第二章無限期限與世代交疊模型

第二章:無限期限與時代交疊模型◆拉姆塞-卡斯-庫普曼模型◆Diamond（代蒙德）模型拉姆塞-卡斯-庫普曼模型2.1假設(shè)2.2家庭與廠商的行為2.3經(jīng)濟(jì)的動態(tài)學(xué)分析2.4福利2.5平衡增長路徑2.6貼現(xiàn)率下降的效應(yīng)2.7政府購買的效果Diamond模型2.8假定2.9家計行為2.10經(jīng)濟(jì)動態(tài)2.11動態(tài)無效的可能性2.12Diamond模型中的政府家庭存在大量且同質(zhì)的家庭，家庭的規(guī)模以n的速度增長，家庭的每一個成員在每個時點上供給一單位的勞動。家庭擁有初始資本量為K(0)/H初始資本量。不存在折舊，家庭將其收入在消費和儲蓄間進(jìn)行分配。以便其最大化其終身效用。家庭的效用函數(shù)為：瞬時效用函數(shù)采取如下形式：這個函數(shù)是著名的相對風(fēng)險厭惡不變函數(shù)。（2.1）（2.2）2.1假設(shè)拉卡庫模型的假設(shè)廠商：

◆廠商的數(shù)量眾多，生產(chǎn)函數(shù)為Y=F(K,AL),其特征與第一章的假設(shè)相同。

◆

廠商所處的要素市場和產(chǎn)品市場是競爭性的。

◆廠商將A當(dāng)做是固定的，A以g的速率外生的增長。

的作用決定在不同期間的意愿，其越小，隨著消費的上升，邊際效用的下降越慢，家庭越容許其消費隨時間而變動。如果接近于零，例如效用關(guān)于C幾乎是線性的，并因此家庭更愿意接受其消費的更大的變動，以便充分利用其貼現(xiàn)率與從儲蓄中獲得的報酬率中的微小差額。特別地，在任何時間點上消費替代性等于。瞬時效用函數(shù)的三個特征

◆如果<1，關(guān)于C是遞增的；>1，則是遞減的。給除以可以確保無論取什么值，消費的邊際效用是正的。◆在的特殊情形中，瞬時效用函數(shù)可以簡化為lnc?！舸_保終身效用不會發(fā)散，否則，家庭可以獲得無限的終身效用，并且其最大化問題不會有良好的定義。2.2家庭與廠商的行為廠商：由于產(chǎn)品市場和要素市場都是競爭性的，因而廠商的利潤為零真實利率是真實工資是每單位有效勞動的工資是（2.3）（2.4）（2.5）家庭的預(yù)算約束家庭的預(yù)算約束是其終身消費的貼現(xiàn)值不能超過其初始值的財富與其終身勞動收入的先值之和我們可以寫出從t=0倒t=的積分形式的一種極限。則（2.7）等價于：（2.7）（2.8）（2.10）表明，在極限時形式中家庭所持有資產(chǎn)的現(xiàn)值不能是負(fù)的。這就是著名的非蓬齊條件。在s時刻，家庭和資本持有量為：（2.10）家庭最大化問題代表性家庭想在其預(yù)算約束限定下最大化其終身效用。為做到這一點，我們需要用每單位有效勞動的消費與勞動去表示目標(biāo)函數(shù)與預(yù)算約束將c(t)設(shè)為每單位有效勞動的消費。因此每工人的消費C(t),等于A(t)c(t).家庭的瞬時效用函數(shù)等于：（2.11）把（2.11）以及事實帶入目標(biāo)函數(shù)（2.1）-（2.2）中，得到：（2.12）現(xiàn)在考慮預(yù)算約束(2.6)。在t時刻，家庭的總消費等于每單位有效勞動的消費乘以家庭的有效勞動量。同理，在t時刻家庭的總勞動收入等于每單位有效勞動的工資乘以家庭的有效勞動量。因此可以把（2.6）改寫成：（2.13）

A(t)L(t)等于。把這個事實帶入(2.13)，并給兩邊除以A(0)L(0)/H。從而得到：（2.14）最后，由于與成比例。我們可以把預(yù)算約束（2.10）的非蓬齊條件表達(dá)式改寫為：（2.15）家庭行為家庭的問題便是在預(yù)算約束（2.14）的限制下，選擇c(t)的路徑去最大化終身效用(2.12)。利用目標(biāo)函數(shù)(2.12)與預(yù)算約束（2.14）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：對于每一個單個的C(t)，一階條件是（2.16）（2.17）為明白（2.17）對消費行為的含義，首先給上式兩邊取對數(shù)（2.18）兩邊求導(dǎo)可得：由于一個變量的對數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)等于其增長率，則有（2.20）由于C(t)等于c(t)A(t)，C的增長率等于c的增長率加上A的增長率。（2.20）隱含著每個工人的消費以的速率增長。因此闡明：如果實際報酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費的速率，每個工人的消費將上升。越小，則實際效用隨著消費的變化就越少，從而，消費對貼現(xiàn)率與實際利率之間的差異做出反應(yīng)，就越大。直覺上歐拉方程描述了在給定c(0)時，c必須如何隨時間變化：如果c不按(2.20)演化。那么家庭會在不改變終身消費的現(xiàn)值的條件下，用提高終身生效用的方式重新安排其消費。c(0)的選擇因此按如下決定，即在所形成的路徑上終身消費的現(xiàn)值等于其初始財富與未來收入的現(xiàn)值之和。當(dāng)c(0）太低時，其消費支出不會用盡其財富。當(dāng)c(0)太高時，消費支出大于其可用盡的終身財富。因此這種路徑是不可行的。經(jīng)濟(jì)的動態(tài)學(xué)C的動態(tài)學(xué)由于則（2.20）可以改寫成：(2.23)C圖2.1c的動態(tài)學(xué)K的動態(tài)學(xué)假設(shè)不存在折舊，因此則有：對于既定的k,意味著的c的水平是由給出的。當(dāng)消費等于實際產(chǎn)出與持平投資線的差額時，等于零。C的這個值關(guān)于k是遞增的直至。接著c關(guān)于k會下降。當(dāng)c超過可獲得的水平時，k則下降；當(dāng)c小于該水平時，k上升。對于充分大的k持平投資超過總產(chǎn)出故在此條件下，對于一切c的正值，是負(fù)的。這些信息總結(jié)在圖2.2中。（2.24）圖（2.2）k的動態(tài)學(xué)kCck圖2.3c與k的動態(tài)學(xué)說明：◆圖2.3把圖2.1和2.2中的信息結(jié)合在一起?！魣D2.3是畫出的水平小于黃金律k的水平。需要注意的是：小于k的黃金律水平。因為是有定義的。而黃金律水平的k是由定義的。由于是負(fù)的。當(dāng)且僅當(dāng)這等價于因此處在曲線的頂點的左邊。C的初始值◆K的初始值是給定的，c的初始值必須被決定。圖2.3表明在給定c和k的初始值時，為滿足家庭的跨期最優(yōu)化條件。以及連接k的變化與產(chǎn)出和消費的方程。C與k如何地必須隨時間而演化；k的初始值是給定的，但是C的初始值必須被決定。◆這個問題在圖2.4中被強(qiáng)調(diào)。當(dāng)k被給定時，假定c的各種可能值，最后得到c的唯一取值。其中ABC三點的初始消費之較高。最終經(jīng)濟(jì)處于消費永久上升，而資本永久下降的路徑。而D點表明初始消費很低的，最終經(jīng)濟(jì)處在消費日益下降，而資本日益上升的路徑上。但如果經(jīng)濟(jì)正好處在臨界水平上它會最終收斂于c和k均不變的點上。值得說明的是：為排除由低于F的點開始的路徑，可以利用資本持有量的極限行為表示的預(yù)算約束DCBAFkc如果經(jīng)濟(jì)由與D點類似的點開始，最終k會超過黃金資本存量水平。過了這個時刻，實際利率因而日益上升。由于k也是發(fā)散的。因此發(fā)散。因此趨于無窮大。即等價于較之家庭的終身消費的貼現(xiàn)值，其終身收入的貼現(xiàn)值是無窮大大。最后，如果經(jīng)濟(jì)從F開始，k收斂于。因此r收斂于。最終地，正在以的速率下降.由點F開始的路徑也是唯一可行的路徑。

鞍點路徑◆對于k的任何為正的初始水平，存在一個一個惟一的c的初始水平。它與家庭的跨期最優(yōu)化，資本存量的動態(tài)學(xué)，家庭預(yù)算約束以及k不為負(fù)的要求相一致將這種初始的c作為k的一個函數(shù)的函數(shù)便是著名的鞍點路徑。2.4福利一個十分自然的問題是，這種經(jīng)濟(jì)的均衡是否代表一個可期望的值。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)第一福利定理告訴我們，如果市場是競爭的完全的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡時帕累托的。由于福利定理在我們的模型中成立，均衡必為帕累托有效的。并且由于所有家庭擁有效用，這意味著分散化均衡在對所有家庭采用相同方式的配置中會產(chǎn)生最高的可能效用。2.5平衡增長路徑經(jīng)濟(jì)行為一旦已經(jīng)收斂于點E，它便等同于處在平衡增長路徑上的索羅經(jīng)濟(jì)的行為。因此索羅模型關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長的驅(qū)動力的核心含義并不能夠依據(jù)一個不變的儲蓄率的假設(shè)決定。即使當(dāng)儲蓄是內(nèi)生的，勞動的有效性增長仍是每工人產(chǎn)出不斷增長的惟一可能的源泉。平衡增長路徑和資本的黃金律水平索羅模型和拉-卡-庫模型的平衡增長路徑之間的惟一顯著的差異是：擁有資本量大于黃金資本水平的平衡路徑時不可能的。在索羅模型中，充分高的儲蓄率引致經(jīng)濟(jì)達(dá)到一個平衡路徑，存在一些可行的選擇，它們涉及在美時刻跟高水平的消費。因此k收斂于與一個低于黃金律水平的資本量。由于是經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑時的k的最優(yōu)水平，它便是著名的修正的黃金律資本存量。2.6貼現(xiàn)率下降的影響由于是主導(dǎo)家庭對現(xiàn)期與未來消費之間偏好的參數(shù)，在這個模型中，其變化的效應(yīng)和索羅模型中儲蓄率的上升，十分相似。定性效應(yīng)的變化影響的方程，不影響的方程。當(dāng)下降時線向右邊移動。在變動的時刻，k的值，即每單位有效勞動的資本存量由經(jīng)濟(jì)的歷史給定，且不能間斷的給定。而當(dāng)變動時，c發(fā)生跳躍。貼現(xiàn)率下降的效應(yīng)類似于索羅模型中儲蓄率上升的效應(yīng)。在兩種情形中，k逐漸上升到其新的較高的水平，而c初始下降但接著上升到其開始時的水平。因此貼現(xiàn)率的永久性下降會產(chǎn)生每工人資本增長率與每工人資本增長率與每工人產(chǎn)出的暫時性增長。其唯一差異在于：下降的情形中，產(chǎn)出的儲蓄部分在調(diào)整過程中一般是不變的。調(diào)整速率與鞍點路徑的斜率在與的附近取一階泰勒近似。這便是因而，方程（2.25）與（2.26）寫成：（2.25）（2.26）（2.27）（2.28）回憶利用這個表達(dá)式計算（2.27)中導(dǎo)數(shù)，并給它們在、處取值，可得（2.29）同理利用求出（2.28）中的導(dǎo)數(shù)，這便獲得（2.30）進(jìn)而，給（2.29）和（2.30）兩邊除以則得到的增長率的表達(dá)式。（2.31）（2.32）方程（2.31）和（2.32）意味著的增長率只會依存于的比率。如果給定的值恰好使以相同的速度下降。那么意味著的比率不發(fā)生變化，其增長率也不發(fā)生變化。因此增在持續(xù)以相等的比率下降。由（2.32）的條件因此為設(shè)方程（2.31)意味著（2.33）（2.34）（2.35）設(shè)如果為正，那么正在增長，這邊是經(jīng)濟(jì)不是沿著一條直線走向（）的。相反它增在沿著一條直線偏離（）。因此如果經(jīng)濟(jì)收斂于（）。那么必定為負(fù)的。圖（2.7）表明了經(jīng)濟(jì)順利收斂于的直線。它由AA表示，這便是線性化系統(tǒng)的鞍點路徑。這個圖也表明經(jīng)濟(jì)沿哪條直線偏離該條件被標(biāo)為BB.如果c(0)與k(0)的初始值均處在這條路徑上。（2.32）表明將穩(wěn)定地以的速率增長。由于是負(fù)的。則意味著之間的關(guān)系所具有的符號將不同于的。因此，鞍點路徑AA的斜率為正，BB線的斜率為負(fù)。調(diào)整的速率為了理解（2.37）對于收斂于平衡路徑的速度的含義?？紤]我們常用的柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。則由于平衡增長路徑上的消費等于產(chǎn)出減去持平投資，沒單位有效勞動的消費等于。因此可以把的表達(dá)式改寫為（2.38）（2.39）假設(shè)政府在每單位時間以每單位有效勞動的速率購買產(chǎn)出。政府購買不會影響到由私人消費獲得的效用，也不會影響未來產(chǎn)出。那么投資是在產(chǎn)出同私人消費與政府購買之間的差額。因此k的運(yùn)動方程（2.24）變成較高的G值把軌跡向下移動;如果k保持不變，那么由政府購買的產(chǎn)品越多，由私人購買的產(chǎn)品越少。2.7政府購買的效應(yīng)（2.40）政府購買融資的稅收會影響家庭預(yù)算約束。（2.14）會變成：(2.41)政府購買的永久性與暫時性變動的效應(yīng)設(shè)G（t）在某個數(shù)量為的水平上保持不變，經(jīng)濟(jì)處在平衡增長路徑，并且存在一個未預(yù)期的永久性的G的趨向的增加。由（2.39）可知的軌跡向下移動的數(shù)量等于G的增加量。并且政府購買并不影響歐拉方程，的軌跡不受影響，這便是圖2.8所表示的情形。為應(yīng)對這種變化，c必須跳躍，使得經(jīng)濟(jì)處在其新的鞍點路徑上。其簡單的調(diào)整方式是；c下降的數(shù)量等于G增加的數(shù)量，并且經(jīng)濟(jì)總會處在新的均衡增長路徑上。直覺上，政府購買與稅收的永久性增加會減少家庭的終身財富，因此消費立即下降。而且資本存量和實際利率不受影響。更為復(fù)雜的情形由G的非預(yù)期的增加提供,在這種情形下，C的數(shù)量下降并不等于真?zhèn)€G的增加量。具體變化過程由圖2.9所示。（a）部分表明G的增加時相對持久性的情形。在此情形中，c下降的數(shù)量正好等于整個G的增加量。隨著G恢復(fù)到的時刻的臨近。在預(yù)見到下降的情況下，家庭由增加了其消費并減少了其資本持有量。由于。可以由k的行為來推斷r的行為。在政府支出較高并緩慢返回到其初始水平的期間，r逐漸上升。這由（b）部分表示。最后，（c）部分表明G的短期上升的情形，這里家庭較少地改變其消費。相反，他選擇從其儲蓄中更多地支付暫時的高稅收。由于政府購買仔較短的時間內(nèi)事較高的，其對資本存量與實際利率印象較小。E(a)圖2.9政府支出暫時性增加的效應(yīng)代蒙德模型2.8假設(shè)代蒙德模型與拉姆塞模型之間的核心差異是存在人口的新老交替，而非一個數(shù)量固定的永久生存的家庭。這里，新的個體繼續(xù)出生，并且老的個人不斷消亡。當(dāng)存在新老代謝時，假設(shè)每個人只活兩個時期，代表出生于t時期的個人。由于人口以n的速率增長，因此。由于個人只存活兩個時期，因此，在t時期，存在個正處在他們第一個時期的個人，并且個增處在其生命的第二個時期的個人。每個個人在其年輕的時候供給1單位的勞動，并且經(jīng)其多獲得的勞動在第一期的消費與儲蓄之間進(jìn)行分配。在第二個時期，個人只簡單地消費其獲得的儲蓄與利息。2.9家計行為設(shè)代表年輕與年老的個人在t時期的消費。因此，在t時期出生的一個人的效用依存與。因此，我們再次假設(shè)不變相對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)為：（2.42）2.9家庭行為在t時刻出生的一個個人的第二期消費時進(jìn)而可得（2.43）（2.44）在預(yù)算約束（2.45的限制下。個人最大化效用?？紤]求解最大化效用的兩種方式。一種是沿用推導(dǎo)拉姆塞模型中的歐拉方程的直覺性方式。假設(shè)個人將消費減少了較小的數(shù)量接著利用新增的儲蓄與資本收入把提高了。這種改變并不影響個人鐘聲消費的現(xiàn)值。因此，如果個人正在進(jìn)行最優(yōu)化，效用成本與變動的收益必定是相等的。如果成本小于收益，個人將會通過作出改變增加終生效用。如果成本大于收益，個人通過做出相反的改變而增加效用。與對終生效用的邊際貢獻(xiàn)分別是因此，我們設(shè)趨于零。變動的邊際成本趨于。并且效用收益接近。當(dāng)個人正在進(jìn)行最優(yōu)化時，他們是相等的。因此最優(yōu)化要求:進(jìn)而有（2.45）（2.46）或者（2.47）表達(dá)式(2.47）類似于拉姆塞模型中的歐拉方程。它意味著個人消費是否隨著時間正在遞增或者遞降。這依存于是否實際報酬大于或小于貼現(xiàn)率。再次決定個人消費如何變化以便對之間的差異做出反應(yīng)。第二種方式是構(gòu)造拉格朗日函數(shù)去求解個人的最大化問題，（2.49）（2.50）（2.51）我們可以利用歐拉方程與預(yù)算約束寫出用勞動收入與實際利率表達(dá)式的。特別地，給（2.48）兩邊乘以，并帶入預(yù)算方程，從而得出（2.52）（2.53）這意味著：（2.53）方程（2.53）意味著利率決定第一個時期的單個消費者的收入份額。設(shè)s(r)表示收入被儲蓄的部分，那么（2.53）意味著（2.55）方程（2.55）意味著，年輕人的儲蓄關(guān)于r是遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于r是遞增的。直覺上，r的上升具有收入和替代雙重效應(yīng)。兩個時期的消費之間的替代會對第二時期的消費更有利，這個事實趨向于增加儲蓄（替代效應(yīng)).但既定的儲蓄將會帶來第二個時期的更大的消費，這個事實傾向于減少儲蓄(收入效應(yīng)）。因此當(dāng)個人十分樂于在兩個時期進(jìn)行消費替代以利用報酬率激勵（這是很低的時候）替代效應(yīng)占優(yōu)。當(dāng)個人對兩個時期的相似消費水平有強(qiáng)有力的偏好時(這便是當(dāng)很高時收入效應(yīng)占優(yōu)。并且在的特殊情形中，這兩個效應(yīng)平衡，并且年輕人的儲蓄與r不相關(guān)。2.10經(jīng)濟(jì)的動態(tài)學(xué)K的運(yùn)動方程t+1時期的資本存量等于t時期年輕人的儲蓄量。因此有：兩邊除以，便得到了一個關(guān)于每單位有效勞動的表達(dá)式。因此，替換從而得到（2.56）（2.57）（2.58）K的演化方程（2.58）隱含著把定義為的函數(shù)。給定k的初始值，該式因此決定k如何隨時間而演化。使得=滿足（2.58）的值是一個均衡值:一旦k達(dá)到該值，它變會留在那里。因此我們想知道是否存在k的一個或者一些均衡值，并且如果k并不是從這樣的值開始的，是否它收斂于這樣的一個值。為回答這些問題，我們采用對數(shù)效用與柯布道格拉斯生產(chǎn)的情形來說明分析。對數(shù)效用和柯布道格拉斯生產(chǎn)當(dāng)?shù)?/p>