統(tǒng)計學(xué) 動態(tài)數(shù)列-1

第五章

動態(tài)數(shù)列1學(xué)習(xí)目的與要求目的：通過本章學(xué)習(xí)，掌握動態(tài)數(shù)列的種類和編制方法；掌握動態(tài)數(shù)列的水平分析指標(biāo)和速度分析指標(biāo)并能靈活運(yùn)用；掌握靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系；掌握長期趨勢預(yù)測的最小平方法。要求：每次上課前做必要的預(yù)習(xí)；課后練習(xí)及時完成；有疑問及時提出，及時解決。2本章主要內(nèi)容第一節(jié)動態(tài)數(shù)列的編制※第二節(jié)動態(tài)數(shù)列的水平分析指標(biāo)※第三節(jié)動態(tài)數(shù)列的速度分析指標(biāo)第四節(jié)長期趨勢的預(yù)測第五節(jié)季節(jié)變動的預(yù)測3第一節(jié)動態(tài)數(shù)列的編制一、動態(tài)數(shù)列（時間數(shù)列）的概念和作用1、概念：將一系列同類的統(tǒng)計指標(biāo)按時間順序排列起來，就形成一個動態(tài)數(shù)列或稱時間數(shù)列。P1302、動態(tài)數(shù)列的作用（3點(diǎn)）P130※3、動態(tài)數(shù)列的構(gòu)成要素1）時間：統(tǒng)計資料所屬的具體時期或時點(diǎn)2）統(tǒng)計指標(biāo)數(shù)值：又稱之為發(fā)展水平。42001-2005我國糧食總產(chǎn)量和社會消費(fèi)零售總額時間糧食總產(chǎn)量（萬噸）社會消費(fèi)品零售總額（億元）2001452644305520024570648136200343070525162004469475950120054840167177時間統(tǒng)計指標(biāo)數(shù)值統(tǒng)計指標(biāo)數(shù)值5按照統(tǒng)計指標(biāo)的性質(zhì)不同，可以分為：絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列相對數(shù)動態(tài)數(shù)列平均數(shù)動態(tài)數(shù)列時期數(shù)列時點(diǎn)數(shù)列基本數(shù)列派生數(shù)列二、動態(tài)數(shù)列的分類6（一）絕對數(shù)時間數(shù)列由一系列同類的總量指標(biāo)按時間先后順序排列起來所形成的動態(tài)數(shù)列。它反映事物在不同時間的規(guī)模大小、數(shù)量多少。1．時期數(shù)列時期數(shù)列的特點(diǎn)：1）指標(biāo)可以累計相加2）指標(biāo)值的大小與時期的長短有關(guān)3）統(tǒng)計時要靠連續(xù)不斷的登記取得7由一系列同類的時點(diǎn)指標(biāo)按時間先后順序排列起來所形成的絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列。例如，我國2001-2005年末人口數(shù)就是時點(diǎn)數(shù)列。時點(diǎn)數(shù)列的特點(diǎn)：1）指標(biāo)不能累加2）指標(biāo)值的大小與時間間隔沒有直接聯(lián)系3）指標(biāo)數(shù)值是間隔一定時期登記取得的2.時點(diǎn)數(shù)列82001-2005年末全國人口數(shù)及自然增長率時間年末全國人口數(shù)（萬人）人口自然增長率（‰）20011276276.9520021284536.4520031292276.0120041299885.8720051307565.89人口自然增長率從1990年的14.39‰降至2005年的5.89‰，降低幅度還是很大的。時點(diǎn)數(shù)列相對數(shù)時間數(shù)列9☆由一系列同類的相對指標(biāo)按時間先后順序排列起來所形成的動態(tài)數(shù)列。例：2001-2005年人口自然增長率數(shù)列?！钕鄬?shù)時間數(shù)列用來反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的比例關(guān)系、結(jié)構(gòu)、速度等的發(fā)展變化過程?！⒁猓合鄬?shù)時間數(shù)列中的各個指標(biāo)數(shù)值是不能相加的。因?yàn)槊總€相對指標(biāo)對比的基礎(chǔ)是不同的。（二）相對數(shù)時間數(shù)列10☆由一系列同類的平均指標(biāo)按時間先后順序排列起來所形成的動態(tài)數(shù)列。它反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象一般水平的發(fā)展趨勢。例如，我國1999-2005年全國職工年平均工資數(shù)列。P131※注意：平均數(shù)時間數(shù)列中的各個指標(biāo)數(shù)值也是不能相加的。相加沒有經(jīng)濟(jì)意義。三、時間數(shù)列的編制原則P133-134（三）平均數(shù)時間數(shù)列11動態(tài)數(shù)列的分析指標(biāo)可歸納為兩類：即水平分析指標(biāo)和速度分析指標(biāo)。本節(jié)介紹水平分析指標(biāo)的計算方法。水平：是反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象發(fā)展的絕對指標(biāo)反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象發(fā)展水平的指標(biāo)有發(fā)展水平、平均發(fā)展水平、增減量和平均增減量。水平指標(biāo)的關(guān)系圖：※第二節(jié)動態(tài)數(shù)列的水平分析指標(biāo)12水平指標(biāo)的關(guān)系圖水平基本指標(biāo)增量指標(biāo)增減量年距增減量增減1%的絕對值平均增減量累計發(fā)展水平平均發(fā)展水平逐期（環(huán)比）逐期（環(huán)比）增減量累計增減量13一、發(fā)展水平☆發(fā)展水平，是指動態(tài)數(shù)列中的每一項指標(biāo)數(shù)值。它反映某種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時期或時點(diǎn)上所達(dá)到的水平，它是計算各種動態(tài)分析指標(biāo)的基礎(chǔ)。用a

i表示：

a0,

a1

,a2

,,an-1

,an最初水平最末水平中間水平14※基期水平：是對比時作為基準(zhǔn)期的水平。

用通式來表示，即

a

i-1

※報告期水平：是要分析、研究時期的水平。用通式表示，即a

i

※注意：基期水平和報告期水平都是不固定的，它們會隨著研究目的和研究時間的變更而作相應(yīng)的改變。例如：我國2001-2005年末移動電話用戶資料年份(t)20012002200320042005移動電話用戶(萬戶)14522

a020601

a126995

a233482

a339343

a415平均發(fā)展水平的關(guān)系圖平均發(fā)展水平絕對數(shù)時間數(shù)列的平均發(fā)展水平相對數(shù)時間數(shù)列的平均發(fā)展水平平均數(shù)時間數(shù)列的平均發(fā)展水平時點(diǎn)數(shù)列時期數(shù)列連續(xù)時點(diǎn)間斷時點(diǎn)間隔相等間隔不等間隔相等間隔不等兩個時期數(shù)列對比兩個時點(diǎn)數(shù)列對比一個時期數(shù)列和一個時點(diǎn)數(shù)列對比兩個連續(xù)時點(diǎn)數(shù)列兩個間斷時點(diǎn)數(shù)列由靜態(tài)平均數(shù)組成的平均數(shù)時間數(shù)列由動態(tài)平均數(shù)組成的平均數(shù)時間數(shù)列16二、平均發(fā)展水平(動態(tài)平均數(shù)或序時平均數(shù))是將整個時間數(shù)列作為一個整體，對不同時期的發(fā)展水平加以平均而得到平均數(shù)?！o態(tài)平均數(shù)與動態(tài)平均數(shù)的比較：聯(lián)系：P135區(qū)別：1）計算依據(jù)不同靜態(tài)平均數(shù)是根據(jù)變量數(shù)列來計算的；動態(tài)平均數(shù)根據(jù)動態(tài)數(shù)列來計算的。17

2）抽象差異的性質(zhì)不同靜態(tài)平均數(shù)是將同一時間、同一總體的某一數(shù)量標(biāo)志在各總體單位之間的數(shù)量差異抽象化；動態(tài)平均數(shù)是將同一指標(biāo)在不同時間上的數(shù)量差異抽象化。18（一）根據(jù)絕對數(shù)時間數(shù)列計算動態(tài)平均數(shù)1、根據(jù)時期數(shù)列計算動態(tài)平均數(shù)由于時期指標(biāo)具有累加性的特點(diǎn)，累加的結(jié)果表示更長一段時期的總量。因此，可以用簡單算術(shù)平均數(shù)的方法計算其序時平均數(shù)。19我國2001-2005年糧食總產(chǎn)量資料如下：年份(t)20012002200320042005糧食總產(chǎn)量(萬噸)45264

a145706

a243070

a346947

a448401

a5計算：五年期間我國糧食的平均產(chǎn)量。20

（1）連續(xù)時點(diǎn)數(shù)列①間隔相等的連續(xù)時點(diǎn)：簡單算術(shù)平均數(shù)

2、根據(jù)時點(diǎn)數(shù)列計算動態(tài)平均數(shù)某工廠員工出勤情況統(tǒng)計資料如下：時間星期一星期二星期三星期四星期五人數(shù)(人)240244242249250計算：該廠員工本星期平均出勤人數(shù)為：公式：21②間隔不等的連續(xù)時點(diǎn)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式：22※（2）間斷時點(diǎn)數(shù)列①間隔相等的間斷時點(diǎn)數(shù)列當(dāng)掌握的資料是間隔相等的期初或期末資料時，計算動態(tài)平均數(shù)時，假設(shè)時點(diǎn)指標(biāo)在兩個間斷時點(diǎn)間的變動是均勻的。動態(tài)平均數(shù)分兩步計算：第一步：計算出每一間隔的簡單算術(shù)平均數(shù)；a

1

,

a

2

,a

3

,,a

n-1

,

a

n23第二步：將每一間隔的簡單算術(shù)平均數(shù)再計算

簡單算術(shù)平均數(shù)?！罡鶕?jù)n項時點(diǎn)指標(biāo)只能計算出(n-1)項簡單算術(shù)平均數(shù)。24例2：根據(jù)我國2001-2005年年末人口資料計算4年間的年平均人口。=516859.5÷4=129214.875（萬人）年份年末人口數(shù)（萬人）2001127627200212845320031292272004129988200513075625②間隔不相等的間斷時點(diǎn)數(shù)列第一步：計算出每一間隔的簡單算術(shù)平均數(shù)第二步：將每一間隔的簡單算術(shù)平均數(shù)再按時間間隔用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法計算整個時間內(nèi)的動態(tài)平均數(shù)。例題P13626※注意：相對數(shù)絕對不能直接相加用簡單算術(shù)平均數(shù)的方法來計算動態(tài)平均數(shù)。切記?。。。ǘ└鶕?jù)相對數(shù)時間數(shù)列計算動態(tài)平均數(shù)（1）分子、分母均為時期數(shù)列（2）分子、分母均為時點(diǎn)數(shù)列（3）分子、分母為時期或時點(diǎn)數(shù)列27因?yàn)椋?、分子、分母均為時期數(shù)列28例3：某企業(yè)2004年第三季度生產(chǎn)計劃完成情

況見下表所示。

要求：計算其第三季度的平均計劃完成程度。時間7月份8月份9月份a:實(shí)際產(chǎn)量（件）800900950b:計劃產(chǎn)量（件）750800850c:產(chǎn)量計劃完成%c=a/b106.7112.5111.8第三季度平均每月計劃完成程度=291）分子、分母均為間隔相等的間斷時點(diǎn)數(shù)列2、分子、分母均為時點(diǎn)數(shù)列基本公式：兩個變形公式：根據(jù)掌握資料的情況來選擇。30例題見教材P14231應(yīng)該以間隔的長度為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法。2）分子、分母均為間隔不等的間斷時點(diǎn)數(shù)列32時間

1月末

3月末

9月末12月末a:生產(chǎn)工人數(shù)435452462576b:全體職工人數(shù)580580600720c:生產(chǎn)工人占全體職工的%75787780要求：計算該企業(yè)2003年11個月生產(chǎn)工人占全部職工人數(shù)的平均比重。例4：某企業(yè)2003年職工人數(shù)資料：2003年11個月生產(chǎn)工人占全部職工人數(shù)的平均比重33分子數(shù)列為時期數(shù)列，分母數(shù)列為時點(diǎn)數(shù)列例5：根據(jù)2001-2005國內(nèi)生產(chǎn)總值和年末人口數(shù)，計算五年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值。3、分子、分母為時期、時點(diǎn)數(shù)列年份國內(nèi)生產(chǎn)總值(億元)年末總?cè)丝跀?shù)(萬人)2000——1267432001973151276272002102398128453200311669412922720041365151299882005182321130756341、由靜態(tài)平均數(shù)組成的平均數(shù)時間數(shù)列由于靜態(tài)平均數(shù)時間數(shù)列的分子數(shù)列是總體標(biāo)志總量，屬于時期數(shù)列；其分母數(shù)列是總體單位總量，可能是時點(diǎn)數(shù)列，也可能是時期數(shù)列。因此，計算這種靜態(tài)平均數(shù)時間數(shù)列的動態(tài)平均數(shù)和相對數(shù)時間數(shù)列的計算方法相同。（三）根據(jù)平均數(shù)時間數(shù)列計算動態(tài)平均數(shù)35例6：某廠2003年上半年工人勞動生產(chǎn)率資料如下表所示：求該廠上半年平均每人勞動生產(chǎn)率月份工業(yè)總產(chǎn)值（元）a

平均人數(shù)（人）b

工人勞動生產(chǎn)率（元/人）c=a/b

1月份330000605500

2月份396500656100

3月份394400685800

4月份441000706300

5月份468000726500

6月份48300070690036變形方法：加權(quán)平均法

372、由動態(tài)平均數(shù)組成的平均數(shù)時間數(shù)列1）時間長度相等，可以用簡單算術(shù)平均數(shù)的方法計算動態(tài)平均數(shù)。例7：2003年某煤礦各季度平均月產(chǎn)量資料季度一二三四平均月產(chǎn)量（萬噸）180220230210要求：計算全年平均月產(chǎn)量（更長時間的序時平均數(shù)）382）時間長度不等，可以時期長度為權(quán)數(shù)，用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法計算動態(tài)平均數(shù)。例8：2003年某市各期間客車乘客容量的平均人次數(shù)資料如下表：期間（月份）1-23-67-910-1112月平均人次數(shù)(萬人次)400250300280420=306.67（萬人次）要求：計算全年平均每月人次數(shù)。39增減量＝報告期水平－基期水平＞0增長量

增減量＝報告期水平－基期水平＜0減少量由于采用的基期不同，增減量可以分成為：逐期（環(huán)比）增減量和累計增減量。1.逐期增減量=報告期水平–前一期水平

（一）增減量指標(biāo)三、增量指標(biāo)402.累計增減量=報告期水平–某一固定基期水平※3.逐期增減量與累計增減量之間的關(guān)系：逐期增減量之和等于累計增減量要求：計算并填寫下表空白處的指標(biāo)數(shù)值。年份(t)20012002200320042005移動電話用戶（萬戶）14522

a0

20601

a126995

a2

33482

a3

39343

a4逐期增長量——累計增長量——41（二）年距增減量指標(biāo)年距增減量=報告期水平–上年同期水平例10：2004年第一季度我國主要鋼鐵公司鋼鐵產(chǎn)量年距增長量資料如下：單位：萬噸鋼鐵公司04年一季度03年一季度同期增長量寶鋼517486.4？鞍鋼272234？武鋼220205.2？首鋼197190.5？馬鞍山18671.81？可以消除季節(jié)變動的影響，表明同比或同期增減的絕對數(shù)量42

（三）增減1%的絕對值

1.環(huán)比（逐期）增減1%的絕對值=2.定基（累計）增減1%的絕對值=（四）平均增減量平均增減量是將逐期增減量進(jìn)行平均的結(jié)果4344※第三節(jié)動態(tài)數(shù)列的速度分析指標(biāo)速度分析指標(biāo)發(fā)展速度

增減速度平均發(fā)展速度平均增減速度=平均發(fā)展速度–1定基發(fā)展速度=a

i÷a

0

環(huán)比發(fā)展速度=a

i÷a

i-1

定基增減速度=a

i÷a

0–1環(huán)比增減速度=a

i÷a

i-1–1年距發(fā)展速度=a

ji÷a

(j-1)i

年距增減速度=a

ji÷a

(j-1)i–1幾何平均法（水平法）方程式法（累計法）i=1,2,3,…,n；j—第j年，j=1,2,3,…,m45一、發(fā)展速度發(fā)展速度是社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象報告期水平與基期水平對比而得出的相對指標(biāo)。它表明報告期水平已經(jīng)發(fā)展到基期水平的若干倍或百分之幾。基本公式：發(fā)展速度的種類：由于對比的基期不同，發(fā)展速度又定基發(fā)展速度和環(huán)比發(fā)展速度之分。461.定基發(fā)展速度是現(xiàn)象在n期內(nèi)總的發(fā)展速度，又稱之為“總速度”。計算公式為：2.環(huán)比發(fā)展速度是報告期水平與前一期水平之比。計算公式471）定基發(fā)展速度等于環(huán)比發(fā)展速度的連乘積※3.定基發(fā)展速度與環(huán)比發(fā)展速度的關(guān)系2）兩個相鄰時期的定基發(fā)展速度之比，等于相應(yīng)時期的環(huán)比發(fā)展速度。即：483）定基發(fā)展速度與環(huán)比發(fā)展速度的比較圖是某月（或某季）發(fā)展水平與去年同月或同季發(fā)展水平對比的相對發(fā)展程度。定基發(fā)展速度環(huán)比發(fā)展速度4.年距發(fā)展速度49例11：我國2001-2005年移動電話用戶資料年份(t)20012002200320042005移動電話用戶（萬戶）14522

a0

20601

a126995

a2

33482

a3

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a4環(huán)比發(fā)展速度——？？？？定基發(fā)展速度？？？？100%鋼鐵公司04年一季度03年一季度年距發(fā)展速度寶鋼517486.4？鞍鋼272234？武鋼220205.2？首鋼197190.5？馬鞍山18671.81？50增減速度是根據(jù)增減量與其基期發(fā)展水平的對比而求得的相對指標(biāo)。其計算公式為：二、增減速度當(dāng)發(fā)展速度＞100%時，增減速度為正值，表示現(xiàn)象的增長速度常用“增加了”等詞匯來描述或說明；51當(dāng)發(fā)展速度＜100%時，增減速度為負(fù)值，表示現(xiàn)象的降低（或減少）速度常用“減少了”或“降低了”這樣的詞匯予以說明。增減速度的種類：由于對比的基期不同，增減速度可以分為：1.定基增減速度計算公式：522.環(huán)比增減速度※注意：定基增減速度≠環(huán)比增減速度的連乘積兩者之間不存在直接的數(shù)學(xué)換算關(guān)系。53例12：我國2001-2005年移動電話用戶資料年份(t)20012002200320042005移動電話用戶（萬戶）14522

a0

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a126995

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a3

39343

a4環(huán)比發(fā)展速度——定基發(fā)展速度環(huán)比增長速度——定基增長速度——100%要求：填寫上表空白處的指標(biāo)數(shù)值。543.年距增減速度是指年距增減量與上年同期發(fā)展水平對比的相對數(shù)。用于說明在上年同期水平基礎(chǔ)上增加或減少的百分比或倍數(shù)。計算公式：年距增減速度可以消除季節(jié)變動的影響。55平均發(fā)展速度是各期環(huán)比發(fā)展速度的動態(tài)平均數(shù)。計算方法有幾何平均法和方程式法兩種。（一）幾何平均法（水平法）三、平均發(fā)展速度

現(xiàn)象發(fā)展的總速度，不等于各年發(fā)展速度之和而等于各年環(huán)比發(fā)展速度的連乘積。因此，求環(huán)比發(fā)展速度的平均數(shù)，應(yīng)按連乘法，用幾何平均數(shù)公式來計算。56設(shè)X為各期的環(huán)比發(fā)展速度，則從最初水平

a0出發(fā)，以平均發(fā)展速度代替各期的環(huán)比發(fā)展速度，經(jīng)過n期的發(fā)展，正好達(dá)到最末水平

an

，公式為：實(shí)際環(huán)比發(fā)展速度平均發(fā)展速度·······①·······②57例13：我國2001-2005年移動電話用戶資料····③年份(t)20012002200320042005移動電話用戶（萬戶）14522

a0

20601

a126995

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a3

39343

a4環(huán)比發(fā)展速度——定基發(fā)展速度141.9%131.0%124.0%117.5%141.9%185.9%230.6%270.9%100%58適用范圍：①只有當(dāng)整個時期內(nèi)現(xiàn)象的各期水平比較均勻地向同一方向發(fā)展時，平均發(fā)展速度才能反映現(xiàn)象發(fā)展變化的程度的一般水平。如果現(xiàn)象在研究的時期內(nèi)出現(xiàn)了特殊的變化，時升時降，且升降幅度較大時，計算的平均發(fā)展速度就會降低其代表性，甚至失去實(shí)際意義。59②如果個別環(huán)比發(fā)展速度出現(xiàn)負(fù)值或

0時，不僅發(fā)展方向不同，而且經(jīng)濟(jì)意義也有本質(zhì)的差別。例如，利潤指標(biāo)其正值是盈利，負(fù)值則為虧損，這已屬于非同質(zhì)現(xiàn)象了。至于

0

就更無意義了。遇到這種情況時，可以用總速度或分成幾段計算其平均發(fā)展速度，然后再作具體分析。60方程式法的原理：從最初水平a0出發(fā)，各期按平均發(fā)展速度計算發(fā)展水平，則計算的各期發(fā)展水平累計總和，應(yīng)與實(shí)際所具有的各期發(fā)展水平的累積總和相等。列出方程，再求解，便得出平均發(fā)展速度。設(shè)為平均發(fā)展速度，按計算的各期水平的假定值為：（二）方程式法（累計法）61在沒有《平均增長速度查對表》的情況下，可以用計算器采用逐次逼近的方法直接求解高次方程。這種方法的基本思想是在高次方程正根各期的假定（計算）水平各期的實(shí)際水平一元高次方程62范圍內(nèi)進(jìn)行試項，找出正根的區(qū)間范圍，然后利用導(dǎo)函數(shù)切線法進(jìn)行逼近，得出滿足方程式的實(shí)根近似值。導(dǎo)函數(shù)的切線公式為：n=0,1,2,3,…逐項逼近值逼近值的函數(shù)值逼近值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值切線逼近值63只要an+1

≠

an

，就以an+1代替an進(jìn)行逼近試算，這樣就可以步步逼近，在滿足誤差范圍的條件下，直到an+1

=

an為止。尋找正

根區(qū)間以P178，第7題的乙工廠為例說明切線逼近法的運(yùn)用。64根據(jù)下列方程式尋找正根區(qū)間：①＜065可見，落在[1，1.1]區(qū)間內(nèi)。于是，可以用切線逼近法求解平均發(fā)展速度。切線逼近法的基本公式：＞0②66由于a1

≠

a0

，再用a1代替a0進(jìn)行逼近試算由于a4=

a3=1.0453，逐次逼近試算就此結(jié)束平均發(fā)展速度（）=1.0453=104.53%67四、平均增減速度是各期環(huán)比增減速度的平均值。但是，它不能根據(jù)各期環(huán)比增減速度指標(biāo)直接求得，而是要根據(jù)增減速度與發(fā)展速度之間的運(yùn)算關(guān)系，先計算出平均發(fā)展速度指標(biāo)，然后將其減去1或100%，即可求得平均增減速度。平均增減速度=平均發(fā)展速度–1＞0增長速度平均增減速度=平均發(fā)展速度–1＜0降低速度68五、運(yùn)用平均發(fā)展速度時應(yīng)注意的問題1.根據(jù)統(tǒng)計研究目的選擇技術(shù)方法。幾何平均法或方程式法P151-1522.要注意社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的特點(diǎn)。穩(wěn)定地上升或下降——幾何平均法；無規(guī)律地升降交替——方程式法。3.采用分段平均數(shù)來補(bǔ)充說明總平均數(shù)。4.注意速度指標(biāo)與水平指標(biāo)的結(jié)合運(yùn)用。69第四節(jié)長期趨勢的預(yù)測

一、長期趨勢的因素分析二、間隔擴(kuò)大法三、移動平均法四、最小平方法70一、長期趨勢的因素分析（一）動態(tài)數(shù)列變動的影響因素動態(tài)數(shù)列所反映某一數(shù)量特征的發(fā)展變化是由多種復(fù)雜因素共同作用的結(jié)果，可將動態(tài)數(shù)列中的影響因素大致歸納為4類，即長期趨勢T、季節(jié)變動S、循環(huán)變動C和不規(guī)則變動I。711.長期趨勢（Trend）是指現(xiàn)象在一個相當(dāng)長的時期內(nèi)，受某種穩(wěn)定性因素影響所呈現(xiàn)出的上升或下降趨勢，也可以表現(xiàn)為只圍繞某一常數(shù)值而無明顯增減變化的水平趨勢。長期趨勢依其變動的具體形式不同，可以概括地劃分為線性趨勢和非線性趨勢兩類。在經(jīng)濟(jì)管理中，長期趨勢往往反映了經(jīng)濟(jì)總量或經(jīng)營規(guī)模的增長過程及其基本特征，因而長期趨勢模型又稱為增長模型。

722.季節(jié)變動（SeasonalFluctuation）是指現(xiàn)象受季節(jié)更替的影響，以一年為周期隨著時間的變動而呈現(xiàn)的周期性波動。引起季節(jié)變動的原因既有自然因素，如氣候變化、氣象環(huán)境等；也有人為因素，如節(jié)假日、風(fēng)俗習(xí)慣等。季節(jié)變動比較明顯的行業(yè)有：農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸業(yè)、旅游業(yè)、商業(yè)、建筑業(yè)等。733.循環(huán)變動（CyclicalFluctuation）是指社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象圍繞長期趨勢的一種高低往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)則性變動。循環(huán)變動不以一年為周期，通常是由于經(jīng)濟(jì)環(huán)境、經(jīng)濟(jì)因素的變動，及其相互作用而引發(fā)的規(guī)律性波動。744.不規(guī)則變動（IrregularVariations）即為剩余變動，是指動態(tài)數(shù)列中除了長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）和循環(huán)變動（C）之外的，受隨機(jī)的、偶然的、突然發(fā)生的、不規(guī)則的因素引起的一種非趨勢性、非周期性的變動。75（二）動態(tài)數(shù)列變動因素的測定模型將長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）、循環(huán)變動（C）和不規(guī)則變動（I）從動態(tài)數(shù)列中分離出來，然后將這些因素按照一定的方式組合起來，構(gòu)成反映事物及其某一數(shù)量特征發(fā)展變化的某種模型，就是動態(tài)數(shù)列變動因素的測定模型。根據(jù)對動態(tài)數(shù)列中變動因素之間相互關(guān)系的不同假設(shè)，可以組成兩類動態(tài)數(shù)列變動因素的測定模型：加法模型和乘法模型。761.加法模型：當(dāng)動態(tài)數(shù)列中的T、S、C和I呈現(xiàn)出相互獨(dú)立的關(guān)系時，動態(tài)數(shù)列的總變動（Y）表現(xiàn)為4種因素變動的總和。即：

Y=T+S+C+I在加法模型中，T、S、C和I均為絕對數(shù)。2.乘法模型：當(dāng)動態(tài)數(shù)列中的T、S、C和I呈現(xiàn)出相互影響的關(guān)系時，動態(tài)數(shù)列的總變動（Y）表現(xiàn)為4種因素變動的連乘積。即：

Y=T·S·C·I其中：Y、T為絕對數(shù)，S、C和I是相對數(shù)。77二、間隔擴(kuò)大法（時距擴(kuò)大法）間隔擴(kuò)大法的基本思想是將原有數(shù)列中各期指標(biāo)數(shù)值按照較長的時間間隔加以歸并，形成新的時間數(shù)列，以消除偶然因素和季節(jié)變動的影響，顯現(xiàn)出社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的長期變動趨勢。78

1999—2002年某地工業(yè)增加值798081三、移動平均法

移動平均法的基本思想是對原數(shù)列中的指標(biāo)值按一定時間跨度移動，計算出一系列新的序時平均數(shù)，形成新的時間數(shù)列，以消除偶然因素和季節(jié)變動的影響，顯示出長期趨勢。821.移動平均的項數(shù)越多，對數(shù)列的平滑修勻作用越大，效果越好。2.平均項數(shù)為奇數(shù)，只需一次平均；平均項數(shù)為偶數(shù)，則需進(jìn)行二次平均。3.數(shù)列中包含有周期變動的，平均項數(shù)必須與周期長度相同。4.移動平均后，新數(shù)列項數(shù)比原數(shù)列項數(shù)少。

奇數(shù)平均，首尾各少（n-1）/2項偶數(shù)平均，首尾各少n/2項特點(diǎn)：83應(yīng)用最小平方法研究事物的發(fā)展趨勢，需要借助一定的數(shù)學(xué)模型，對原有的動態(tài)數(shù)列擬合一條最接近實(shí)際數(shù)值的趨勢線來進(jìn)行修勻和預(yù)測。擬合的趨勢線必須滿足以下兩個條件：①②這是最小平方法的中心思想（原理）。yc—趨勢線的估計值y—原數(shù)列的實(shí)際數(shù)值※四、最小平方法（最小二乘法）84最小平方法既可以擬合趨勢直線，也可以擬合趨勢曲線。所以它是分析長期趨勢的十分普遍和理想的方法。（一）直線方程的擬合直線方程的特征：如果事物的發(fā)展，其逐期增長量基本相等，則可以考慮擬合一條趨勢直線。直線方程的一般形式為：85我們可以根據(jù)已經(jīng)掌握的y和t歷史資料，運(yùn)用最小平方法求出待定參數(shù)a和b。計算方法是根據(jù)，要使Q為最小值，則要求Q對a和b的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，就可以推導(dǎo)出兩個聯(lián)立方程：86為了計算方便，我們可以對時間t進(jìn)行簡化假設(shè)：2種方法：87①當(dāng)動態(tài)數(shù)列的時間項數(shù)為奇數(shù)時，可以假設(shè)t的中間項為時間原點(diǎn)0，即：19972003這時，時間項數(shù)的排列順序依次為：

······，–

3，–

2，–1，0，1，2，3，······②當(dāng)動態(tài)數(shù)列的時間項數(shù)為偶數(shù)時，可以假設(shè)正中間相鄰兩個時間的中點(diǎn)為時間的原點(diǎn)0即：88這時，時間項數(shù)的排列順序依次為：……，–

5，–

3，–1，1，3，5，……上述假設(shè)使時間

t

的取值正負(fù)抵消，使Σt=

0，則基本聯(lián)立方程可以簡化為：

舉例說明：89例15：某企業(yè)97—03年的產(chǎn)品銷售額資料如下表所示：年份銷售額(y)時間(t)y·tt2yc199784-3-252982.641998

89（5）-2-178489.141999

95（6）-1-95195.642000

101（6）000102.142001

108（7）11081108.642002

115（7）22304115.142003

123（8）33699121.64合計(Σ)715—18228714.98要求：用最小平方法擬合趨勢方程，并計算2004年的趨勢值。（金額單位：萬元）9091由上表可知：Σy=715,Σty=182,Σt

2=28,n=7

將上述資料代入簡化的聯(lián)立方程組中，可得

a=102.14b=6.50

將a、b代入直線方程式中，可得將各年的t

值代入上列方程式中，可得各年的趨勢值yc

?？梢钥闯靓瞴與Σyc基本一致。2004年的銷售額：即當(dāng)t=4時，yc=102.14+6.5×4=128.14（萬元）

92（二）拋物線方程的擬合拋物線方程的特征：如果事物的發(fā)展，其逐期增長量的增長量（即各期的二級增長量）基本相等，則可以考慮擬合一條趨勢曲線——拋物線方程。拋物線方程的一般形式為：拋物線方程的二級增長量是相等的，具體計算過程見下表：

yc=102.14+6.5×4=128.14（萬元）該數(shù)值可作為制定下一年銷售計劃的參考93時間(t)逐期增長量二級增長量1a+b+c——2a+2b+4cb+3c—3a+3b+9cb+5c2c4a+4b+16cb+7c2c5a+5b+25cb+9c2c6a+6b+36cb+11c2c…………………拋物線方程二級增長量計算表94拋物線方程中，有a、b、c三個待定參數(shù)，根據(jù)最小平方法的基本原理，同樣用對a、b、c求一階偏導(dǎo)數(shù)的方法，可以推導(dǎo)出由三個方程組成的基本聯(lián)立方程組：95為了簡化計算，我們同樣可以對時間t

進(jìn)行假設(shè)，方法同直線方程。通過假設(shè)，使Σt=0，Σt

3=0，則上述基本聯(lián)立方程可以簡化為：舉例說明：96例16:某企業(yè)93—03年產(chǎn)品銷量資料如下表所示：單位：萬件時間銷售量（y）逐期增長量二級增長量t19931000——-519941200200—-41995144024040-31996172128141-21997204031938-1199824023624301999280340139120003243440392200137254824232002424652139420034808562415合計28628——097時間銷售量(y)tt

2t

4t·yy·t

219931000-525625-50002500019941200-416256-48001920019951440-3981-43201296019961721-2416-3442688419972040-111-204020401998240200000199928031112803280320003243241664861297220013725398111175335252002424641625616984679362003480852562524040120200Σ28628011019584188630352098通過求解：a=2401.61，b=380.78，c=20.09則拋物線方程式為：y

c=2401.61+380.78

t+20.09

t

2由上表可知：Σy=28628,Σty=41886,n=11Σt

2=110,Σyt

2=303520,Σt

4=1958,

28628=11a+110c41886=110b303520=110a+1958c99當(dāng)需要預(yù)測該企業(yè)2004年產(chǎn)品銷售量時，設(shè)定時間t=6，并將其代入上式，即可得出預(yù)測的2004年的銷售量為：2401.61+380.78×6+20.09×36=5409.53（萬件）（三）指數(shù)方程的擬合如果事物的發(fā)展，其環(huán)比發(fā)展速度（環(huán)比增長速度）基本相等，則可以考慮擬合一條趨勢曲線——指數(shù)方程。100指數(shù)方程的一般形式為：

y

c=

a·b

t