第二章地圖的數(shù)學基礎

地圖的數(shù)學基礎一、地球橢球體

地球自然表面是一個起伏不平，十分不規(guī)則的表面。為了尋求一種規(guī)則的曲面來代替地球的自然表面，人們設想當海洋靜止時，平均海水面穿過大陸和島嶼，形成一個閉合的曲面，該面上的各點與重力方向（鉛垂線）成正交，這就是大地水準面。大地水準面包圍的球體，叫大地球體，它是對地球形體的一級逼近。第一節(jié)地球橢球體與大地控制由于受地球內(nèi)部物質(zhì)密度分布不均等多種因素的影響而產(chǎn)生重力異常，致使鉛垂線的方向發(fā)生不規(guī)則變化，故處處與鉛垂線方向垂直的大地水準面仍然是不規(guī)則的，但大地水準面從整體上看，起伏是微小的，且形狀接近一個扁率極小的橢圓繞大地球體短軸旋轉所形成的規(guī)則橢球體，這個橢球體稱為地球橢球體。其表面是一個規(guī)則數(shù)學表面，可用數(shù)學公式表達，所以在測量和制圖中用它替代地球的自然表面。地球形體的二級逼近。一、地球橢球體地球橢球體有長半徑a（赤道半徑）和短半徑b（極半徑）之分，f=(a-b)/a為橢圓的扁率。a、b、f是其三要素，決定地球橢球體的形狀和大小。因推算所用資料、年代和方法不同，許多科學家所測定地球橢球體的大小也不盡相同。我國1952年以前采用海福特橢球體，從1953年起采用克拉索夫斯基橢球體，這是原蘇聯(lián)科學家克拉索夫斯基1940年測定的。1978年，我國決定采用1975年第十六屆國際大地測量及地球物理聯(lián)合會推薦的新橢球體，稱為GRS(1975),建立了中國獨立的大地坐標系。

由于地球橢球體長短半徑差值很小，約21km，在制作小比例尺地圖時，因為縮小的程度很大，如制作1：1000萬地圖，地球橢球體縮小1000萬倍，這時長短半徑之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地圖時，可忽略地球扁率，將地球視為圓球體，地球半徑為6371km。制作大比例尺地圖時必須將地球視為橢球體。地球的形狀確定之后，還需確定大地水準面與橢球體面之間的相對位置。

確定大地水準面與橢球體面之間的相對位置的方法是在地球表面適當位置選擇一點p,假設橢球體和大地球體相切于P’,P’位于P點的鉛垂線上，過橢球體面上p’的法線與該點對于大地水準面的鉛垂線相重合，橢球體的形狀和大小與大地球體很接近，從而也就確定了橢球體與大地球體的相互關系。這種與局部地區(qū)的大地水準面符合得最好的一個地球橢球體，稱為參考橢球體。確定參考橢球體，進而獲得大地測量基準面和大地起算數(shù)據(jù)的工作，稱為參考橢球體定位。地球形體三級逼近二、大地控制

大地控制的主要任務是確定地面點在地球橢球體上的位置。包括兩個方面：一是點在地球橢球體面上的平面位置，即經(jīng)度和緯度；二是確定點到大地水準面的高度，即高程。1.地理坐標系地理坐標系：用經(jīng)緯度表示地面點位的球面坐標系。在大地測量學中有三種描述：天文經(jīng)緯度：天文經(jīng)度即本初子午面與過觀測點的子午面所夾的二面角；天文緯度即過某點的鉛垂線與赤道面間的夾角。天文經(jīng)緯度通過天文測量方法得到，可作為大地測量中定向控制及校核數(shù)據(jù)之用。大地經(jīng)緯度：大地經(jīng)度（L）指過參考橢球面上某一點的大地子午面與本初子午面之間的二面角，大地緯度（B）是指過參考橢球面上某一點的法線與赤道面的夾角。大地經(jīng)緯度是以地球橢球面和法線為依據(jù)，在大地測量中得到廣泛采用。地圖學中常采用大地經(jīng)緯度。地心經(jīng)緯度：地心經(jīng)度等同于大地經(jīng)度，地心緯度是指參考橢球面上的任意一點和橢球體中心連線與赤道面之間的夾角。地理研究和小比例尺地圖制圖對經(jīng)度要求不高時常采用此經(jīng)緯度。2.我國的大地坐標系統(tǒng)1954年北京坐標系：1954年，我國將原蘇聯(lián)采用克拉索夫斯基橢球元素建立的坐標系，聯(lián)測并經(jīng)平差計算引申到我國，以北京為全國大地坐標原點，確定了過渡性大地坐標系，稱1954北京坐標系。缺點是橢球體面與我國大地水準面不能很好地符合，誤差較大。2.我國的大地坐標系統(tǒng)1980年國家大地坐標系：1978年采用新的橢球體參數(shù)GRS(1975)，以陜西省西安市以北涇陽縣永樂鎮(zhèn)某點為國家大地坐標原點，進行定位和測量工作，通過全國天文大地網(wǎng)整體平差計算，建立了全國統(tǒng)一的大地坐標系，即1980年國家大地坐標系。優(yōu)點：橢球體參數(shù)精度高；定位采用的橢球體面與我國大地水準面符合好；天文大地坐標網(wǎng)傳算誤差和天文重力水準路線傳算誤差都不太大，而且天文大地坐標網(wǎng)坐標經(jīng)過了全國性整體平差，坐標統(tǒng)一，精度優(yōu)良，可以滿足1：5000甚至更大比例尺測圖的要求等。與當今社會發(fā)展存在的矛盾：①坐標維的矛盾。隨著衛(wèi)星定位導航技術在我國的廣泛使用，二維不能適應現(xiàn)代的三維定位技術；②精度的矛盾。衛(wèi)星定位技術可達10-7～10-8的點位相對精度，而西安80系只能保證3×10-6；③坐標系統(tǒng)（框架）的矛盾。數(shù)字地球的發(fā)展要求用戶需要提供與全球總體適配的地心坐標系統(tǒng)。3.高程系高程控制網(wǎng)的建立，必須規(guī)定一個統(tǒng)一的高程基準面。我國利用青島驗潮站1950～1956年的觀測記錄，確定黃海平均海水面為全國統(tǒng)一的高程基準面，并在青島觀象山埋設了永久性的水準原點。以黃海平均海水面建立起來的高程控制系統(tǒng)，統(tǒng)稱“1956年黃海高程系”。1987年，因多年觀測資料顯示，黃海平均海平面發(fā)生了微小的變化，由原來的72.289m變?yōu)?2.260m，國家決定啟用新的高程基準面，即“1985年國家高程基準”。高程控制點的高程也發(fā)生微小的變化，但對已成圖上的等高線的影響則可忽略不計。4．大地控制網(wǎng)大地控制網(wǎng)由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成。包括具有精確測定平面位置和高程的典型的具有控制意義的點，它是測制地圖的基礎。平面控制網(wǎng)采用平面控制測量確定控制點的平面位置，即大地經(jīng)度（L）和大地緯度（B）。其主要方法是三角測量和導線測量。4．大地控制網(wǎng)三角測量：在平面上選擇一系列控制點，建立三角網(wǎng)，經(jīng)測量由已知推算未知。為達到層層控制的目的，由國家測繪主管部門統(tǒng)一布設一、二、三、四等三角網(wǎng)。一等三角網(wǎng)是全國平面控制的骨干，由近于等邊的三角形構成，邊長在20～25km左右，基本上沿經(jīng)緯線方向布設；二等三角網(wǎng)是在一等三角網(wǎng)的基礎上擴展的，三角形平均邊長約為13km，這樣可以保證在測繪1:10萬、1:5萬比例尺地形圖時，每150km2內(nèi)有一個大地控制點，即每幅圖至少有3個控制點；以此類推，保證不同比例尺地圖的精度。三角測量示意圖4．大地控制網(wǎng)導線測量：把各個控制點連成連續(xù)折線，然后測定這些折線邊長和轉角，最后根據(jù)起算點坐標及方位角推算其它點坐標。包括：一種是閉合導線；另一是附合導線。建立大地控制網(wǎng)時，通常要隔一定距離選測若干大地點的天文經(jīng)緯度、天文方位角和起始邊長，作為定向控制及校核數(shù)據(jù)使用，故大地控制網(wǎng)又有天文大地控制網(wǎng)之稱。高程控制網(wǎng)是在全國范圍內(nèi)按照統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定了高程的地面點所組成的控制網(wǎng)，是測定其它地面點高程的基礎。表明地面點高程位置的方法有兩種：絕對高程，即地面點到大地水準面的高度。相對高程，即地面點到任意水準面的高度。建立高程控制網(wǎng)的目的是為了精確求算絕對高程，即高程。水準測量借助水準儀提供的水平視線來測定兩點之間的高差，是建立高程控制網(wǎng)的主要方法。兩點之間的高差H=a-b，設HA為已知點的高程，則待求點的高程HB=HA+H三、全球定位系統(tǒng)GPS（globalpositioningsystem）是美國國防部開發(fā)的星際全球無線電導航系統(tǒng)，它可為全球范圍的飛機、艦船、地面部隊、車輛、低軌道航天器，提供全天候、連續(xù)、實時、高精度的三維位置、三維速度以及時間數(shù)據(jù)。GPS應用于測量工程與經(jīng)典大地測量相比的優(yōu)勢：①觀測站之間無需通視；②定位精度高；③提供三維坐標；④操作簡便；⑤全天候作業(yè)。GPS的組成主要有空間星座部分、地面監(jiān)控部分和用戶設備部分組成衛(wèi)星導航系統(tǒng)工作原理1.空間星座GPS衛(wèi)星星座由24顆衛(wèi)星構成，均勻分布在6個軌道面內(nèi)，每個軌道面有4個衛(wèi)星；衛(wèi)星軌道面與地球赤道面的傾角為60o；軌道平均高度20183km，衛(wèi)星運行周期11小時58分。保證至少可以同時接收到4顆衛(wèi)星的定位數(shù)據(jù)。2.地面監(jiān)控部分監(jiān)控站主控站注入站2.地面監(jiān)控部分主控站一個，設在美國的科羅拉多的斯普林斯。主控站負責協(xié)調(diào)和管理所有地面監(jiān)控系統(tǒng)的工作，包括：根據(jù)所有地面監(jiān)測站的觀測資料推算編制各衛(wèi)星的星歷、衛(wèi)星鐘差和大氣層修正參數(shù)等，并把這些數(shù)據(jù)及導航電文傳送到注入站；提供全球定位系統(tǒng)的時間基準；調(diào)整衛(wèi)星狀態(tài)和啟用備用衛(wèi)星等。2.地面監(jiān)控部分注入站又稱地面天線站，主要任務是通過一臺直徑為3．6m的天線，將來自主控站的衛(wèi)星星歷、鐘差、導航電文和其它控制指令注入到相應衛(wèi)星的存儲系統(tǒng)，并監(jiān)測注入信息的正確性。注入站現(xiàn)有3個，分別設在印度洋的迭哥加西亞、南太平洋的卡瓦加蘭和南大西洋的阿松森群島。2.地面監(jiān)控部分夏威夷設有一個監(jiān)測站。主要任務是連續(xù)觀測和接收所有GPS衛(wèi)星發(fā)出的信號并監(jiān)測衛(wèi)星的工作狀況，將采集到的數(shù)據(jù)連同當?shù)貧庀笥^測資料和時間信息經(jīng)初步處理后傳送到主控站。地面監(jiān)控系統(tǒng)除主控站外均由計算機自動控制，勿需人工操作。各地面站間由現(xiàn)代化通訊系統(tǒng)聯(lián)系，實現(xiàn)了高度自動化和標準化。3.用戶設備部分GPS接收機GPS數(shù)據(jù)處理軟件微處理機及終端設備歐洲伽利略衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)2002年3月24日，歐盟首腦會議批準了建設伽利略衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)的實施計劃。由于在科索沃戰(zhàn)爭以及阿富汗戰(zhàn)爭期間，歐洲軍隊使用GPS技術事實上都受到了限制。因此，歐盟首腦們意識到：“如果放棄伽利略計劃，我們將在今后20-30年間失去防務上的主動權。”此外，伽利略計劃帶來的經(jīng)濟利潤也是不容忽略的。歐盟的一項研究預測表明，發(fā)展伽利略衛(wèi)星導航定位技術，僅在歐洲就可以創(chuàng)造出14萬多個就業(yè)崗位，每年創(chuàng)造的經(jīng)濟收益將會高達90億歐元，到2020年，伽利略系統(tǒng)的經(jīng)濟收益將達到740億歐元。2008年年底，建成（27+3）伽利略衛(wèi)星工作星座。我國已成為建設伽利略系統(tǒng)的合作伙伴，并于2004年1月10日，在長江上進行了EG－NOS歐洲靜地衛(wèi)星導航重疊系統(tǒng)的動態(tài)應用測試，為合作建設伽利略系統(tǒng)進行科技準備。俄羅斯的GLONASS1995年俄羅斯耗資30多億美元，完成了GLONASS導航衛(wèi)星星座的組網(wǎng)工作。它也由24顆衛(wèi)星組成，分布在3個軌道平面上，每個軌道平面有8顆衛(wèi)星，原理和方案都與GPS類似。GLONASS一開始就沒有加SA干擾，GLONASS導航定位精度較低，約為30—100米，測速精度0.15米/秒。其應用普及情況遠不及GPS，這主要是俄羅斯沒有開發(fā)民用市場；另外，GLONASS衛(wèi)星平均在軌道上的壽命較短，由于經(jīng)濟困難無力補網(wǎng)，在軌可用衛(wèi)星少，不能獨立組網(wǎng)?！氨倍芬惶枴毙l(wèi)星導航定位系統(tǒng)我國獨立自主的衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)；我國已建立完善的衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)；區(qū)域衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)2004年5月25日零時34分，“長征三號甲”運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將第三顆“北斗一號”導航定位衛(wèi)星送上太空。前兩顆分別于2000年10月31日和12月21日發(fā)射升空。這兩顆衛(wèi)星運行至今，導航定位系統(tǒng)工作穩(wěn)定，狀態(tài)良好，取得了顯著效益。這次發(fā)射的“北斗一號”是導航定位系統(tǒng)的備份星。它與前兩顆“北斗一號”工作星組成了中國完整的衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)，確保全天候、全天時提供衛(wèi)星導航信息。它標志著中國已建立了完善的第一代衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)。對中國國民經(jīng)濟建設和國防建設的進一步發(fā)展將發(fā)揮重要作用?！氨倍芬惶枴迸cGPS和GLONASS使用范圍不同：“北斗一號”是區(qū)域衛(wèi)星導航系統(tǒng)，只能用于中國及其周邊地區(qū)；而GPS和GLONASS都是全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)，在全球的任何一點，只要衛(wèi)星信號未被遮蔽或干擾，都能接收到三維坐標。衛(wèi)星數(shù)量和軌道不同：“北斗”是3顆，位于高度近3.6萬Km的地球同步軌道。GPS和GLONASS是24顆，位于2萬Km高度，分別在6個和3個軌道面上。定位原理不同：“北斗”是用戶先發(fā)射需定位的信號，通過衛(wèi)星轉發(fā)至地面控制中心，控制中心解算出位置后再通過衛(wèi)星轉發(fā)給用戶；而GPS和GLONASS只需要接收4個衛(wèi)星的位置信息，由自己解算出三維坐標?！氨倍贰北旧硎莾删S導航系統(tǒng)，僅靠2顆星的觀測量尚不能定位，觀測量的取得及定位解算均在地面中心站進行，衛(wèi)星和用戶機需具有轉發(fā)或收發(fā)信號功能，這實際上也就具有了一定的通信功能。GPS的應用主要體現(xiàn)在GPS衛(wèi)星定位和導航：靜態(tài)定位和動態(tài)定位。在飛機、輪船、車輛上廣泛應用的導航就是一種廣義上的動態(tài)定位。第二節(jié)地圖比例尺地球與地圖的大與小的矛盾一、地圖比例尺的概念當制圖區(qū)域比較小，景物縮小的比例也比較小時，這時不論采用何種投影，圖上各處長度縮小的比率都可以看成是相等的，地圖比例尺的含義可以理解為圖上長度與地面相應水平長度之比。（1/M=d/D，d為地圖上線段的長度，D為地面上相應直線距離的水平投影長度，M為比例尺分母）當制圖區(qū)域相當大，制圖時對景物的縮小比率也相當大，在這種情況下采用的地圖投影比較復雜，地圖上的長度也因地點和方向不同而有所變化。在這種情況下所注明的比例尺含義，其實質(zhì)是在進行地圖投影時，對地球半徑縮小的比率，稱為地圖主比例尺，地圖經(jīng)過投影后，地圖上只有個別的點或線沒有長度變形。其它大于或小于主比例尺的比例尺稱為局部比例尺。地圖比例尺的精確定義：地圖上沿某方向的微分線段和地面上相應微分線段水平長度之比。二、地圖比例尺的形式傳統(tǒng)地圖上的比例尺通常有以下幾種表現(xiàn)形式數(shù)字式比例尺：如“1∶10000”文字式比例尺：如“圖上1厘米等于實地1千米”圖解比例尺：直線比例尺斜分比例尺復式比例尺。二、地圖比例尺的形式直線比例尺是以直線線段形式標明圖上線段長度所對應的地面距離。二、地圖比例尺的形式斜分比例尺，是一種根據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺，利用這種斜分比例尺，可以量取比例尺基本長度單位的百分之一。它是由縱、橫兩種分劃組成的復合比例尺，縱分劃為斜線，橫分劃及其注記與直線比例尺相同。使用時，先在圖上用量角規(guī)卡出欲量線段的長度，再到復合比例尺上比量。比量時：每上升一條水平線，斜線的偏值將增加0.01基本單位；量角規(guī)的兩腳務必位于同一水平線上。二、地圖比例尺的形式復式比例尺又稱投影比例尺，是一種根據(jù)地圖主比例尺和局部比例尺組合成的一種圖解比例尺。地圖投影使得不同部位長度變形程度不同，復式比例尺既有適用于沒有變形的點或線上的直線比例尺（主比例尺），又有對每條緯線或經(jīng)線單獨設計的直線比例尺。

特殊比例尺變比例尺：當制圖的主區(qū)分散且間隔的距離比較遠時，為了突出主區(qū)和節(jié)省圖面，可將主區(qū)以外部分的距離按適當比例相應壓縮，而主區(qū)仍按原來規(guī)定的比例尺表示。無級別比例尺：是一種隨數(shù)字制圖的出現(xiàn)而與傳統(tǒng)的比例尺系統(tǒng)相對而言的一個新概念，并沒有一個具體的表現(xiàn)形式。在數(shù)字制圖中，由于計算機或數(shù)據(jù)庫里可以存貯物體的實際長度面積體積等數(shù)據(jù)，并且根據(jù)需要可以很容易按比例任意縮小或放大這些數(shù)據(jù)，因此沒有必要將地圖數(shù)據(jù)固定在某一比例尺上。三、地圖比例尺的作用比例尺決定著地圖圖形的大?。和坏貐^(qū)，比例尺越大，地圖圖形越大，反之，則小。反映地圖的量測精度：正常人的視力只能分辨出地圖上不小于0.1mm的兩點之間的距離，0.1mm是將地物按比例尺縮繪成圖形時可以達到的精度極限，稱比例尺精度或極限精度。1:1萬，水平量測精度1m，比例尺越大，地圖的量測精度越高。比例尺決定地圖內(nèi)容的詳細程度：比例尺愈大，地圖內(nèi)容愈詳細，符號尺寸亦可稍大些；反之，地圖內(nèi)容則愈簡略，符號尺寸相應減小。第三節(jié)地圖投影概述地球球面與地圖平面之間的矛盾一、地圖投影的概念1.地圖投影研究的對象：地圖投影是地圖學重要組成部分之一，是構成地圖的數(shù)學基礎，在地圖學中的地位是相當重要的。地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法，地圖投影的產(chǎn)生、發(fā)展、直到現(xiàn)在，已有一千多年的歷史，研究的領域也相當廣泛，已經(jīng)形成了一門獨立的學科。2.地圖表面和地球球面的矛盾：地圖通常是繪在平面介質(zhì)上的，而地球體表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要直接展成平面，必然發(fā)生斷裂或褶皺。將球面沿經(jīng)線切開，或是沿緯線切開，或是在極點結合，或是在赤道結合，都是有裂隙的。3.地圖投影的概念球面上任一點的位置用地理坐標（φ、λ）表示，而平面上點的位置用直角坐標（x,y）或極坐標（r，θ）表示，所以要將地球球面上的點轉移到平面上，必須采用一定的數(shù)學方法來確定地理坐標與平面坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關系的數(shù)學方法，稱為地圖投影。二、地圖投影的基本方法1.幾何投影（透視投影）：假想地球是一個透明體，光源位于球心，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。地圖投影面除平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠處等。利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫幾何投影或幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面矛盾的方法。二、地圖投影的基本方法2.數(shù)學解析法：隨著科學的發(fā)展，幾何透視法遠不能滿足編制各類地圖的需要，出現(xiàn)了解析法。解析法是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學分析法確定球面與平面點與點之間一一對應的函數(shù)關系。

X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)函數(shù)f1、f2的具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應關系，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點表示到平面上了。

球面上任意一點的位置決定于它的經(jīng)緯度，實際投影時是先將一些經(jīng)緯線的交點展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的點連成經(jīng)線，相同緯度的點連成緯線，構成經(jīng)緯線網(wǎng)。有了經(jīng)緯線網(wǎng)，就可以將球面上的地理事物，按其所在經(jīng)緯度，用一定的符號畫在平面上相應位置處。地圖投影的實質(zhì)是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學法則轉移到平面上。經(jīng)緯線網(wǎng)是繪制地圖的“基礎”，是地圖的主要數(shù)學要素。三、地圖投影的變形1.地圖投影變形的概念由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，無論采用什么投影，投影后經(jīng)緯網(wǎng)形狀與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀不完全相似。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形，而根據(jù)地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生的變形，所以變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實際應用價值。2.研究變形的方法研究各種投影的變形規(guī)律是通過把投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)與地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格比較而實現(xiàn)的。為了研究變形，首先讓我們分析一下地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點：所有經(jīng)線圈都是通過兩極的大圓；長度相等；所有緯線除赤道是大圓外，其余都是小圓，并且從赤道向兩極越來越小，極地成為一點。經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。經(jīng)線和緯線是相互垂直的。緯差相等的經(jīng)線弧長相等；同一緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長相等，不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長不等，而是從赤道向兩極縮小。同一緯度帶，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，不同緯度帶內(nèi)，網(wǎng)格面積不等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度越高，梯形面積越小。由低緯向高緯逐漸縮小。3.投影變形的相關概念（1）變形橢圓在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點位置外，一般情況下為橢圓，下面我們用數(shù)學方法驗證一下。

設o為球面上一點，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點，圓心曲線方程為：x2+y2=1A位于以經(jīng)緯線為直角坐標軸X、Y的坐標系上，X’、Y’為投影后坐標軸，A‘(x’，y’)是A(x，y)的投影，令經(jīng)線長度比為m，緯線長度比為n，則:x’/x=m，y’/y=n——〉x=x’/m，y=y’/n(x,y)為圓上一點，將其代入圓的方程，得：x’2/m

2+y’2/n

2=1這是一個橢圓方程，這就證明了橢球體面上的微小圓，投影后為橢圓。故叫做變形橢圓。

研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，說明變形性質(zhì)和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比μ，為b<μ<a;橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形;橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。dabcd’oo’a’b’c’

（2）主方向由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后一般不一定正交，例如設o是球面上一點，過o作兩條垂線ac和bd，投影后為a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc為直角，投影后分別為銳角a’o’b’和鈍角b’o’c’。

主比例尺和局部比例尺平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1:100萬地圖，將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，則1:100萬就是地圖的主比例尺。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。思考是否存在沒有長度變形的投影？四、地圖投影的分類地圖投影的種類很多，由于分類的標志不同，分類的方法也不同。按變形性質(zhì)分類等角投影等積投影任意投影按構成方法分類幾何投影條件投影按變形性質(zhì)分類（1）等角投影（正形投影）：角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影的條件是：ω=0sin(ω/2)=(a—b)/（a+b)=0a=b，m=n等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比不一定相同。多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地形圖。（2）等積投影：投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點微小圓投影后為面積相等的各個橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。等積投影條件：Vp=P―1＝0；P=1（P=ab，所以a=1/b或b=1/a）由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟地圖。按變形性質(zhì)分類按變形性質(zhì)分類（3）任意投影：任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是，m=1。即變形橢圓上的一個半徑和球面上相應微小圓半徑相等。

等角投影等積投影等距投影任意投影如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出：①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②任意投影不能保持等積、等角特性。③等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。按構成方法分類（1）幾何投影把地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進一步分為如下幾類：①方位投影以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓，切點或相割的割線無變形。這種投影適合作大致為圓型的制圖區(qū)域。方位投影總結特點：投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點）向各方向的方位角與實地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。繪制地圖時，總是希望地圖上的變形盡可能小，且分布較均勻。一般要求等變形線最好與制圖區(qū)域輪廓一致。因此，方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。從區(qū)域所在的地理位置來說，兩極地區(qū)和南、北半球圖采用正軸方位投影；赤道附近地區(qū)和東、西半球圖采用橫軸方位投影；其他地區(qū)和水、陸半球圖采用斜軸方位投影。按構成方法分類②圓柱投影以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。正軸圓柱投影總結特點：經(jīng)緯線互相垂直直線，經(jīng)緯線方向是主方向。切圓柱投影，赤道是一條沒有變形的線，離開赤道越遠變形越大，等變形線與緯線平行，稱平行線狀分布。適合繪制赤道附近和沿赤道兩側呈東西方向延伸地區(qū)的地圖。按構成方法分類③圓錐投影以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。雙標準緯線等角圓錐投影，廣泛應用于中緯度地區(qū)的分國地圖和地區(qū)圖。例如“中國地圖集”各分省圖就是用的這種投影?！笆澜绲貓D集”大部分分國地圖采用該投影。世界上有些國家如法國、比利時、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數(shù)學基礎。此外西方國家出版的許多掛圖地圖集中已廣泛采用等角圓錐投影。圓錐投影總結特點：緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線束，經(jīng)緯線互相垂直，經(jīng)緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開標準緯線越遠變形越大。適合繪制中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖。思考題：編制中國教學地圖為什么多采用雙標準緯線等距圓錐投影？偽圓錐偽圓柱按構成方法分類（2）條件投影不借助于任何幾何面，根據(jù)一定的條件用數(shù)學解析法確定球面與平面之間點與點的函數(shù)關系。在這類投影中，一般按經(jīng)緯網(wǎng)形狀又可分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影等。多圓錐等差分緯線多圓錐投影特點：赤道和中央緯線是互相垂直的直線，其他緯線是對稱于赤道的同軸圓弧，其圓心均在中央經(jīng)線上，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線，每一條緯線上各經(jīng)線間的間隔，隨離中央經(jīng)線距離的增大而逐漸縮小按等差遞減。極點為圓弧，其長度為赤道的1/2。我國地圖出版社于1963年設計的一種不等分緯線的多圓錐投影。是我國編制“世界地圖”常用的一種投影。投影的變形性質(zhì)屬任意投影。我國絕大部分地區(qū)的面積變形在10%以內(nèi)，面積比等于1的等變形線自東向西橫貫我國中部。中央經(jīng)線與南北44度緯線交點處沒有角度變形，我國絕大部分地區(qū)角度變形最大在10度以內(nèi)，少數(shù)地區(qū)在13度左右，我國位于地圖中央，圖形較正確，圖形上太平洋保持完整，利于顯示我國與鄰近國家的水陸聯(lián)系地圖出版社用這一投影編制過數(shù)種比例尺的世界政區(qū)圖和其他類型的世界地圖。第四節(jié)幾種投影介紹

一、墨卡托投影等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。一、墨卡托投影赤道投影為正長，緯線投影成和赤道等長的平行線段，即離赤道越遠，緯線投影的長度也越大，為了保持等角條件，必須把地圖上的每一點的經(jīng)線方向上的長度比和緯線方向上的長度比相等。所以隨著緯線長度比的增加，相應經(jīng)線方向上的長度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，從赤道向兩極，緯線間隔越來越大。一、墨卡托投影墨卡托投影中，面積變形最大，在緯度60度地區(qū)，經(jīng)緯線比都擴大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴大的越多，在φ=80度時，經(jīng)緯線都擴大了近6倍，面積比擴大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯通常不繪。該投影被廣泛應用于航海和航空方面，因為等角航線（或稱斜航線），在此投影中表現(xiàn)為直線，等角航線是地球表面上與經(jīng)線相交的相同角度的曲線，或者說地球上兩點間的一條等方位線，船只要按等角航線航行，不用改變方位角就能從起點到達終點。一、墨卡托投影由于經(jīng)線收斂于兩極，所以地球表面上的等角航線是除經(jīng)線和緯線以外，以極點為漸近點的旋轉曲線，因墨卡托投影是等角投影，且經(jīng)線投影為平行直線，則兩點間的等方位螺旋線在投影中是連接兩點的一條直線。一、墨卡托投影等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線，這一點對于航海航空具有重要意義。因為有這個特征，航行時，在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個角度指示船只航行，就能達到目的地。一、墨卡托投影但等角航線不是地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線與各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。一、墨卡托投影遠航時，沿著等角航線，走的是一條較遠路線，不太經(jīng)濟，但船只不必時常改變方向；大圓航線是一條最近的路線，但船只航行時要不斷改變方向。如從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程6020海里，沿大圓航線是5450海里，相差570海里（約1000公里）。實際遠洋航行時，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等角航線。船只航行時，總的情況來說，大致是沿大圓航線航行。因而走的是一條較近路線，就每一段來說，走的又是等角航線，不用隨時改變航向，從而領航十分方便。二、桑遜投影法國人桑遜1650年所創(chuàng)的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行線，經(jīng)線為對稱與中央經(jīng)線的正弦曲線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。所有緯線長度比均等于1，緯線無長度變形，中央經(jīng)線長度比等于1，其他經(jīng)線長度比均大于1，且離中央經(jīng)線越遠，其數(shù)值越大。赤道和中央經(jīng)線是兩條沒有變形的線離開這兩條線變形越大，適合作赤道附近南北延伸的地區(qū)地圖。三、摩爾魏特投影德國人摩爾魏特1805年設計的經(jīng)線為橢圓曲線的等積偽圓柱投影。緯線是從赤道向南、北間隔逐漸縮小的平行直線，中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的同中心橢圓，離中央經(jīng)線經(jīng)差正負90度的經(jīng)線為一個圓，圓面積等于地球面積的一半。同一緯線上經(jīng)線間隔相等。沒有面積變形，赤道長度是中央經(jīng)線的2倍，中央經(jīng)線和南北緯40度的兩交點沒有變形，這兩點向外變形逐漸增大。在國外，這種投影常用在地圖集和地理課本封面上，英國1962年出版的飛利浦世界地圖集中的世界地圖采用這種投影。四、古德投影從偽圓柱投影的變形情況來看離中央經(jīng)線越遠變形越大，為了減小遠離中央經(jīng)線部分的變形增大，美國地理學家古德于1923年提出了一種分瓣方法，就是在地圖上幾個主要制圖區(qū)域的中央都定一條中央經(jīng)線，將地圖分為幾個部分，按同一主比例尺及統(tǒng)一的經(jīng)緯差展繪地圖，然后沿赤道拼接起來，這樣每條中央經(jīng)線兩側投影范圍不寬，變形就小一些。五、摩爾魏特—古德投影為進一步保證大陸完態(tài)性，克服桑遜投影高緯部分變形大的缺憾，采取分瓣組合投影的方法，在海洋部分斷裂，在南北緯40度之間采用桑遜投影，40度以外采用摩爾魏特投影，構成摩爾魏特—古德投影，國外出版的世界地圖集中的世界地圖經(jīng)常采用這種投影，如美國出版的古德世界地圖集中的世界各種自然地圖，大多采用古德投影。六、彭納投影緯線為同心圓弧，長度比等于1，中央經(jīng)線為直線，長度比等于1，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線；在每一條緯線上的經(jīng)線間隔相等，在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，中央經(jīng)線與所有的緯線正交。中央緯線與所有的經(jīng)線正交。無面積變形，中央經(jīng)線和中緯線是兩條無變形線，離開兩條線越遠變形越大。等積偽圓錐投影，它是由法國水利工程師彭納于1952年首先提出并應用于法國地形圖而得名。主要用于編制小比例尺的大洲圖。2.5地圖的分幅與編號2.5.1地圖分幅1.矩形分幅2.經(jīng)緯線分幅2.5.2地圖編號常見的編號方式有：自然序數(shù)編號和行列式編號二、地形圖的分幅與編號（舊）為了保管和使用方便，每一種基本比例尺地形圖都規(guī)定有