函數(shù)方程與零點精

函數(shù)的零點.【高考考情解讀】?？疾椋?.結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，求函數(shù)的零點.2.結(jié)合根的存在性定理或函數(shù)圖像，對函數(shù)是否存在零點或存在零點的個數(shù)進(jìn)行判斷.3.判定函數(shù)零點(方程的根)所在的區(qū)間.4.利用零點(方程實根)的存在求相關(guān)參數(shù)的值或取值范圍.高考題突出數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)方程思想的考查，以客觀題的形式為主.瞄準(zhǔn)高考主干知識梳理瞄準(zhǔn)高考(1)函數(shù)與方程的關(guān)系：函數(shù)f(x)有零點臺方程f(x)=0有根臺函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點矽fx)與g(x)有交點Ofx)=g(x).函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像交點的橫坐標(biāo).(2)函數(shù)f(x)的零點存在性定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)-f(b)<0,那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在cG(a,b)，使f(c)=0.注：①如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是一個單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)f(a)?f(b)<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一的零點，即存在唯一的c￡(a,b)，使f(c)=0.②如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a).f(b)>0,那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不一定沒有零點.③如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點時不一定有f(a)?f(b)<0,也可能有f(a)-f(b)>0.(3)判定函數(shù)零點的方法:①解方程法；②利用零點存在性定理判定；③數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.解析高考熱點分類突破解析高考(2013-重慶)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A. (a, b)和3,c)內(nèi) B. (一8, a)和5, b)內(nèi)C. (b, c)和(C,+8)內(nèi) D. (—8, a)和(如+8)內(nèi)(2)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)是Inx—x2+2x(x>0)2x(2)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)是第1頁共1頁

01230123答案(1)A(2)D解析 (1)由于a<b<c,所以f(a)=0+(a一 b)(a一c) + 0>0, f(b)=(b 一 c)(b一a)<0,f(c) =(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)-f(b)<0,f(b)-f(c)<0,又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi)，故選A.(2)依題意，當(dāng)x>0時，在同一個直角坐標(biāo)系中分別作出y=lnx和y=x2-2x=(x-1)2-1的圖象，可知它們有兩個交點；當(dāng)xW0時，作出y=2x+1的圖象，可知它和x軸有一個交點.綜合知，函數(shù)y=f(x)有三個零點.探究提高(1)函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有①函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定；②零點個數(shù)的確定；③兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解.(2)提醒：函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)=0的根，即當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零.函數(shù)的零點也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo).(1)(2012?天津)函數(shù)f(x尸2x+x3—2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3(2)已知函數(shù)f(x)=ax+x—b的零點x0￡(n,n+1)(nGZ)，其中常數(shù)a、b滿足2a=3,3b=2,貝°n=.答案(1)B(2)—1解析(1)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再確定零點.因為f(x)=2xln2+3x2>0,所以函數(shù)f(x)=2x+x3-2在(0,1)上遞增，且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1個零點.(2fx)=ax+x-b的零點x0就是方程ax=-x+b的根. 、、「/設(shè)y1=ax，y2=-x+b， 一」才故x0就是兩函數(shù)交點的橫坐標(biāo)，如圖， "J'」當(dāng)x=-1時，y1=a=log32Vy2=1+b=1+log32，；.-1<x0<0，；.n=-1.(2013?青島模擬)函數(shù)f(x)=log2x—；的零點所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)［解答］由f(1)=—1<0,f(2)=1>0可得f(x)在(1,2)內(nèi)必有零點.第2頁共2頁[答案]B11-I%—11,%￡(—8,2),2.若函數(shù)f(%)=11 , 則函數(shù)F(%)=%f(%)—1的零點的個數(shù)為()[f%—2),%￡[2,+8), ，A.4 B.5 C.6 D.7[解答]據(jù)題意，函數(shù)F(%)=%f(%)-1的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)尸f(%)與函數(shù)尸1圖像交%由圖可知共有6個交點，故函數(shù)F(%)=%f(%)-1的零點個數(shù)為6.[答案]CUI,%三y,(2013.武漢模擬)定義運算M：%町=1 設(shè)函數(shù)f(%)=(%2—3)?(%—1),若函數(shù)y%, %<y.=f(%)—c恰有兩個零點，則實數(shù)c的取值范圍是()A.[—3,—2) B.[—3,—2]U[3,+8) c.[—2,2] D.(—3,—2)U[2,+8)1%—11,%W—1或%三2,[解答]由%2—3三%—1解得%W—1或%三2,所以f(%)=1 函數(shù)y%2—3,—1<%<2.=f(%)—c恰有兩個零點，即函數(shù)y=f(%),y=c的圖像恰有兩個交點，作出函數(shù)y=f(%),y=c的圖像如圖，由圖可知一3<c<—2或c三2時，兩個圖像有兩個不同的交點，故實數(shù)c的取值范圍是(一3,—2)U[2,+8).[答案]D一“ 23.函數(shù)f(%)=2%---a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()%A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析：??.函數(shù)f(x)有一個零點在(1,2)內(nèi)，」.八1>f(2)<0,即-a(3-a)<0,「.0<a<3.答案：C'k%+1,%W0,4.若函數(shù)f(%)=1 則當(dāng)k>0時，函數(shù)y=ff%)]+1的零點個數(shù)為()、ln%, %>0,A.1 B.2 C.3 D.4解析：結(jié)合圖像分析，當(dāng)k>0時，j\f(%)]=-1,則f(%)=t]￡(-8,-k)或f(%)=12￡(0,1).對于f(x)=11,存在兩個零點x1,與對于f(x)=12，存在兩個零點13,%4，共存在4個零—x2+1x,x<0,(2013?濰坊模擬)函數(shù)fx)=1 2 若函數(shù)y=f(x)-kx有三個零點，則k的取值、ln(x+1),x三0.范圍為.［考題揭秘］本題考查二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及函數(shù)的零點問題，意在考查考生的推理論證能力、運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力以及數(shù)形結(jié)合思想的運用能力.［審題過程］第一步：審條件.題目已知函數(shù)f(x)的解析式以及函數(shù)y=f(x)-kx有三個零點.第二步：審結(jié)論.求實數(shù)k的取值范圍.第三步：建聯(lián)系.問題等價于函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=kx有三個不同的交點［規(guī)范解答］顯然x=0是函數(shù)y=f(x)-kx的一個零點.因此只要函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=kx的圖像在xW0時有兩個不同的交點即可.又函數(shù)f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖像，只需尋找函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=kx有兩個交點的條件即可? ①畫出函數(shù)y=f(x)及y=kx的圖像，如圖所示.當(dāng)直線y=kx與曲線y=ln(x+1)相切時，y'=x+1在x=0時恰好等于1，即k=1，所以直線y=x與曲線y=ln(x+1)恰好相切于坐標(biāo)原點.結(jié)合圖像，可知只有當(dāng)0<k<1時，y=kx與y=ln(x+1)的圖像在(0，+8)上只有一個交點.同理，直線y=2x與曲線y=-x2第4頁共4頁

+1%在坐標(biāo)原點相切，結(jié)合函數(shù)的圖像，可知只有當(dāng)k>2時，函數(shù)y=k%與函數(shù)y=-%2+21-2故③%的圖像在(-8,1-2故③要使y=f(%)-kx有三個零點，則k的值為上述兩個k值的交集,<k<1. ④[答案]@，1)1.設(shè)方程3%=llg(-%)1的兩個根為%1,x2(x1cx2),則()A.%1%2<0 B.%1%2=0 C.%1%2>1 D.0<%1%2<2解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=3%和y=llg(-％)1的圖像，可知-2<%]<-1,-2.當(dāng)%￡(3,4)時，不等式loga(%-2)+(%-3)2<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[2A.[2,+^)B.(1,2]D.TOC\o"1-5"\h\z解析：由log (% -2)+ (%-3)2<0知(％-3)2< -log (% -2)= 10g (%—2),要使函數(shù) y=a a 1log(%—2)(%￡(3,4))的圖像在函數(shù)y=(%-3)2(%￡(3,4))的圖像的上方,則1>1,1 a數(shù)形結(jié)合可知log(4—2)三(4-3)2,即10g2三log1,故1W2,a三],故1Wa<1.1 1 1aa 2 2a a a答案：C1.已知函數(shù)f(%)=(3)%—log2%，實數(shù)a,b,c滿足f(a)-f(b)-f(c)<0(0<a<b<c)，若實數(shù)%0為方程f(%)=0的一個解，那么下列不等式中，不可能成立的是()A.A.%0<b B.%0>bC.%0<c D.%0>c第5頁共5頁答案D解析函數(shù)f(x)=(3)x-log2x,在其定義域(0,+8)上是減函數(shù)，</0<a<b<c,:fa)>f(b)>f(c).夫?：fa)f(b)f(c)<0,則f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,或者f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0.若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,則x0<a，若f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,則b<x0<c，故x0>c不可能成立，故選D.2.若f(x)+2.若f(x)+1=fx+i)，當(dāng)x￡［0,1］時，f(x尸x，若在區(qū)間(一1,1］內(nèi)，g(x)=f(x)—mx—m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是([0,2)1 ,5，+8))[0,3)(0,2]答案D解析根據(jù)方程與函數(shù)關(guān)系.設(shè)x￡(-1,0),則x+1￡(0,1),**.f(x)=〃)1、-1=~~7-1,fx+1) x+1???畫出f(x)在(-1,1]上的圖象(如右圖),g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]上有兩個零點，即f(x)=m(x+1)有兩個不同根,即y=f(x)與y=m(x+1)有兩個不同交點.如右圖，當(dāng)過(-1,0)的直線處于l與x軸之間時,滿足題意，則0<m<2..賣店函數(shù)f(x)=log2x—；的零點所在的區(qū)間為()(0,2)(0,2)(2,1)(1,2)D.(2,3)f(2)=1og22-1=1-2=|>0,解析函數(shù)f(x)的定義域為(0f(2)=1og22-1=1-2=|>0,=10g22-1=-1-2=-3<0,f(1)=10g21-1=0-1<0,21 12 L,f(3)=10g23-3>1-3=鏟0，即f(1)-f(2)<0,?,.函數(shù)f(x)=1og2x-嚏的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).第6頁共6頁答案C(2011?新課標(biāo)全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=ex+4x—3的零點所在區(qū)間為().解析,2-1>0解析,2-1>0,2 1=e2+4X2-3=e乙又?:f(x)為R上的增函數(shù),且f(：)?f(；)<0，故選C.7.函數(shù)f(x)=x2—2x的零點個數(shù)為解析由于f(-1)=1-2T=1>0,又f(0)=0-1<0,則在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有1個零點；又f(2)=22-22=0,f(4)=42-24=0,故有3個零點.答案3(2012?湖北高考)函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2n]上的零點的個數(shù)為 ().A.2B.3 C.4D.5兀一解析令f(x)=xcos2x=0,「.x=0或cos2x=0,即x=0或2x=kn+2,k￡Z.乙x￡[0,2n]x￡[0,2n],5 74m4m故選D.(2013?天津調(diào)研)函數(shù)f(x)=2x+x3—2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是().A.0B.1C.2D.3［思路點撥］先根據(jù)零點存在性定理證明有零點，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù).解析因為f(x)=2xln2+3x2>0,所以函數(shù)f(x)=2x+x3—2在(0,1)上遞增.又f(0)=1+0—2=—1<0,f(1)=2+1—2=1>0,所以有1個零點.(1)x-2(2013?湛江模擬)設(shè)函數(shù)y=x3與y=12J 圖象的交點為(x0,y0),則x0所在的區(qū)間是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)［思路點撥］畫出兩個函數(shù)的圖象尋找零點所在的區(qū)間.(1\x-2解析設(shè)f(x)=x3-2 ,x0是函數(shù)f(x)的零點.在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=x3與y=(1)x-2- 的圖象，如圖所示.I2)第7頁共7頁

A2)=8-:?％￡(L2).=7>0,"1)/(2)<0,又A2)=8-:?％￡(L2).2x—1,第>0,已知函數(shù)段)=_若函數(shù)g(x)=?-m有3個零點，則實數(shù)m的取值范已知函數(shù)段)=圍是2%一1x>0' ’的圖象，如右圖所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)0<mvl時,-x2-2x,x<0解析在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)八%)=,即函數(shù)g(%)=_/(%)-機有3個零點..若函數(shù)/OOnN—q%一》圍是2%一1x>0' ’的圖象，如右圖所示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)0<mvl時,-x2-2x,x<0解析在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)八%)=,即函數(shù)g(%)=_/(%)-機有3個零點..若函數(shù)/OOnN—q%一》的兩個零點是2和3,則函數(shù)g(%)=Z?%2—q%—1的零點是解析由C22-2?-Z?=0,得,32-3?-Z?=0a=5 11..，?g(%)=-6%2-5%-1的零點為-5，-Z.b=~6 乙3kF 1 1合案一5，一3.設(shè)定義域為R的函數(shù)八%)=<llgx\,x>0,一 則關(guān)于％的函數(shù)丁=雜(%)—寸(%)+1的零~x2—2x,xW0,點的個數(shù)為答案7解析由y=奪(%)-3危)+1