概率論復(fù)習(xí)二2

概率的性質(zhì)(p15)注意事項(xiàng)但反過(guò)來(lái)，如果P（A）=0，未必有A=Φ概率的有限可加性注：一般減法公式P(B－A)=P(B)－P(AB)。同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.條件概率

乘法公式

全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。綜合運(yùn)用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0樣本空間的劃分（互斥完備事件組）全概率公式p20全概率公式例1:某商店從三個(gè)廠(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了一批燈泡,甲廠(chǎng)占25%,乙廠(chǎng)占35%,丙廠(chǎng)占40%,各廠(chǎng)的次品率分別為5%,4%,2%,求消費(fèi)者買(mǎi)到一只次品燈泡的概率解以B表示“消費(fèi)者買(mǎi)到一只次燈泡”,A1,A2,A3分別表示買(mǎi)到的燈泡是甲、乙、丙廠(chǎng)生產(chǎn)的燈泡，根據(jù)題意得：P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=2%根據(jù)全概率公式有：稱(chēng)此為貝葉斯公式.

貝葉斯公式貝葉斯資料逆概公式——執(zhí)果索因例：用血清蛋白法診斷肝癌，設(shè)C表示“被檢驗(yàn)者患有肝癌”A表示“被檢驗(yàn)者被判斷患有肝癌”。由臨床觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于肝癌者，此法準(zhǔn)確率高達(dá)95%，即P(A|C)=0.95；對(duì)于非肝癌患者，此法準(zhǔn)確率也高達(dá)90%，即已知肝癌患病率為萬(wàn)分之四，即P(C)=0.0004,現(xiàn)有一人被此檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率P(C|A)解：由貝葉斯公式1.條件概率全概率公式貝葉斯公式乘法定理

事件A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒(méi)有影響可視為事件A與B相互獨(dú)立.定義:則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立設(shè)A,B為兩事件,若2.兩個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)1.

A,B獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立.性質(zhì)2.

A、B兩個(gè)事件獨(dú)立，則第二章隨機(jī)變量及其分布定義：設(shè)X為一隨機(jī)變量,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，(X≤x)是一個(gè)隨機(jī)事件，稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞）；值域?yàn)椋郏?，１］。分布函?shù)的定義例:

設(shè)隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值0和1，且P(X=1)=p，P(X=0)=q,

(

p

+

q

=1,0<p<1),試求X的分布函數(shù).解分布函數(shù)的求法綜上所述,X的分布函數(shù)為o1x1-p1例解綜上所述,X的分布函數(shù)為1.定義則稱(chēng)X

為離散型隨機(jī)變量.XP或若隨機(jī)變量X的可能取值為：離散隨機(jī)變量的分布列若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè),

稱(chēng)上述公式或表格為r.v.X

的概率分布或分布列.或2.分布列的性質(zhì)反之，若一個(gè)數(shù)列滿(mǎn)足（1）（2），它也可以作為某一個(gè)r.v.的分布列。離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布均勻分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布一、連續(xù)型r.v.的概率密度定義及性質(zhì)1.定義

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)p(x),

使得則稱(chēng)X是連續(xù)型r.v.，稱(chēng)p(x)為r.v.

X的概率密度（密度函數(shù)）(p.d.f.).

(2)規(guī)范性2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)性

p(x)0，(-<x<)；注1:

對(duì)滿(mǎn)足上述兩條性質(zhì)的任意函數(shù)必是某一隨機(jī)變量的密度函數(shù).注2:利用密度函數(shù)可以求事件的概率(1)求A,(2)X的分布函數(shù)F(x),(3)例1：已知隨機(jī)變量X的概率密度為解:(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)有（2）（3）二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布則稱(chēng)X在[a,b]內(nèi)服從均勻分布。記作X~U[a,b].

1.均勻分布

U(a,b)若r.v.X的p.d.f.為2.指數(shù)分布

則稱(chēng)X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布,記作X~E().若r.v.X的p.d.f.為定義例：某種晶體管壽命服從參數(shù)為1/1000的指數(shù)分布(單位：小時(shí))。某電子儀器裝配有此晶體管5個(gè)，并且每個(gè)晶體管損壞與否相互獨(dú)立。求此電子儀器在1000小時(shí)內(nèi)恰好有兩個(gè)晶體管損壞的概率。解：設(shè)Xi表示第i只晶體管的壽命,（i=1,2,3,4,5）則Xi的密度函數(shù)為則以Y表示5只晶體管中壽命不小于1000小時(shí)的只數(shù)，則

正態(tài)分布(或高斯分布)注意:特別當(dāng)

可以得到一種重要的正態(tài)分布－－標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)分布函數(shù)例設(shè)X～N(108,9),計(jì)算解：（2）求常數(shù)a,使（3）求常數(shù)a,使查表得：例設(shè)X～N(108,9),計(jì)算解：（2）求常數(shù)a,使（3）求常數(shù)a,使即查表得：隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求Y=2X2+1的分布列．解例由題設(shè)可得如下表格X－1012pk

0.20.30.40.1x-1012Y=2x2+13139P0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布列為Y

139pk

0.30.60.1設(shè)X為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為p(x)。y=g(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度函數(shù)(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)根據(jù)分布函數(shù)的定義(2)對(duì)FY(y)求導(dǎo)，得到pY(y)

連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一般方法此法也叫“分布函數(shù)法”.例.設(shè)R.v.X的密度函數(shù)為求的密度函數(shù)。解：例

已知

X~N(0,1),解：

(1)先求Ｙ分布函數(shù)當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)y≥0時(shí)，[yy[][(2)故第三章隨機(jī)向量及其分布定義

設(shè)二維r.v.(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在非負(fù)可積函數(shù)p(x,y),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有：

則稱(chēng)p(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度函數(shù)簡(jiǎn)記

p.d.f.1.二維連續(xù)r.v.聯(lián)合概率密度的定義及性質(zhì)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量除p.d.f.的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)2.性質(zhì)(3)(4)注:利用(X,Y)的概率密度函數(shù),可以求事件的概率若G是平面上的區(qū)域，則例:設(shè)r.v.(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)求（1）常數(shù)c,（2）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)

（3）P(YX).解：（1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)1.定義:我們把分量X及Y的密度函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù).分別記為2.求法:例

設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解：X的邊緣密度為Y的邊緣密度為第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征和特征函數(shù)1.r.v.取值的平均值——數(shù)學(xué)期望2.r.v.取值離開(kāi)平均值的偏離程度—方差3.描述兩個(gè)r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容:數(shù)學(xué)期望，記作

E(X),即設(shè)連續(xù)型r.v.X

的p.d.f.

為若廣義積分為X的數(shù)學(xué)期望記作E(X),

注：連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望E（X）同樣描述了X取值的平均值，它是一個(gè)數(shù)不再是r.v.（1）定義連續(xù)型r.v.的數(shù)學(xué)期望否則,稱(chēng)E(X)不存在.絕對(duì)收斂,則稱(chēng)此積分即分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布常見(jiàn)r.v.的數(shù)學(xué)期望小結(jié)：1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)

X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（以下設(shè)ＥＸ，ＥＹ存在）3.設(shè)

X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有4.設(shè)

X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有定義：若存在,則稱(chēng)其為隨機(jī)稱(chēng)DX為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的定義

即變量X的方差,

記為DX或

Var(X)注1：方差非負(fù)，即DX0,把注2：DX描述r.v.X的取值偏離平均值的偏離

程度.分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有(3)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則定理

設(shè)r.v.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=，方差為DX=2，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)>0,有切比雪夫(chebyshev)不等式注：chebyshev不等式的等價(jià)形式稱(chēng)為X,Y的協(xié)方差.記為

COV(X,Y)

(１)利用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).3.計(jì)算

定義

若

(X,Y)為二維離散型，