第七章系統(tǒng)函數(shù)

第七章系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)§7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性連續(xù)系統(tǒng)零點極點一、H(s)的零、極點與時域響應sjw0ε(t)e-t

ε(t)et

ε(t)1-1111sjw0-11sin(t)e-tε(t)sin(t)etε(t)sin(t)ε(t)1-1H(s)的極點分布與時域函數(shù)的對應關系LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。(1)若H(s)的極點位于s左半平面,則沖激響應的模式為衰減指數(shù)或衰減振蕩,當t→∞時,它們趨于零,系統(tǒng)屬于穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)若H(s)的極點位于s右半平面,則沖激響應的模式為增長指數(shù)或增長振蕩,當t→∞時,它們趨于無限大,系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)若H(s)的單極點位于虛軸（包括原點）,則沖激響應的模式為等幅振蕩或階躍函數(shù),系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。(4)若位于虛軸（包括原點）的極點為n重極點(n≥2),則沖激響應的模式呈增長形式,系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。二、

H(s)與系統(tǒng)的頻率特性若系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點全部在左半平面，即H(s)的收斂域包含jω軸，則令則式又可以表示為幅頻響應相頻響應例：已知二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為式中，α＞0,ω0＞0,ω0＞α

。粗略畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。

解

H(s)有一個零點s1=α;有兩個極點，分別為式中，。于是H(s)又可表示為由于H(s)的極點p1和p2都在左半平面，因此，系統(tǒng)的頻率特性為令則H(jω)又可表示為幅頻特性和相頻特性分別為(a)H(s)零、極點的矢量和差矢量表示；(b)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一般情況下,可以認為,若系統(tǒng)函數(shù)有一對非常靠近虛軸的共軛極點p1,2=-α±jβ

，則在ω=β附近處,幅頻特性出現(xiàn)峰值,相頻特性迅速減小。類似地，若系統(tǒng)函數(shù)有一對非?？拷撦S的共軛零點s1,2=-a±jb，則在ω=b附近處,幅頻特性出現(xiàn)谷值,相頻特性迅速上升。全通函數(shù)系統(tǒng)位于極點左半平面，零點位于右半平面，且零點極點對于jω軸互為鏡象對稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡。全通，即幅頻特性為常數(shù)，對所有頻率的信號都一律平等的傳輸。從對稱零點極點之和為180度逐漸減少最后為-360度最小相移函數(shù)非最小相移網(wǎng)絡可以看成最小相移網(wǎng)絡和全通網(wǎng)絡的極聯(lián)零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)，相應的網(wǎng)絡稱為“最小相移網(wǎng)絡”相互抵消乘§7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)是指響應不出現(xiàn)于激勵之前的系統(tǒng)。即：對于系統(tǒng)：若t<t0或k<k0時，f(?)=0則t<t0或k<k0時，yf(?)=0連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件為：沖激響應：h(t)=0，t<0

或系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域為：Re[s]>σ0離散因果系統(tǒng)的充要條件為：單位樣值響應：h(k)=0，k<0

或系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為：|z|>R0二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個系統(tǒng)，若對有界的激勵f(?)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應yf(?)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。即，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。LTI連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是：M為有限正實數(shù)系統(tǒng)的沖激響應h(t)絕對可積。即充分性：設線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t)有界，即|f(t)|≤Mf。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為證明：若h(t)絕對可積，由于因此必要性：所謂式對系統(tǒng)穩(wěn)定是必要的，是當h(t)不滿足絕對可積條件時，則至少有某個有界輸入f(t)產(chǎn)生無界輸出yf(t)。為此，設f(t)有界，則f(-t)也有界，并且表示為h(t)＞0h(t)=0h(t)＜0于是有因為若h(t)不絕對可積，即令t=0,根據(jù)則有則yf(0)=∞所以，h(t)絕對可積是必要的。如果系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，則穩(wěn)定性的充要條件為：s域的穩(wěn)定條件：特別指出：在jω軸上的一階極點也會使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。這類系統(tǒng)成為邊界（臨界）穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點位于的左半s平面。例：判斷下述因果系統(tǒng)是否穩(wěn)定（1）極點為s=-1和s=-2，都在s左半平面。 解:顯然輸出也有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。若激勵為有界輸入ε(t)，則其輸出為（2）極點為±j0，是虛軸上的一對共軛極點。顯然，輸出不是有界信號，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。若激勵為有界輸入sin(0t)ε(t)，則其輸出為穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的特點對于穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的極點位于左半s平面，即A(s)的根的實部應為負數(shù)若有實根，A(s)中分解因子為(s+α),其中α>0若有共軛復根，A(s)中分解因子為(s+α＋jβ)(s+α－jβ),其中α>0對于穩(wěn)定系統(tǒng)，多項式A(s)的系數(shù)ai都是正實數(shù)，且無缺項。是必要條件，但不是充分條件如羅斯-霍爾維茲準則H(s)的分母多項式為H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)羅斯陣列羅斯判據(jù)(羅斯準則)指出：多項式A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。若第一列元素的值不是全為正值，則表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符號改變的次數(shù)(從正值到負值或從負值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無缺項并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件，然后進一步再利用羅斯-霍爾維茲準則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。判斷線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：根據(jù)霍爾維茲多項式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺項(至少一項為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項式，故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。例已知三個線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為判斷三個系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定不穩(wěn)定H3(s)的分母為A3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列為因為A3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準則，H3(s)對應的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。例圖所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為K取何值時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。解:

令加法器的輸出為X(s)，則有由上式得根據(jù)H(s)的分母構成羅斯陣列，得根據(jù)R-H準則，若