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空間直線與平面的夾檢：<3分鐘A1B1C1D1－ABCD的棱長為1O是底A1B1C1D1的中心，則直線OA與平A1B1CD的夾角

【答案】3引：<10在立體幾何中，在立體幾何中，直線與平面的夾角是如何定義1下示意圖。90；當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線與平面平行時，定義之間與平面的夾角為0。顯然，直線與 在空間坐標(biāo)系在空間坐標(biāo)系中，直線的方向是如果進(jìn)行代數(shù)化研究的在空間坐標(biāo)系在空間坐標(biāo)系中，平面的方向是如果進(jìn)行代數(shù)化研究的思考 思考在空間坐標(biāo)系中，如何計算兩個向量的夾角【答案】cosab

a思考 例：在A1B1C1D1－ABCD畫出直線ABAC1所夾的平面角畫出向量ABAC1所夾的平，并判斷是什么關(guān)畫出向量BAAC1所夾的平面角，并判斷與是什直線所夾的角的取值范圍是0,90；而對應(yīng)的兩個向量所夾的角的范圍更大，取值范0,180。當(dāng)兩個向量的夾角大于90時，該角與它們所在直線的夾角是互補(bǔ)的關(guān)系思考在在計算中，我們可以通過怎樣的處理，通過向量準(zhǔn)確求出它們所在直線【答案】：在利用公式

aab 計算中，對公式采用絕對值化處理，可以保證aa的角即為對應(yīng)直線的夾角。令這個夾角為，可得cos講：<15分鐘例題正三棱A1B1C1－ABC的底面邊長為a，側(cè)棱長為2aAC1ABB1A1所]:]:思考 例：正A1B1C1D1－ABCD的棱長為1O是底A1B1C1D1的中根據(jù)立體幾何中直線與平面夾角的定義，畫出直線A與平面A1B1D的夾角所對應(yīng)畫出直線OA所對應(yīng)的向量與A1B1CD的法向量，并利用平移的方法畫出兩個向比較兩個平面角的邊的關(guān)系，并得出兩個平面角之間的關(guān)系兩個互余的角兩個互余的角的三角函數(shù)值之間有什么樣的關(guān)【答案】：如果90，則cossin思考總結(jié)一下，利用直線所對應(yīng)的向量a總結(jié)一下，利用直線所對應(yīng)的向量a和平面的法向量n求直線與平面所成的角用絕對值和sin的原因?！敬鸢浮縮in

a例題如圖所示，在三棱錐PABCABBC6，平面PAC平面ABCPDDAD1CD3PD3APPBC B:【答案】4aan求出角總結(jié)直線與平面所成的角的計算包括哪些步驟和公式 探究如何求出斜線在平 影所對應(yīng)的向量【答案】：斜線a在平面內(nèi)的投影b滿足兩個條件：（1）a、b及平面n共面（

a0，an 快速練習(xí)：<7分鐘1、ABCDABBC2ADASABCDAD//BCABBCASAB。求直線SC與底面ABCD的夾角的余弦【答案】：32、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中EF、G分別是棱BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)，求直線BG與平面AEFD所成的角的正弦值?！敬鸢浮?3、如圖，在體積為1的直三ABCA1B1C1，ACB90，ACBC1，求直線BB1C1C所成角的正弦【答案】：64、如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面為等腰AC⊥BD，垂H，PH是四棱錐的高，EAD的中點(diǎn)證明若∠APB＝∠ADB＝60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值【答案】：（1）略（2） 4 檢：<3分鐘在棱長為1的正方體AC1中，求平面C1BD與底面ABCD所成二面角C1BDC的平面角 【答案】：3引：<10分鐘在立體幾何中在立體幾何中，二面角是如何定義的（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面)。以二面角的公共直線上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩二面角的取值范圍0,180在空間直角坐在空間直角坐標(biāo)系中，應(yīng)該如何對二面角運(yùn)算進(jìn)行代數(shù)化呢【答案】：通過半平面的法向量代數(shù)化它們的方向，再利用向量方法計算夾角講：<15分鐘例題在正四ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2EAD中點(diǎn),F為CC1中點(diǎn)求證ADD1F；（Ⅱ）求證CE平面AD1F平面AD1F與底面ABCD所成答案：（1） （2）6]:]:思考例：在A1B1C1D1－ABCD畫出二BADB1的平面角AA1BA1ADCBADC1B1AA1BA1所夾的平面角，并判斷是什么關(guān)系A(chǔ)1ABA1ADCBADC1B1A1ABA1所夾的平面角，并判斷與是什么關(guān)系總結(jié)一下，利用兩個半平面的法向量mn求二面角的公式【答案】：兩個總結(jié)一下，利用兩個半平面的法向量mn求二面角的公式思考【答案coscosn1n2n1。例題2：如圖，直三ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1

證明：BC1∥平面求二面角D－A1C－E的正弦答案：（1）略（2）3nn1n26判斷二面角是銳角還是鈍角，求出角總結(jié)二面角的計算包括哪些步驟和公式 探究如何判斷所求的二面角是銳角還是鈍角【答案】通過圖形直觀判斷幾何法：在其中一個半平面內(nèi)（非兩個半平面交線上）垂足如果落在另一個半平面內(nèi)部，二面角小于90；落在半平面外部，二面角大于90；在交線上，二面角等于向量法：對于半平面和它們的法向量mn，在兩個半平面內(nèi)除交線上各取點(diǎn)AB(mn)(mAB)(nAB)0二面角小于90；mnmABnAB0，二面角大于90mnmABnAB0，二面角等于90?？焖倬毩?xí)：<7分鐘1、已知棱1的正ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1與平ABCD所成的二面角的【答案】：32、如圖，直平行六面體ADDA-BCCB中BC=1,CC=2,AB(Ⅰ)求證C1B平面ABC

2,BCC1 36【答案】：3、如圖，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2ACACB120PCABC，直線AM與直線PC所成的角60，求二面角MACB的平面角的余弦值【答案】：74、如圖，在圓錐PO中，已知PO＝2，⊙OAB＝2，C是AB的中點(diǎn)，DAC的中證明：平面POD⊥平面求二面角B－PA－C的余弦值【答案】：5 1下示意圖。檢：<3分鐘正方體A1B1C1D1－ABCD的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O與平面AB1C的 【答案】：3引：<10分鐘在立體幾何中在立體幾何中，點(diǎn)到平面的距離是如何定義的平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為0。在實(shí)際測量時，過平面外一點(diǎn)做平面的垂線，點(diǎn)到垂足的在空間坐標(biāo)系中，在空間坐標(biāo)系中，應(yīng)該如何對點(diǎn)到垂足的距離運(yùn)算進(jìn)行代數(shù)化呢【答案】：在向量代數(shù)中，距離使用向量的模來進(jìn)行計算，可以通過計算向量OO1模得到O點(diǎn)到平面的距離。在實(shí)際計算中，求向量OO1需要首先確定點(diǎn)O1的位置，很不講：<15分鐘1：在四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB＝BC＝2，E10，求的中點(diǎn)，若異面直線ADBE所成角的10，求

B到平面ACD的距離4【答案】3]:]:總結(jié)一下，點(diǎn)到總結(jié)一下，點(diǎn)到直線距離的公OPn【答OPn

，其中點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一2：在直三ABCA1B1C1中，BAC＝90，ABBB11與平面ABC所成的角為30試求點(diǎn)C1到平面AB1C的距離【答案】： 2 總結(jié)點(diǎn)O到平面距離d的計算包括哪些步驟和公

在平面求出平面的法向量n面P，寫出向量OP1探究【答案1中求得的距離是向量OP在平面上的投影長度稱為標(biāo)量投影；向量

OPdn通常被稱為向量OP在平面上的矢量投影，它的方向和平面的法向量方向一致，長OP

nOPnn。垂等于向量OP在平面上的標(biāo)量投影，可以如下計算：OO 12 2O1的坐標(biāo)等于點(diǎn)O的坐標(biāo)加向量OO1，即快速練習(xí)：<7分鐘1、在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面BDD1B1的 C.【答案】

3D.22、如圖所示，在直平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥DC，BD＝DC＝1，點(diǎn)E在上，且AE＝1AA1＝1.DC1⊥BE.則點(diǎn)B到平面EDC1的距離 【答案】33、如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離．【答案】74、如圖所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為3，底面是邊長為4，且的菱BC－D的大小O1BC的距離【答案】（1）60（2）探究 題的方向，和計算上更加簡單直接有力。思想就是通過直角坐標(biāo)代數(shù)化，用更直基礎(chǔ)難度1、若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150，則直線l與平面α所成的角等 D．以上均2、二面角是 兩個平面相交所組成的圖一個平面繞這個平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的從一個平面內(nèi)的一條直線出發(fā)的一個半平面與這個平面所組成的圖從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖【答 【答案】：700

2a，到棱的距離為2a，則此4、把等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，若∠BAC=600，則此二 【答案5、已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在α內(nèi)，則P(－2,1,4)到α的距 D.【答案】6、已知長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2ADAA11，則直BD1與平面 C D． 【答17、在三P－ABC中2

PAO、DAC、PC的中點(diǎn)底面ABC，則直線OD與平面PBC所成角的正弦值 A． B．8

【答8、在直三ABCABC中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側(cè)棱AA211 D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．則A1B與平面ABD所成角的余弦值（ 2

C． D．7 7【答

，DCB延長線上一點(diǎn)11 且BDBC，則二面角B1ADB的大小

C 【答10、如圖,已知ABCA1B1C1是各條棱長均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．點(diǎn)C1到平面AB1D的距離（ 4

8

4

2 D B【答11、已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為（

2

D． 【答12、 的二面角的一個面內(nèi)有一點(diǎn)，它到另一個面的距離為10cm，求它到棱的距離【答中等難度13、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中ACBCACBCCC1，MAB的中點(diǎn)求證BC1MA1C求直線BC1AA1B1B所成角的大小 【答案】：3014、正ABCA1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為2aACABB1A1所成的角【答案分別是CC1A1B的中E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求點(diǎn)A1到平面AED的距離．【答案】2316、如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90證明求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值【答案】：（1）略（2）717、如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，ABC 4OA底面ABCD,OA2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn)MN‖平面OCD求異面ABMD所成角的大小求點(diǎn)B到平面OCD的距離【答案】（1）略3

318、如圖，四PABCD中，底面ABCD為正方PAPDPA平面PDCE為棱PD的中點(diǎn)求證PB//平面EAC求證PAD平面ABCD求二面角EACB的余弦值【答案】（1）略（2） （3） 19、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中BAC90ABACAA12,EBC中點(diǎn)求證A1B//AEC1若棱AA1上存在一點(diǎn)M，滿足B1MC1E，求AM的長AEC1ABB1A1所成銳二面角的余弦值CB【答案】（1） （2）1（3）3進(jìn)階難度20、如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90，PA⊥1ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝1，MPB的中點(diǎn)PADACPB所成角的余弦值求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值【答案】（1）