選修4-5課件：第1講1不等式1

第一講不等式和絕對(duì)值不等式一不等式1.不等式的基本性質(zhì)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較.設(shè)a,b∈R,則(1)a>b?______.(2)a=b?a-b=0.(3)____?a-b<0.a-b>0a<b2.不等式的基本性質(zhì)：(1)

對(duì)稱(chēng)性

a>b?____.

(2)

傳遞性a>b,b>c?____.

(3)可加性____?a+c>b+c.

(4)可乘性如果a>b,c>0,那么______;

如果a>b,c<0,那么______.

(5)乘方如果a>b>0,那an__bn(n∈N,n≥2).

(6)開(kāi)方如果a>b>0,那么__(n∈N,n≥2).

b<aa>ca>bac>bcac<bc>>1.若a<b，一定有嗎？提示：不一定.如a=-1,b=2.事實(shí)上，當(dāng)ab>0時(shí)，若a<b，則有;當(dāng)ab<0時(shí)，若a<b,則有;當(dāng)ab=0時(shí)，若a<b，則與中有一個(gè)式子無(wú)意義.2.a>b是ac2>bc2的什么條件？提示：必要而不充分條件.當(dāng)a>b時(shí)，不能推得ac2>bc2，因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí)，有ac2=bc2；若ac2>bc2，則所以即a>b.3.如果a,b∈R,并且a＞b,那么下列不等式一定成立的是____.①-a＜-b；②a-1＞b-2；③a-b＞b-a；④a2＞ab.【解析】因?yàn)閍,b∈R,并且a＞b,所以-a＜-b,故①一定成立.a＞b,-1＞-2,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，a-1＞b-2,故②一定正確.a-b＞0，則b-a＜0,所以a-b＞b-a,故③一定正確.不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，而a的符號(hào)不確定，故④不一定正確.答案：①②③1.實(shí)數(shù)大小的比較2.不等式性質(zhì)中的“?”和“?”表示的意思在不等式的基本性質(zhì)中，條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“?”與“?”，即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系,或者說(shuō)“不可逆關(guān)系”與“可逆關(guān)系”，這要求必須熟記和區(qū)別不同性質(zhì)的條件，如而反之則包含幾類(lèi)情況，即若則可能有a＞b,ab＞0,也可能有a＜0＜b.即a＞b,ab＞0與是不等價(jià)關(guān)系.3.實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)在研究不等式的性質(zhì)，解不等式和證明不等式時(shí)，經(jīng)常要用到實(shí)數(shù)的一些基本性質(zhì)，這些性質(zhì)可概括為8條公理：公理1：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).公理2：正(負(fù))數(shù)中，絕對(duì)值較大的數(shù)其數(shù)值較大(小).公理3：正(負(fù))數(shù)的相反數(shù)是負(fù)(正)數(shù).公理4：兩數(shù)之差大于零，則被減數(shù)大于減數(shù)；兩數(shù)之差等于零，則兩數(shù)相等；兩數(shù)之差小于零，則被減數(shù)小于減數(shù).公理5：兩個(gè)正(負(fù))數(shù)的和仍是正(負(fù))數(shù).公理6：同號(hào)(或異號(hào))兩數(shù)相乘或相除，其積或其商為正數(shù)(或負(fù)數(shù)).公理7：兩正數(shù)之商大于1，則被除數(shù)大于除數(shù)；兩正數(shù)之商等于1，則被除數(shù)等于除數(shù)；兩正數(shù)之商小于1，則被除數(shù)小于除數(shù).公理8：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都不小于零.類(lèi)型一作差法比較大小

【典型例題】1.當(dāng)p,q為正數(shù)且p+q=1時(shí),比較(px+qy)2與px2+qy2的大小.2.a,b∈R+,且a≠b時(shí),比較a3b2+a2b3與a5+b5的大小.【解題探究】1.(px+qy)2的展開(kāi)式是什么?2.比較多項(xiàng)式的大小常用的方法是什么?探究提示:1.(px+qy)2=p2x2+2pqxy+q2y2.2.常用作差比較法.【解析】1.(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因?yàn)閜+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因?yàn)閜,q為正數(shù),所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),不等式中等號(hào)成立.2.a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)因?yàn)閍,b∈R+,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以a5+b5-(a3b2+a2b3)>0,a5+b5>a3b2+a2b3.【拓展提升】作差比較的兩種變形技巧作差比較是判斷兩個(gè)數(shù)或式大小關(guān)系的最基本的方法，關(guān)鍵是作差后對(duì)差變形，以判定差的符號(hào)，常有兩種變形技巧：(1)利用因式分解化為若干個(gè)可直接判斷符號(hào)的式子的積的形式.(2)若式子為二次式，常用配方法、判別式法.【變式訓(xùn)練】已知x>y>0,比較與的大小.【解析】因?yàn)閤>y>0,所以x-y>0,x+y>0,x2>0,x2+1>1,所以所以故類(lèi)型二利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【典型例題】1.若則下列不等式：①a+b<ab;②|a|>|b|；③a<b中，正確的不等式有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)2.若a<b<0，分別判斷下列式子是否成立，并簡(jiǎn)述理由.(1)(2)【解題探究】1.由能否比較a,b,0的大小關(guān)系？2.比較大小的依據(jù)是什么？探究提示：1.由可知b<a<0.2.不等式的基本性質(zhì).【解析】1.選A．所以a+b<0<ab，

|a|<|b|，即①正確，②③錯(cuò)誤．2．(1)成立.由a<b<0得a<a-b<0，所以則(2)成立.因?yàn)閍<b<0,所以a+b<b<0,則所以【互動(dòng)探究】若題1中條件不變，判斷不等式是否成立？【解析】因?yàn)樗运圆坏仁讲怀闪?【拓展提升】利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)在利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假時(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件，正確恰當(dāng)?shù)厥褂貌坏仁降男再|(zhì).(2)不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，使用時(shí)，一定要注意它成立的前提條件，如在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”，當(dāng)c≠0時(shí)，有a>b?ac2>bc2;當(dāng)沒(méi)有“c≠0”這個(gè)條件時(shí)，a>b?ac2>bc2就不正確.再如時(shí)，還必須添加條件ab>0.【變式訓(xùn)練】已知三個(gè)不等式：①ab>0,②bc-ad>0,③(其中a,b,c,d均為實(shí)數(shù)).用其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【解析】選D.因?yàn)樗寓佗?③；②③?①；①③?②均成立.類(lèi)型三利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式

【典型例題】1.已知a>b>0,c<d<0,求證：2.已知a，b∈R，求證：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.【解題探究】1.對(duì)于正數(shù)，有同向不等式可乘，但能不能可除？2.證明不等式的實(shí)質(zhì)是什么？探究提示：1.對(duì)于正數(shù)，同向不等式可乘，但不可除.不等式的“除法”可以通過(guò)“乘倒數(shù)”轉(zhuǎn)化為“乘法”.2.實(shí)質(zhì)是比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.【證明】1.因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0.所以所以所以即兩邊同乘以-1，得2.因?yàn)?a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)所以a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

【拓展提升】利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件.若不能直接由不等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu).利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件.【變式訓(xùn)練】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求證：2.已知c>a>b>0,求證：【解題指南】先分析各不等式的特點(diǎn)，分析待證式與已知條件的關(guān)系，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)證明.【證明】1.因?yàn)閍＞b＞0,所以因?yàn)閏＞d＞0,所以所以所以所以即又a,c,b,d均大于0，所以所以2.因?yàn)閍>b,所以-a<-b,又c>a>b>0,所以0<c-a<c-b,所以又因?yàn)閍>b>0,所以【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)不等式的性質(zhì)理解不透而致錯(cuò)【典例】已知?jiǎng)t2α-β的取值范圍是_______.【解析】

設(shè)2α-β=A(α+β)+B(α-β),則2α-β=(A+B)α+(A-B)β,①比較兩邊系數(shù)得?所以因?yàn)樗怨蚀鸢福骸菊`區(qū)警示】【防范措施】1.待定系數(shù)法的應(yīng)用已知兩個(gè)代數(shù)式的范圍，求另一個(gè)代數(shù)式的取值范圍時(shí)，應(yīng)用待定系數(shù)法，體現(xiàn)整體思想的應(yīng)用，再利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中將2α-β表示為α+β和α-β的形式求解.2.注意同向不等式相加時(shí)的應(yīng)用同一問(wèn)題中，應(yīng)用同向不等式相加性質(zhì)時(shí)，不能多次使用，否則易導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，如本例可用待定系數(shù)法避免多次使用.【類(lèi)題試解】已知a-b∈［1,2］,a+b∈［2,4］,則4a-2b的取值范圍是______.【解析】因?yàn)閍-b∈［1,2］,a+b∈［2,4］,所以4a-2b=(a+b)+3(a-b)∈［5,10］.答案：［5，10］

1.若則()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】選A.由于a>1，0<b<1，c<0,所以a>b>c.2.已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是()①a<b<0?a2<b2；②③ac2>bc2?a>b；④A.0B.1C.2D.3【解析】選C.①不正確.因?yàn)閍<b<0，所以-a>-b>0,所以(-a)2>(-b)2,即a2>b2.②不正確.因?yàn)槿鬮<0，則a>bc.③正確.因?yàn)閍c2>bc2，所以c≠0,a>b.④正確.因?yàn)閍<b<0,所以-a>-b>0，所以3.已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c＞d，則“a＞b”是“a－c＞b－d”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】選B.由而當(dāng)a＝c＝2，b＝d＝1時(shí)，滿(mǎn)足但a－c＞b－d不成立，所以“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要而不充分條件.4.已知0<a<b<1,則x,y,z的大小關(guān)系為