第2章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 v22

電子測量第2章測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理主要內(nèi)容基本的測量誤差理論和測量數(shù)據(jù)處理

通過研究測量誤差的產(chǎn)生原因、特點(diǎn)，有針對(duì)性的進(jìn)行測量數(shù)據(jù)處理，降低測量誤差，提高測量精度。一、測量誤差及研究誤差的目的：2.1測量誤差的基本原理1.什么是測量誤差？為什么會(huì)出現(xiàn)測量誤差？測量誤差：測量值與被測量真值之間的差異。

計(jì)量基準(zhǔn)、測量儀器、測量方法、測量環(huán)境、測量人員等因素。實(shí)踐證明：在任何測量過程中，無論采用什么測量方法，使用何種測量儀器，測量結(jié)果都會(huì)存在誤差。通過研究測量誤差，可以：2.1測量誤差的基本原理⑴正確認(rèn)識(shí)誤差的來源和性質(zhì)，以減小測量誤差。⑵正確處理測量數(shù)據(jù)，降低測量誤差的影響。⑶制定合理測量方案、選擇合理測量方法和測量儀器，提高測量結(jié)果的精確度。⑷在儀器設(shè)計(jì)過程中，合理利用誤差理論，分析產(chǎn)生誤差的原因，提高儀器的準(zhǔn)確性。二、測量誤差的表示方法1.絕對(duì)誤差：測量值x與被測量真值A(chǔ)0(或?qū)嶋H值A(chǔ))之間的差值絕對(duì)誤差是有單位的量，與被測量x相同；絕對(duì)誤差是有符號(hào)的量，表示偏離真值的方向和程度。2.1測量誤差的基本原理被測量的實(shí)際值：2.1測量誤差的基本原理修正值：與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值。

測量儀器的修正值可以通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。例2.1.2

一臺(tái)晶體管毫伏表的10mV擋，當(dāng)用其進(jìn)行測量時(shí)，示值為8mV，在檢定時(shí)8mV刻度處的修正值是-0.03mV，則被測電壓的實(shí)際值為：U=8+(-0.03)=7.97mV例2.1.3

測量兩個(gè)電壓，其實(shí)際值為U1=100V，U2=5V；而測得值分別為101V和6V，則絕對(duì)誤差為：△

U1=101-100=1V△

U2=6-5=1V測量的絕對(duì)誤差與被測量的真值之比的百分?jǐn)?shù)實(shí)際相對(duì)誤差：示值相對(duì)誤差：2.1測量誤差的基本原理2.相對(duì)誤差△x怎么得到？用儀器的測量值代替實(shí)際值絕對(duì)誤差能說明測量的準(zhǔn)確程度嗎？相對(duì)誤差能評(píng)價(jià)儀器的準(zhǔn)確程度嗎？不能因?yàn)閮x器儀表的可測量范圍不是一個(gè)點(diǎn)而是一個(gè)量程。在量程內(nèi)被測量可能處于不同的位置，用相對(duì)誤差計(jì)算時(shí)分母需取不同數(shù)值，使儀器的誤差值難以標(biāo)注。3.滿度相對(duì)誤差（引用相對(duì)誤差）

用測量儀器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對(duì)誤差。儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值滿度相對(duì)誤差（引用相對(duì)誤差）應(yīng)當(dāng)認(rèn)為：在一個(gè)量程內(nèi)各處示值的最大絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)

電工儀表就是按引用誤差之值進(jìn)行分級(jí)的,是儀表在額定工作條件下不應(yīng)超過的最大滿度相對(duì)誤差.

我國電工儀表共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級(jí)，則說明該儀表的最大引用誤差不超過±S%測量點(diǎn)的最大相對(duì)誤差:

在使用這類儀表測量時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牧砍蹋故局当M可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。例：某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為0～400mA和1.5級(jí)量程為0～100mA的兩個(gè)電流表，問用哪一個(gè)電流表測量較好？用1.5級(jí)量程為0～100mA電流表測量100mA時(shí)的最大相對(duì)誤差為解：用0.5級(jí)量程為0～400mA電流表測100mA時(shí)，最大相對(duì)誤差為

某電壓表的刻度為0～10V，在5V處的校準(zhǔn)值為4.95V，求其絕對(duì)誤差、修正值、實(shí)際相對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。若認(rèn)為此處的絕對(duì)誤差最大，請(qǐng)問該表應(yīng)定為幾級(jí)？0.5級(jí)習(xí)題2.1習(xí)題2.4

用0.2級(jí)100mA的電流表與2.5級(jí)100mA的電流表串聯(lián)起來測量電流。前者示值為80mA，后者示值為77.8mA。（1）如果把前者作為校準(zhǔn)表校驗(yàn)后者，問被校表的絕對(duì)誤差是多少？應(yīng)當(dāng)引入的修正值是多少？測得值的實(shí)際相對(duì)誤差為多少？（2）如果認(rèn)為上述結(jié)果是最大誤差，則被校表的準(zhǔn)確度等級(jí)應(yīng)定為幾級(jí)？

（1）－2.2mA，＋2.2mA，－2.75%

（2）－2.2%

，2.5級(jí)共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0電壓增益的測得值為：電壓增益誤差為：用對(duì)數(shù)表示為增益測得值的分貝值：分貝誤差：4.分貝誤差－－相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示

分貝誤差是用對(duì)數(shù)形式（分貝數(shù)）表示的一種相對(duì)誤差，單位為分貝（dB）。常用于表示增益或聲強(qiáng)等傳遞函數(shù)的值例2.1.4測量一個(gè)放大器，已知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。設(shè)Ui的誤差忽略不計(jì)，而Uo的測量誤差gu為±3%時(shí)，求放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差DA、相對(duì)誤差gx及分貝誤差gdB。電壓放大倍數(shù)增益Uo的絕對(duì)誤差三、電子測量儀器誤差的表示方法儀器出廠時(shí)必須由檢驗(yàn)部門對(duì)其誤差指標(biāo)進(jìn)行嚴(yán)格檢驗(yàn)誤差，除了用于表示測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度外，也是電子測量儀器重要的質(zhì)量指標(biāo)。1965年《無線電測量儀器總技術(shù)條件(草案)》1975年《電子測量儀器誤差的一般規(guī)定(暫行)》SJ943-751986年《電子測量儀器誤差的一般規(guī)定》GB6592-861971年國際電工委員會(huì)IEC《電子測量儀器工作性能表示方法》三、電子測量儀器誤差的表示方法電子測量儀器誤差的表示方法（GB6592-86)工作誤差：在額定工作條件下測定的儀器誤差極限。

正常使用時(shí)所可能出現(xiàn)的誤差的最大值，實(shí)際使用時(shí)出現(xiàn)的誤差可能要遠(yuǎn)小于此值。當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性都處于基準(zhǔn)條件時(shí)，儀器所具有的誤差。固有誤差：影響誤差：是指當(dāng)一個(gè)影響量(影響特性)在其額定使用范圍內(nèi)，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件下所測定的誤差。穩(wěn)定誤差：儀器的標(biāo)稱值在其它影響量和影響特性保持恒定的條件下，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的誤差極限。與儀器的穩(wěn)定度有關(guān)?；鶞?zhǔn)工作條件：工作誤差：50Hz~1MHz，1mv~1v量程為±1.5％x+0.5％xm;固有誤差：1kHz，1V時(shí)為讀數(shù)的0.4％±1個(gè)字；溫度影響誤差：1kHz1v時(shí)的溫度系數(shù)為10-4/℃;頻率影響誤差：50Hz~1MHz為(0.5％x+0.1％xm);穩(wěn)定誤差：在溫度-10℃~40℃，相對(duì)濕度20％~80％，大氣壓86.7~l06.7kPa的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時(shí)。例如，M一33型交流數(shù)字電壓表就是以上述四種誤差標(biāo)注的。絕對(duì)誤差，指最末一位顯示值對(duì)應(yīng)的一個(gè)單位1965年《無線電測量儀器總技術(shù)條件(草案)》的誤差表示方法：儀器在規(guī)定的正常使用條件下所具有誤差。一般以滿度相對(duì)誤差的形式給出，也有的以誤差的絕對(duì)數(shù)值和相對(duì)數(shù)值的代數(shù)和的形式來表示。由于儀器超出規(guī)定的正常工作條件時(shí)所增加的誤差。與影響誤差相似。基本誤差：附加誤差：四、一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì)儀器只有基本誤差的情況：有基本誤差和附加誤差時(shí)：基本誤差＋附加誤差按照容許誤差表示時(shí)：工作誤差固有誤差＋影響誤差2.2測量誤差的分類一、測量誤差的來源：儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設(shè)計(jì)、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣等原因，而在測量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。二、測量誤差的分類

根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機(jī)誤差:

在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復(fù)測量同一量值時(shí)（等精度測量），每次測量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡稱隨差。產(chǎn)生原因：由對(duì)測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V特點(diǎn)：單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，多數(shù)情況接近正態(tài)分布。有界性：誤差的絕對(duì)值波動(dòng)有一定界限。對(duì)稱性：正負(fù)隨機(jī)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等。抵償性：測量次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于0。2.系統(tǒng)誤差

在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時(shí)，測量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差。產(chǎn)生原因：儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計(jì)算公式，測量人員不良讀數(shù)習(xí)慣等。特點(diǎn)：測量條件不變，誤差為恒值，多次測量求平均不能消除；測量條件改變，誤差隨著某種規(guī)律變化，具有可重復(fù)性。3.疏失誤差(粗大誤差)在一定測量條件下，測量值明顯的偏離實(shí)際值所形成的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬用表電壓擋直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。在剔除壞值之后，可以將測量值一般地表示為：誤差在數(shù)軸上的分布三、測量結(jié)果的評(píng)定準(zhǔn)確度指測量值與真值的接近程度。反映系統(tǒng)誤差的大小，系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高。精密度指測量值重復(fù)一致的程度，反映隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。abcabc射擊誤差示意圖a為系統(tǒng)誤差小，隨機(jī)誤差大，即準(zhǔn)確度高，精密度低b為系統(tǒng)誤差大，隨機(jī)誤差小，即準(zhǔn)確度低，精密度高c為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小，即精確度高2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特征及其估算方法在測量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場的干擾，大地輕微振動(dòng)等。多次測量，測量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律。可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對(duì)測量結(jié)果的影響。一、測量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差等精度測量：在相同的測量條件下，進(jìn)行的多次測量。1.數(shù)學(xué)期望等精度測量結(jié)果的算術(shù)平均值：（樣本平均值）等精度測量結(jié)果的數(shù)學(xué)期望：（總體平均值）隨機(jī)誤差：系統(tǒng)誤差：絕對(duì)誤差：當(dāng)消除了系統(tǒng)誤差之后，隨機(jī)誤差等于絕對(duì)誤差。2.算術(shù)平均值原理隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值：即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于0對(duì)于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)：

對(duì)于有限次測量，在僅有隨機(jī)誤差的情況下，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，測量值的平均值接近于真值隨機(jī)誤差的抵償性系統(tǒng)誤差為0的情況下在實(shí)際測量工作中，采用某些技術(shù)措施基本消除系統(tǒng)誤差的影響，并且剔除疏失誤差后，雖然有隨機(jī)誤差的存在，但可以用多次測量值的算術(shù)平均值作為最后測量結(jié)果。剩余誤差----殘差：有限次測量時(shí)，各測量值與其算術(shù)平均值之差。驗(yàn)證計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確3.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測量的精密度即測量值的分散程度。但由于隨機(jī)誤差的抵償性，不能用它的算術(shù)平均值來估計(jì)測量的精密度。當(dāng)測量次數(shù)n趨于無窮大時(shí)，測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值。即：標(biāo)準(zhǔn)差：

標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)隨機(jī)誤差平方后在求平均，使個(gè)別較大的誤差占的比例較大，即標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)較大的隨機(jī)誤差反映靈敏，用來表征測量的精密度。方差：描述隨機(jī)誤差的分散程度測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,又稱高斯分布。1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布二、隨機(jī)誤差的分布規(guī)律為什么隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：(a)隨機(jī)誤差(b)測量數(shù)據(jù)0d)(dp

xp(x)0圖2－1隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：二、隨機(jī)誤差的分布規(guī)律測量值對(duì)稱的分布在數(shù)學(xué)期望的兩側(cè)s越小，表示測量值越集中，精密度越高2、貝塞爾公式：有限次測量時(shí)測量數(shù)據(jù)的精密度怎么表示？當(dāng)n為有限次測量時(shí)，可以用剩余誤差來表示標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，即貝塞爾公式貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式2、貝塞爾公式：n-1為自由度n=1時(shí)，s的值不確定，所以一次測量的數(shù)據(jù)是不可靠的。3、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差在相同條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行m組劃分，每組重復(fù)進(jìn)行n次測量，則每一組測量值都有一個(gè)平均值當(dāng)對(duì)精密度要求更高時(shí)，可用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差表示：當(dāng)n為有限次測量時(shí)，用算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值表示：這些算術(shù)平均值并不相同②用公式計(jì)算各測量值殘差列于上表中例用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值③標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值：④算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值：1、權(quán)的概念三、非等精密度測量等精度測量：即在相同地點(diǎn)、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測量。非等精度測量：在以上測量條件不相同時(shí)，進(jìn)行的測量，則稱為非等精度測量。

各次（或組）的測量值可靠程度不同，因而不能簡單地取某一組測量值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，也不能簡單地用來計(jì)算。例如：第一組測量次數(shù)n1=36，第二組測量次數(shù)n2=4，假設(shè)兩組的s相同，但算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差不同：表示第一組的平均值更可靠因而應(yīng)當(dāng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后報(bào)告值中占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。權(quán)，記作Wi=1，2，……，m定義：假定同一個(gè)被測量，有m個(gè)算術(shù)平均值，設(shè)每組的測量次數(shù)不同，而標(biāo)準(zhǔn)差相同，這時(shí)他們的權(quán)就取決于每組的測量次數(shù)。2、加權(quán)平均值加權(quán)平均：將非等精密度測量等效為等精密度測量，從而求出非等精密度測量的估計(jì)值的方法。m為非等精密度測量的組數(shù)考慮各組數(shù)據(jù)加權(quán)后的平均值，稱為加權(quán)平均值：三組測量值權(quán)的比為16：1：4，可以把它等效成16+1+4=21組等精密度測量的結(jié)果，則加權(quán)平均值：例2.3.3已知電壓有三組不等精密度測量值的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差：則各組權(quán)的大小為：

2.4.1系統(tǒng)誤差的特征：2.4系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法

在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。多次測量求平均不能減少系統(tǒng)誤差。a.恒值系統(tǒng)誤差b.線性系統(tǒng)誤差c.周期性系統(tǒng)誤差d.復(fù)雜變化的系統(tǒng)誤差由儀器儀表引起的固有誤差電池電壓逐漸下降晶體管b值隨環(huán)境溫度周期性變化而變化一般用正確度來表征系統(tǒng)誤差大小，系統(tǒng)誤差越小，正確度越高。2.4.2

判斷系統(tǒng)誤差的方法改變測量條件、測量儀器或測量方法，比較測量結(jié)果。將所測數(shù)據(jù)及其剩余誤差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的剩余誤差值的大小和符號(hào)的變化。1.試驗(yàn)對(duì)比法：2.剩余誤差觀察法：只適用于發(fā)現(xiàn)恒值系統(tǒng)誤差主要用于發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差3.馬利科夫判據(jù)：當(dāng)測量次數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)測量次數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，

將測量數(shù)據(jù)按測量條件的變化順序排列起來，分別求出剩余誤差，然后把這些剩余誤差分為前后兩部分求和，再求其差值△。若，則可以認(rèn)為存在線性系統(tǒng)誤差。若，則表明不存在線性系統(tǒng)誤差。用于發(fā)現(xiàn)是否存在線性系統(tǒng)誤差4.阿貝－赫梅特判據(jù):

將測量數(shù)據(jù)順序排好，求出剩余誤差ui，將ui依次兩兩相乘，然后取和的絕對(duì)值，再用此列數(shù)據(jù)求出標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。若下式成立：則可以認(rèn)為存在周期性系統(tǒng)誤差。對(duì)于存在變值系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，原則上應(yīng)舍棄不用。但是，若其剩余誤差的最大值明顯地小于測量允許的誤差范圍，則可以考慮使用。用于發(fā)現(xiàn)是否存在周期性系統(tǒng)誤差2.4.3

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法1.從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對(duì)測量的影響，特別是溫度對(duì)電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。2.用修正方法減少系統(tǒng)誤差修正值＝-誤差=-(測量值－真值)實(shí)際值＝測量值＋修正值3.減小恒值系統(tǒng)誤差的典型測量方法①

零位式測量法（零示法）

將被測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時(shí)，指零儀器示值為0，達(dá)到平衡，這時(shí)己知量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。零示法的優(yōu)點(diǎn)：1）只需判斷檢流計(jì)G有無電流，不需要度讀數(shù)，準(zhǔn)確度取決于標(biāo)準(zhǔn)量；2）回路中無電流，導(dǎo)線上無壓降，因此誤差小。零示法的缺點(diǎn)？②

替代法

用已知標(biāo)準(zhǔn)量替代被測量，通過改變已知量使兩次的指示值相同，則可根據(jù)已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值得到被測量。③

微差法3.減小恒值系統(tǒng)誤差的典型測量方法不改變電路的工作環(huán)境測量電路的分布電容只要求二者接近，而不必完全抵消2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則粗大誤差是明顯歪曲測量結(jié)果的誤差。這種誤差來自測量方法不當(dāng)、影響較大的偶然因素或測量者的粗心等原因。疏失誤差/粗大誤差：2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則例如，用—塊內(nèi)阻為10kΩ／V、量程為2.5V檔的萬用表去測量一放大器。分別測得Ub=-0.88V，Ue=-0.92V，然后計(jì)算得出Ube=Ub-Ue=+0.04V。2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則

根據(jù)上述測量結(jié)果，放大器必然處于截止?fàn)顟B(tài)，而實(shí)際放大器卻工作正常，且Ube=-0.32V。這是由于該萬用表2.5V檔內(nèi)阻僅為2.5×10=25kΩ，它并聯(lián)在基極與地之間，顯著減小了下偏置電阻，測出的Ub值就比實(shí)際值小，這屬于測試方法不當(dāng)，應(yīng)該直接測基極和發(fā)射極之間的電壓或選用高阻抗電壓表測量。置信限：k—置信系數(shù)（或置信因子）在置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信概率是圖中陰影部分面積2.5.1測量結(jié)果的置信問題2.5疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則置信因子k置信概率168.26%295.44%399.73%當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定：對(duì)于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差：在370個(gè)隨機(jī)誤差中，僅有一個(gè)誤差大于3s2.格拉布斯準(zhǔn)則：G為格拉布斯系數(shù)，按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率確定2.5.2

不確定度與壞值的剔除準(zhǔn)則對(duì)于出現(xiàn)疏失誤差的測量結(jié)果要剔除，判斷疏失誤差的依據(jù)：適于測量次數(shù)足夠多時(shí)1.萊特（拉依達(dá)）準(zhǔn)則：適于測量次數(shù)較少時(shí)3s準(zhǔn)則剔除數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)注意的問題：

所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。

剔除異常數(shù)據(jù)時(shí)要慎重，有時(shí)一個(gè)異常數(shù)據(jù)可能反映出一種異?，F(xiàn)象，輕易剔除可能放過發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)。

若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。

在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。2.6測量數(shù)據(jù)的處理2.6.1有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則：1.數(shù)字舍入規(guī)則

由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計(jì)算簡便，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，需對(duì)測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行舍入處理。

以保留數(shù)字的末位為單位，它后面的數(shù)字若大于0.5單位，末位進(jìn)1；小于0.5個(gè)單位，末位不變；恰為0.5個(gè)單位，則末位為奇數(shù)時(shí)加1，末位為偶數(shù)時(shí)不變，即使末位湊成偶數(shù)。簡單概括為“小于5舍，大于5入，等于5時(shí)采取偶數(shù)法則”。例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.4363.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.3217.6955→17.70123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。2.有效數(shù)字

由于在測量中不可避免地存在誤差，并且儀器的分辨能力有一定的限制，測量數(shù)據(jù)就不可能完全準(zhǔn)確。當(dāng)用這個(gè)數(shù)表示一個(gè)量時(shí)，為了表示得確切，通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半。

這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù)，從它左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，直到右面最后個(gè)數(shù)字止，都叫作有效數(shù)字。3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤±0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤±0.00058.7×103二位有效數(shù)字，極限誤差≤±0.05×1030.0807三位有效數(shù)字，極限誤差≤±0.00005有效數(shù)字的位數(shù)只由誤差的大小決定2.6.2等精度測量數(shù)據(jù)的處理步驟①對(duì)測量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值:⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥剔除壞值后，再重復(fù)求剩下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值、剩余誤差及標(biāo)準(zhǔn)差，并再次判斷，直至不包括壞值為止。⑧計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值⑨寫出最后結(jié)果的表達(dá)式即（單位）⑦判斷有無變值系統(tǒng)誤差。如有變值系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；【例】對(duì)某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。解：（1）求出算術(shù)平均值（2）計(jì)算列于表中，并驗(yàn)證（3）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差：（4）按萊特準(zhǔn)則判斷有無查表中第5個(gè)數(shù)據(jù)，所以x5=206.65應(yīng)視為含有粗大誤差的數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除?，F(xiàn)剩下15個(gè)數(shù)據(jù)，重復(fù)以上4個(gè)步驟。（5）重新計(jì)算剩余15個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值：及重新計(jì)算列于表中，并驗(yàn)證（8）對(duì)剩余誤差作圖，判斷有無變值系統(tǒng)誤差。由圖可見無明顯累進(jìn)性或周期性系統(tǒng)誤差。（6）重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差：（7）按萊特準(zhǔn)則再判斷有無查表得各數(shù)據(jù)的剩余誤差絕對(duì)值均小于，則認(rèn)為剩下的15個(gè)數(shù)據(jù)中不再含有粗大誤差。（9）計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：（10）寫出測量結(jié)果表達(dá)式：測量數(shù)據(jù)的表示方法1．列表法2．圖示法3．經(jīng)驗(yàn)公式法X246810Y8.08.28.38.18.0測量數(shù)據(jù)表對(duì)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)不如圖解法明了和直觀列表法是圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法的基礎(chǔ)205.3204.9205.7205.1204.8204.6205.1205205.7204.8204.9205.2204.7圖示法形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等圖形只能得出函數(shù)的變化關(guān)系或變化趨勢(shì)，而不能進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。2.6.3曲線修勻?qū)⒋罅康陌`差的測量數(shù)據(jù)繪制成一條盡量符合實(shí)際情況的光滑曲線，稱為曲線修勻。作圖方法一般是先按成對(duì)數(shù)據(jù)（x，y）描點(diǎn)，再連成曲線。但要注意連出的曲線光滑勻整，并盡量使曲線與所有點(diǎn)接近，不強(qiáng)求通過各點(diǎn)，要使位于曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)盡量相等。分組平均描曲線經(jīng)驗(yàn)公式法通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。數(shù)學(xué)模型根據(jù)變量個(gè)數(shù)的不同及變量之間關(guān)系的不同，分為一元線性回歸（直線擬合），一元非線性回歸（曲線擬合），多元線性回歸和多項(xiàng)式回歸等。

一元線性回歸一元線性回歸

用一個(gè)直線方程來表達(dá)上列測量數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)系，即求出直線方程中的兩個(gè)系數(shù)a和b，此過程就是一元線性回歸，工程上又稱為直線擬合。1.端點(diǎn)法 此方法是將測量數(shù)據(jù)中兩個(gè)端點(diǎn)，起點(diǎn)和終點(diǎn)（即最大量程點(diǎn)）的測量值（）和（），代入則a,b分別為 2.最小二乘法在一些列等精度測量的測得值中，最佳值是使所有測得值的剩余誤差平方和為最小的值。yi

yi′最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線例題為了測定刀具的磨損速度，我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過一定時(shí)間(如每隔一小時(shí))，測量一次刀具的厚度,得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：如圖，在坐標(biāo)紙上畫出這些點(diǎn)，因?yàn)檫@些點(diǎn)本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差都很?。饩褪且蛊疃己苄?因此可以考慮選取常數(shù)，使得最小來保證每個(gè)偏差的絕對(duì)值都很?。芽闯勺宰兞亢偷囊粋€(gè)二元函數(shù)，那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù)在哪些點(diǎn)處取得最小值.即將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù)和分離出來，便得計(jì)算得代入方程組（1）得解此方程組，得到這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為由（2）式算出的函數(shù)值與實(shí)測的有一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：偏差的平方和，它的平方根．我們把稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞．積分電路如何利用EXCEL擬合曲線？當(dāng)Ri=10k，C=1uF，Vin=-10V，時(shí)：時(shí)間(ms)電壓(V)0.11.320.22.190.32.810.44.230.54.740.66.510.77.420.88.070.99.2119.69Supply電源Load負(fù)載功率計(jì)電壓(V)功率(mW)11.5325.2637.47417.45522.79635.64748.54858.65983.11092.72.6.5測量不確定度測量不確定度：由于測量誤差的存在而對(duì)測得值不能肯定（或可疑）的程度。測量不確定度是測量結(jié)果所含有的一個(gè)參數(shù)，用以表征合理地賦予被測量值的分散性。該參數(shù)可以是標(biāo)準(zhǔn)差或者標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)，也可以是置信區(qū)間的半寬度。1、測量不確定度的分類A類——用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的分量B類——用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的分量測量不確定度是按評(píng)定的方法分類的；而傳統(tǒng)的測量誤差則是根據(jù)誤差本身的性質(zhì)分類的。傳統(tǒng)的隨機(jī)誤差傳統(tǒng)的系統(tǒng)誤差2、標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其評(píng)定通過標(biāo)準(zhǔn)差來表述的不確定度，通常稱為“標(biāo)準(zhǔn)不確定度”（2）不確定度的A類評(píng)定平均值的實(shí)驗(yàn)方差或其平方根，即平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，用來定量地說明平均值與數(shù)學(xué)期望值的接近程度，故可用其作為平均值的不確定度的度量。分別稱為A類方差和A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度?！皹?biāo)準(zhǔn)”二字可省略（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度（3）不確定度的B類評(píng)定根據(jù)引起測得值可能變化的全部信息來判斷和估算。將這種方法估計(jì)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別稱為B類方差和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。3、合成不確定度當(dāng)測量不確定度有若干個(gè)分量時(shí)，測量結(jié)果的不確定度，即合成不確定度應(yīng)由所有分量的方差與協(xié)方差之和或其正平方根來表述。2.7誤差的合成與分配通過直接測量與被測量有一定函數(shù)關(guān)系的其他參數(shù)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系算出被測量。測量誤差是各個(gè)測量值誤差的函數(shù)。（1）誤差的合成：已知被測量和各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系及各測量值的誤差，求函數(shù)的總誤差。（2）誤差的分配：已知各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系及總誤差的要求，分別確定各個(gè)參數(shù)測量的誤差。研究函數(shù)誤差有以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：2.7.1誤差傳遞公式絕對(duì)誤差傳遞公式相對(duì)誤差傳遞公式2.7.2常用函數(shù)的合成誤差1.積函數(shù)的合成誤差2.商函數(shù)的合成誤差3.冪函數(shù)的合成誤差測量誤差按表示方法分類

測量誤差按表示方法分類有絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、允許誤差。

1．絕對(duì)誤差

（1）絕對(duì)誤差用被測量對(duì)象的顯示值（儀器上的示值）x減去被測量對(duì)象的真值A(chǔ)0，所得的數(shù)據(jù)Δx，叫做絕對(duì)誤差。

Δx=x–A0

(1-1)真值A(chǔ)0無法求到，常用上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值作為實(shí)際值A(chǔ)（約定真值）代替真值。小結(jié)（2）示值誤差

x與A之差稱為儀器的示值誤差：

Δx=x–A

（1-2）由于式（1-2）以代數(shù)差的形式給出誤差的絕對(duì)值大小及其符號(hào)，故通常稱為絕對(duì)誤差。（3）修正值絕對(duì)值與Δx相等但符號(hào)剛好相反的值，稱為修正值，一般用C表示。

C=-Δx=A

-x

（1-3）通過檢定，可以由上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)給出受檢儀器的修正值。利用修正值，可以求出實(shí)際值

A=C+x

（1-4）【例如1-1】某電壓表的量程為10V，通過檢定而得出其修正值為-0.02V。如用這只電壓表測電路中的電壓，其示值為7.5V，于是得被測量電壓的實(shí)際值為解：A=C+X=（-0.02）+7.5=7.48V

實(shí)際測量過程中，常用相對(duì)誤差來表示儀器測量精度的高低。（1）實(shí)際相對(duì)誤差用絕對(duì)誤差Δx與被測量的實(shí)際值A(chǔ)的百分比值來表示的相對(duì)誤差稱為實(shí)際相對(duì)誤差。用rA表示，

rA=×100%(1-5)如前例，已知Δx=-C=0.02V，A=7.48V，所以

rA==0.00267=0.27%

2．

相對(duì)誤差（2）示值相對(duì)誤差用絕對(duì)誤差Δx與儀器的示值x的百分比值來表示的相對(duì)誤差稱為示值誤差。用r

x表示，r

x

=×100%(1-6)如例1-1，已知Δx=0.02V，

x=7.5V，所以rx

==0.00267=0.27%由上例可知，當(dāng)rA及r

x之值不大時(shí)，A

與x

很接近，一般兩者的差異很小。當(dāng)誤差本身較大時(shí)，就應(yīng)當(dāng)注意兩者的區(qū)別了。（3）滿度相對(duì)誤差用絕對(duì)誤差Δx與儀器的滿度值xm百分比值來表示的誤差稱為滿度誤差。用r

m表示，r

m