2021-2022學年山東省泰安市水河中學高三數學文月考試題

2021-2022學年山東省泰安市水河中學高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是的任一點,且,設的面積分別為,且,則在平面直角坐標系中,以為坐標的點的軌跡圖形是(

)參考答案：A2.下列函數中,既是偶函數,又在(0,1)上單調遞增的函數是()(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x| (D)y=cos|x|參考答案：C略3.（09年湖北重點中學4月月考理）函數在區(qū)間內的圖象是（

）參考答案：D4.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜邊長為，那么這個幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐，代入棱錐體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐，如果直角三角形的斜邊長為，則直角三角形的直角邊長均為1，故幾何體的體積V=×1×1×1=，故選：C5.雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交曲線左支于A，B兩點，△F2AB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】設，根據是以為直角頂點的直角三角形，且，以及雙曲線的性質可得，再根據勾股定理求得的關系式，即可求解.【詳解】由題意，設，如圖所示，因為是以為直角頂點的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程，即可得的值(范圍)．.6.一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．9 B．10 C．11 D．參考答案：C考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關系與距離．分析：根據得出該幾何體是在底面為邊長是2的正方形、高是3的直四棱柱的基礎上，截去一個底面積為×2×1=1、高為3的三棱錐形成的，運用直棱柱減去三棱錐即可得出答案．解答：解：．由三視圖可知該幾何體是在底面為邊長是2的正方形、高是3的直四棱柱的基礎上，截去一個底面積為×2×1=1、高為3的三棱錐形成的，V三棱錐==1，所以V=4×3﹣1=11．故選：C點評：本題考查了空間幾何體的性質，求解體積，屬于計算題，關鍵是求解底面積，高，運用體積公式．7.不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集為（）A．（﹣∞，2） B．（﹣2，6） C．（6，+∞） D．（﹣1，5）參考答案：B【考點】絕對值不等式的解法．【分析】由條件利用絕對值的意義，求得絕對值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示數軸上的x對應點到5、﹣1對應點的距離之和，而數軸上的﹣2和6對應點到5、﹣1對應點的距離之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集為（﹣2，6），故選：B．8.已知x，y滿足約束條件則z=2x+3y的最大值為（）A．8 B．9 C．10 D．11參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（1，3），化目標函數z=2x+3y為y=，由圖可知，當直線y=過點A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為11．故選：D．9.如下圖，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為．則該幾何體的俯視圖可以是（

）參考答案：C略10.已知函數f（x）=x2+cosx，f′（x）是函數f（x）的導函數，則f′（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數的圖象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函數的定義得函數f′（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除BD，又當x=時，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個總體分為甲、乙兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為20的樣本．已知乙層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數為

．參考答案：18012.設p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是遞增的，q：m≥﹣4，則p是q的條件．參考答案：充要【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結合函數單調性的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：要使f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內單調遞增，則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）=恒成立，∴m在（0，+∞）恒成立，∵當x＞0時，，∴，即m≥﹣4，∴p：m≥﹣4，∵q：m≥﹣4，∴p是q的充分必要條件．故答案為：充要條件13.函數為奇函數，則實數

。參考答案：-1試題分析：因為函數為奇函數，所以，即考點：函數的奇偶性.14.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是

cm3，表面積是

cm2．參考答案：40，32+16

【分析】由幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與兩個相同的四棱錐的組合體，畫出圖形結合圖形求出它的體積與表面積．【解答】解：由該幾何體的三視圖，知該幾何體是三棱柱與兩個相同的四棱錐的組合體，如圖所示；該組合體的體積為V=+V三棱柱DEG﹣CFH+=×（2×4）×3+（×4×3）×4+×（2×4）×3=8+24+8=40（cm3）；它的表面積為S=+2S梯形ABCD+2=8×4+2××（4+8）×+2××4×=32+16cm2．故答案為：40，32+16．【點評】本題考查利用幾何體的三視圖求體積與表面積的應用問題，是基礎題．15.對大于或等于的自然數的次方冪有如下分解方式：

根據上述分解規(guī)律，的分解式為________________________.參考答案：31+33+35+37+39+4116.已知等差數列滿足，則，則最大值為

參考答案：

17.（5分）橢圓的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，若｜PF1｜=4，則∠F1PF2的大小為

，△F1PF2的面積為．參考答案：，2【考點】：橢圓的簡單性質．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：根據橢圓的方程，可得a=3，b=，c==．由橢圓的定義，得｜PF2｜=2a﹣｜PF1｜=2，在△PF1F2中利用余弦定理，可算出∠F1PF2=，最后由正弦定理的面積公式，可得△F1PF2的面積．解：∵橢圓的方程為，∴a2=9，b2=2，可得a=3，b=，c==∵｜PF1｜=4，｜PF1｜+｜PF2｜=2a=6，∴｜PF2｜=6﹣｜PF1｜=2△PF1F2中，｜F1F2｜=2c=2，∴cos∠F1PF2==﹣∵∠F1PF2∈（0，π），∴∠F1PF2=由正弦定理的面積公式，得△F1PF2的面積為S=｜PF1｜?｜PF2｜sin=2故答案為：，2【點評】：本題給出橢圓的焦點三角形△PF1F2，求∠F1PF2的大小并求面積，著重考查了橢圓的簡單幾何性質、利用正余弦定理解三角形等知識點，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數列{an}的首項為a，公差為d，且不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d）．（1）求數列{an}的通項公式an；（2）若bn=3an+an﹣1，求數列{bn}前n項和Tn．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）根據利用根與系數的關系求出a，d，代入等差數列的通項公式即可；（2）使用分組法把Tn轉化為等差數列，等比數列的前n項和計算．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d）．∴，解得a=1，d=2．∴an=2n﹣1；（2）由（I）知bn=32n﹣1+2n﹣2，∴Tn=（3+33+35+…+32n﹣1）+（2+4+6+8+…+2n）﹣2n=+﹣2n=+n2﹣n．19.已知函數R.（1）討論f(x)的單調性；（2）若f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍．參考答案：(1)的定義域為，.………1分(i)當時，恒成立，時，，在上單調遞增；時，，在上單調遞減；……2分(ii)當時，由得，（舍去），①當，即時，恒成立，在上單調遞增；……3分②當，即時，或時，恒成立，在，單調遞增；時，恒成立，在上單調遞減；……………4分③當即時，或時，恒成立，在單調遞增；時，恒成立，在上單調遞減；……………5分綜上，當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．…………………6分(2)由(1)知，當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，又因為，

…………………7分取，令，，則在成立，故單調遞增，，，（注：此處若寫“當時，”也給分）所以有兩個零點等價于，得，所以．……………8分當時，，只有一個零點，不符合題意；當時，在單調遞增，至多只有一個零點，不符合題意；………9分當且時，有兩個極值，，，記，

…………………10分，令，則.當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減．故，在單調遞增．時，，故．……11分又，由(1)知，至多只有一個零點，不符合題意．綜上，實數的取值范圍為.

……12分20.（本小題滿分13分）

、如圖所示，在正方體ABCD—A’B’C’D’'中，棱AB，BB’，B'C’，C'D’的中點分別是E，F，G，H．（1）求證：AD’//平面EFG；（2）求證：A’C⊥平面EFG：（3）判斷點A，D’，H，F是否共面？并說明理由參考答案：【知識點】線面平行的判定線面垂直的判定平面的基本性質G3G4G5(1)略；(2)略；(3)不共面解析：（1）證明：連接BC'，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=C'D'，AB∥C'D'．

所以，四邊形ABC'D'是平行四邊形，所以，AD'∥BC'．因為F，G分別是BB'，B'C'的中點，所以FG∥BC'，所以，FG∥AD'．因為EF，AD'是異面直線，所以AD'?平面EFG．

因為FG?平面EFG，所以AD'∥平面EFG．

（2）證明：連接B'C，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，A'B'⊥平面BCC'B'，BC'?平面BCC'B'，所以，A'B'⊥BC'．在正方形BCC'B'中，B'C⊥BC'，因為A'B'?平面A'B'C，B'C?平面A'B'C，A'B'∩B'C=B'，所以，BC'⊥平面A'B'C．因為A'C?平面A'B'C，所以，BC'⊥A'C．

因為FG∥BC'，所以，A'C⊥FG，同理可證：A'C⊥EF．因為EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F，所以，A'C⊥平面EFG．

（3）點A，D'，H，F不共面．理由如下：假設A，D'，H，F共面．連接C'F，AF，HF．

由（Ⅰ）知，AD'∥BC'，因為BC'?平面BCC'B'，AD'?平面BCC'B'，所以，AD'∥平面BCC'B'．

因為C'∈D'H，所以，平面AD'HF∩平面BCC'B'=C'F．因為AD'?平面AD'HF，所以AD'∥C'F．

所以C'F∥BC'，而C'F與BC'相交，矛盾．所以點A，D'，H，F不共面．【思路點撥】證明線面垂直與平行，通常結合其判定定理轉化為線線垂直與線面平行問題進行證明.21.設直線l：y=kx+1與曲線f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于點P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值．參考答案：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切點P（0，1），切線l的斜率為k=﹣1；（2）切線l：y=﹣x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，則h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，在（0，x2）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；③若a＞，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；綜上，當切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：綜合題；分類討論；轉化思想；導數的概念及應用．分析：（1）根據導數的幾何意義，求出函數f（x）在x=0處的導數，從而求出切線的斜率，可得b=1，k=﹣1；（2）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與的大小，研究函數的單調性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切點P（0，1），切線l的斜率為k=﹣1；（2）切線l：y=﹣x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+