材料力學(xué)《第三章》扭曲

§9-1引言§9-2動(dòng)力傳遞與扭矩§9-3切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律§9-4圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力§9-5極慣性矩與抗扭截面系數(shù)§9-6圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件§9-7圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件*§9-8非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)介第九章扭轉(zhuǎn)一、

工程實(shí)例§9-1引言汽車傳動(dòng)軸、轉(zhuǎn)向盤(pán)軸；機(jī)床傳動(dòng)軸；攻螺紋絲錐；行車傳動(dòng)軸；船舶推進(jìn)軸等。O軸：工程中以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件。AOBgBAf二、特點(diǎn)受力：兩端受一對(duì)大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作

用平面與桿軸線垂直；變形：各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭轉(zhuǎn)角f：任意兩橫截面轉(zhuǎn)過(guò)的角度。如：fABMM一、軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系式中：P—功率，千瓦(kW)

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分(r/min)

M—外力偶矩，牛頓·米(N·m)§9-2動(dòng)力傳遞與扭矩可知：P一定時(shí)，n，

M

工程實(shí)際中常已知軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速，需換算成作用在軸上的外力偶矩：如：一萬(wàn)噸輪，P=7060

kW，n=119

r/min，則：mmx二、扭矩及扭矩圖T1.扭矩Mmm規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的符號(hào)：截面法：MM設(shè)橫截面上的內(nèi)力偶矩為T(mén)：SMx=0T–M=0∴

T=M稱T為扭矩

，為橫截面上內(nèi)力的合力偶矩。

2.扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化情況的圖線。BCAD例1已知一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入PA=500kW，

從動(dòng)輪輸出PB=150kW，PC=150kW，PD=200kW，試?yán)L

制軸的扭矩圖。nMB

MC

MA

MD解：(1)計(jì)算外力偶矩BCADMB

MC

MA

MD(2)各段扭矩n112233BC段：截面1-1B11MBT1SMx=0T1

+MB

=0∴

T1

=–MB=–4.775kN·m

CA段：截面2-2SMx=0T2

+MB

+MC

=0∴

T2

=–MB–MC=–9.55kN·m

AD段：截面3-3SMx=0T3

–MD

=0∴

T3

=MD=6.336kN·m

BC22T2MBMCD33T3MD(3)繪制扭矩圖∴CA段為危險(xiǎn)截面：xT4.7759.556.336BCADMB

MC

MA

MDBACD|T|max

=9.55kN·m

+--T1

=–4.775kN·m

T2

=–9.55kN·m

T3

=6.336kN·m

薄壁圓筒：R0：為圓筒平均半徑。一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形?！?-3切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)：壁厚d≤R0/10兩端加外力偶矩M，使薄壁圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。(1)圓周線形狀、大小、

間距不變，僅繞軸線

相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；推知：實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：(2)縱向線傾斜了角；(3)矩形abcd變成了平行

四邊形a'b'c'd'。(1)過(guò)半徑的縱向截面上無(wú)正應(yīng)力；(2)橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。abcda'b'c'd'截面法：取橫截面m-m分析

A0：為平均半徑處圓的面積?！邎A周各點(diǎn)對(duì)稱于圓心，沿圓周各點(diǎn)

切應(yīng)力

相等，方向與半徑垂直?！遜<<R0，切應(yīng)力

沿壁厚均布。

∴橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力相等，方

向與半徑垂直。取微面積：dA=

d·R0dqdq微內(nèi)力：dA=

d·R0dq對(duì)圓心微力矩：dT=dA·R0=

d·R02dq合力偶矩即為橫截面上的扭矩：dAacdbdxdy''二、純剪切與切應(yīng)力互等定理取微小單元體abcd：左、右側(cè)面(橫截面)：合力：ddy其力偶矩：(ddy)dx上、下底面(縱向截面)：'合力：'ddx其力偶矩：('ddx)dySMz=0('ddx)dy

–(ddy)dx

=0∴'

=切應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)通過(guò)任意一點(diǎn)的兩相互垂直截面上切

應(yīng)力必成對(duì)存在，且數(shù)值相等，方向相反，

兩者都垂直于兩截面的交線，方向同時(shí)指向

或背離這一交線。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)卧w無(wú)正應(yīng)力，只受切應(yīng)力作用。acdbdxdy三、剪切胡克定律切應(yīng)變

g：?jiǎn)卧w直角的改變量。單位：rad(弧度)由試驗(yàn)可得-g

曲線?？芍寒?dāng)≤

p

時(shí)，有''=Gg稱為剪切胡克定律。p：材料的剪切比例極限；

G：材料的切變模量，單位：GPa鋼：G=80GPa對(duì)各向同性材料，有Op在材料的三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，就可以確定第三個(gè)。一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式§9-4圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力1.扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)研究——變形幾何關(guān)系目的：確定橫截面上各點(diǎn)應(yīng)變

分布規(guī)律。圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)：薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：(1)圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但

形狀、大小、間距不變；(2)縱向線仍為直線，但傾斜了角；(3)矩形abcd變成了平行四邊形a'b'c'd'。(1)橫截面上無(wú)正應(yīng)力；假設(shè)：軸的圓形橫截面扭轉(zhuǎn)變形后仍為同樣的圓形平面，其半

徑仍為直線。可知：(2)橫截面上切應(yīng)力方向與半徑垂直。取截面1、截面2之間的微段dx分析：橫截面2相對(duì)截面1轉(zhuǎn)過(guò)df；半徑O2c轉(zhuǎn)到O2c'；縱向線ac傾斜了g角至ac'；表層單元體abcd發(fā)生剪切變形；abcda'b'c'd'變形幾何關(guān)系：cc'=Rdf=gdx表層切應(yīng)變：在橫截面上半徑r處e點(diǎn)：同樣有：ee'=r

df=grdx∴e點(diǎn)切應(yīng)變：(a)扭轉(zhuǎn)角f沿軸線x的變化率，對(duì)給定的截面為一常量。橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律：橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)半徑成正比，方向與半徑垂直。軸線上：r

=0，gr=0軸表層：r

=R，Ttmaxtmax2.物理關(guān)系——剪切胡克定律小變形下為彈性變形，滿足胡克定律：目的：由橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律確定切應(yīng)力分布規(guī)律?！?b)橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)半徑

成正比，方向與半徑垂直并與扭矩方

向一致。即切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。軸線上：r

=0，tr=0軸表層：r

=R，TtmaxtmaxtminTOdA3.靜力學(xué)關(guān)系令將(b)式代入(c)式得：目的：找橫截面上扭矩與切應(yīng)力之間關(guān)系，建立切應(yīng)力計(jì)算公式。取微面積dA，距圓心為r，切應(yīng)力tr微內(nèi)力：rdA對(duì)圓心微力矩：dT=rdA·r整個(gè)橫截面上的內(nèi)力矩即為扭矩T：(c)稱為橫截面對(duì)形心O點(diǎn)的極慣性矩，僅與橫截面的形狀尺寸有關(guān)?！酁橛?jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式。r為計(jì)算圓軸橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的基本公式。將代入(b)式，得：二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力在圓軸表層：rmax=R，有最大切應(yīng)力：令稱為橫截面的抗扭截面系數(shù)，單位：m3，mm3?！嗫芍篧p，tmax∴Wp代表截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。注意：公式適用于彈性變形范圍內(nèi)的圓截面直桿。OD§9-5極慣性矩與抗扭截面系數(shù)一、實(shí)心圓截面d取微面積：dA=2prdr，距圓心為r，∴單位：m4，cm4，mm4。單位：m3，cm3，mm3。工程中近似可?。篧p=0.2D3二、空心圓截面外徑：D內(nèi)徑：d可求得：DOd一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力低碳鋼試件：鑄鐵試件：§9-6圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)：扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。由試驗(yàn)可知：先發(fā)生屈服，產(chǎn)生較大的塑性變形，最后沿橫截面斷開(kāi)。由試驗(yàn)可得扭轉(zhuǎn)屈服極限：ts變形很小，無(wú)屈服現(xiàn)象，最后沿與軸線約成45的螺旋面斷裂。由試驗(yàn)可得扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限：tb二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力：強(qiáng)度條件：對(duì)等截面圓軸：(1)強(qiáng)度校核(2)設(shè)計(jì)截面尺寸(3)確定許可載荷最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。對(duì)階梯圓軸要分段考慮確定tmax。圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算：由得：空心圓軸：由Tmax[M][P]例2功率為150kW，轉(zhuǎn)速為924r/min的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，

材料許用切應(yīng)力

[]=30MPa。試校核其強(qiáng)度。1550N·m解：(1)確定外力偶矩(3)校核強(qiáng)度∴此軸滿足強(qiáng)度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCMMTx(2)扭矩及扭矩圖作扭矩圖。一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式對(duì)同材料等截面圓軸，只在兩端有外力偶作用時(shí)，T、Ip不變：§9-7圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件得：∴扭轉(zhuǎn)角為圓軸扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式。f單位：弧度(rad)。由上式可知：T、l

一定時(shí)，GIp，f∴稱GIp為圓軸截面的抗扭剛度。表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件∵

：rad/m，[]：o/m對(duì)一般傳動(dòng)軸：[]=(0.5~1.0)o/m當(dāng)圓軸的T、Ip分段變化時(shí)：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：在工程實(shí)際中，對(duì)軸類構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)變形有一定限制，即要求有一定的扭轉(zhuǎn)剛度。在工程上限制，使其不超過(guò)許用扭轉(zhuǎn)角[]：∴對(duì)精密機(jī)械的軸：[]=(0.25~0.50)o/m三種類型的剛度計(jì)算：(1)校核軸的剛度(2)設(shè)計(jì)軸的直徑(3)確定許可載荷按剛度條件確定軸直徑時(shí)：由得：空心軸：在同時(shí)按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸直徑時(shí)，應(yīng)選擇其中較大的直徑。例3例1中傳動(dòng)軸為鋼制實(shí)心軸，許用切應(yīng)力

[]=30MPa，

[

]

=0.3o/m，G=80Gpa。

試按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑

D。解：應(yīng)先作出軸的扭矩圖，確定Tmax，在例１中完成。BCADMB

MC

MA

MDCA段：|T|max

=9.55kN·m。(1)強(qiáng)度條件(2)剛度條件∴

D≥12.34cm，圓整，取D=12.5cm例4某汽車的主傳動(dòng)軸用40鋼鋼管制成，鋼管外徑，D=76mm，

壁厚d=2.5mm，軸傳遞轉(zhuǎn)矩M=1.98kN·m。材料的許用切

應(yīng)力

[]=100MPa，G=80GPa，軸[

]

=2o/m。

試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。解：(1)軸的扭矩M

MT=M=1.98kN·m。(2)強(qiáng)度校核∴滿足強(qiáng)度要求。(3)剛度校核∴滿足剛度要求。例5如將例4中的空心軸改為同一材料的實(shí)心軸，且仍使

max=

96.4MPa。

試確定實(shí)心軸的直徑

d，并比較兩者的重量。解：(1)確定實(shí)心軸的直徑

dM

M∴(2)比較兩者的重量∴兩者的重量比空心軸：實(shí)心軸：可知：此時(shí)在承載能力相同的條件下，空心軸的重量只為實(shí)心

軸的1/3，比實(shí)心軸節(jié)省材料。為什么空心軸能節(jié)省材料呢？由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布圖可知：在實(shí)心軸中靠近軸心處的切應(yīng)力很小，這部分材料沒(méi)有充分發(fā)揮作用。若將這部分材料向外移，制成空心軸，使其承擔(dān)較大的應(yīng)力。T同時(shí)材料離軸心遠(yuǎn)了，內(nèi)力的力臂增大了，軸的抗扭能力更加增大。Ttmin在橫截面面積相同時(shí)，由實(shí)心軸改為空心軸后，Ip、Wp都大幅度增大，軸的強(qiáng)度和剛度都有較大提高。且節(jié)約材料，重量輕。∴空心圓截面是軸的合理截面，可提高扭

轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度，且節(jié)約材料，重量輕。在工程中空心圓軸有著較多的應(yīng)用。