.夾角為D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝.5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，則|a+b|=______，|a-b|=.6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+λb與a－λb垂直