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文檔簡介
長風破浪會有時,直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年衡水職業(yè)技術學院高職單招(數(shù)學)試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點的概率為,則μ為()
A.1
B.4
C.2
D.不能確定答案:B2.設a,b,c都是正數(shù),求證:
(1)(a+b+c)≥9;
(2)(a+b+c)≥.答案:證明略解析:證明
(1)∵a,b,c都是正數(shù),∴a+b+c≥3,++≥3.∴(a+b+c)≥9,當且僅當a=b=c時,等號成立.(2)∵(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3,又≥,∴(a+b+c)≥,當且僅當a=b=c時,等號成立.3.直線ax+2y+3=0和直線2x+ay-1=0具有相同的方向向量,則a=______.答案:∵直線ax+2y+3=0和直線2x+ay-1=0具有相同的方向向量∴兩條直線互相平行,可得a2=2a≠3-1,解之得a=±2故為:±24.已知|a=2,|b|=1,a與b的夾角為60°,求向量.a+2b與2a+b的夾角.答案:由題意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,設a+2b與2a+b夾角為θ,則cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,則θ=arccos57145.一個簡單多面體的面都是三角形,頂點數(shù)V=6,則它的面數(shù)為______個.答案:∵已知多面體的每個面有三條邊,每相鄰兩條邊重合為一條棱,∴棱數(shù)E=32F,代入公式V+F-E=2,得F=2V-4.∵V=6,∴F=8,E=12,即多面體的面數(shù)F為8,棱數(shù)E為12.故為8.6.方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是()
A.(-5,-4]
B.(-∞,-4]
C.(-∞,-2]
D.(-∞,-5)∪(-5,-4]答案:A7.已知直線l經(jīng)過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截得的線段的中點M在直線x+y-3=0上.求直線l的方程.答案:∵點M在直線x+y-3=0上,∴設點M坐標為(t,3-t),則點M到l1、l2的距離相等,即|2t-2|2=|2t-4|2,解得t=32∴M(32,32)又l過點A(2,4),即5x-y-6=0,故直線l的方程為5x-y-6=0.8.如圖,在⊙O中,AB是弦,AC是⊙O的切線,A是切點,過
B作BD⊥AC于D,BD交⊙O于E點,若AE平分
∠BAD,則∠BAD=()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
答案:D9.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正確的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1與z2為虛數(shù),故不能比較大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故選D.10.甲射擊運動員擊中目標為事件A,乙射擊運動員擊中目標為事件B,則事件A,B為()
A.互斥事件
B.獨立事件
C.對立事件
D.不相互獨立事件答案:B11.下列幾種說法正確的個數(shù)是()
①相等的角在直觀圖中對應的角仍然相等;
②相等的線段在直觀圖中對應的線段仍然相等;
③平行的線段在直觀圖中對應的線段仍然平行;
④線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點.
A.1
B.2
C.3
D.4答案:B12.甲乙兩人在罰球線投球命中的概率為,甲乙兩人在罰球線上各投球一次,則恰好兩人都中的概率為()
A.
B.
C.
D.答案:A13.用反證法證明命題“在函數(shù)f(x)=x2+px+q中,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至少有一個不小于”時,假設正確的是()
A.假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一個小于
B.假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有兩個小于
C.假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于
D.假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于答案:D14.設a1,a2,…,an為正數(shù),求證:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an.答案:證明:不妨設a1>a2>…>an>0,則a12>a22>…>an2,1a1<1a2<…1an由排序原理:亂序和≥反序和,可得:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an.15.已知拋物線y2=4x上兩定點A、B分別在對稱軸兩側(cè),F(xiàn)為焦點,且|AF|=2,|BF|=5,在拋物線的AOB一段上求一點P,使S△ABP最大,并求面積最大值.答案:不妨設點A在第一象限,B點在第四象限.如圖.拋物線的焦點F(1,0),點A在第一象限,設A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直線AB的方程為y-2-4-2=x-14-1,化簡得2x+y-4=0.…(8分)再設在拋物線AOB這段曲線上任一點P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.則點P到直線AB的距離d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以當y0=-1時,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面積最大值為S=12×35×9510=274
…(11分)此時P點坐標為(14,-1).…(12分).16.若直線x=1的傾斜角為α,則α等于()A.0°B.45°C.90°D.不存在答案:直線x=1與x軸垂直,故直線的傾斜角是90°,故選C.17.設復數(shù)z=x+yi(x,y∈R)與復平面上點P(x,y)對應.
(1)設復數(shù)z滿足條件|z+3|+(-1)n|z-3|=3a+(-1)na(其中n∈N*,常數(shù)a∈
(32
,
3)),當n為奇數(shù)時,動點P(x,y)的軌跡為C1;當n為偶數(shù)時,動點P(x,y)的軌跡為C2,且兩條曲線都經(jīng)過點D(2,2),求軌跡C1與C2的方程;
(2)在(1)的條件下,軌跡C2上存在點A,使點A與點B(x0,0)(x0>0)的最小距離不小于233,求實數(shù)x0的取值范圍.答案:(1)方法1:①當n為奇數(shù)時,|z+3|-|z-3|=2a,常數(shù)a∈
(32
,
3),軌跡C1為雙曲線,其方程為x2a2-y29-a2=1;…(3分)②當n為偶數(shù)時,|z+3|+|z-3|=4a,常數(shù)a∈
(32
,
3),軌跡C2為橢圓,其方程為x24a2+y24a2-9=1;…(6分)依題意得方程組44a2+24a2-9=14a2-29-a2=1?4a4-45a2+99=0a4-15a2+36=0
,解得a2=3,因為32<a<3,所以a=3,此時軌跡為C1與C2的方程分別是:x23-y26=1(x>0),x212+y23=1.…(9分)方法2:依題意得|z+3|+|z-3|=4a|z+3|-|z-3|=2a?|z+3|=3a|z-3|=a…(3分)軌跡為C1與C2都經(jīng)過點D(2,2),且點D(2,2)對應的復數(shù)z=2+2i,代入上式得a=3,…(6分)即|z+3|-|z-3|=23對應的軌跡C1是雙曲線,方程為x23-y26=1(x>0);|z+3|+|z-3|=43對應的軌跡C2是橢圓,方程為x212+y23=1.…(9分)(2)由(1)知,軌跡C2:x212+y23=1,設點A的坐標為(x,y),則|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-14x2=34x2-2x0x+x20+3=34(x-43x0)2+3-13x20,x∈[-23,23]…(12分)當0<43x0≤23即0<x0≤332時,|AB|2min=3-13x20≥43?0<x0≤5當43x0>23即x0>332時,|AB|min=|x0-23|≥233?x0≥833,…(16分)綜上,0<x0≤5或x0≥833.…(18分)18.空間中,若向量=(5,9,m),=(1,-1,2),=(2,5,1)共面,則m=()
A.2
B.3
C.4
D.5答案:C19.已知Sn=1+12+13+14+…+12n(n>1,n∈N*).求證:S2n>1+n2(n≥2,n∈N*).答案:證明:(1)當n=2時,左邊=1+12+13+14=2512,右邊=1+22=2,∴左邊>右邊(2)假設n=k(k≥2)時不等式成立,即S
2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2,當n=k+1時,不等式左邊S2(k+1)=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1>1+k2+12k+1+…+12k+1>1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,綜上(1)(2)可知S2n>1+n2對于任意的n≥2正整數(shù)成立.20.已知一次函數(shù)y=(2k-4)x-1在R上是減函數(shù),則k的取值范圍是()A.k>2B.k≥2C.k<2D.k≤2答案:因為函數(shù)y=(2k-4)x-1為R上是減函數(shù)?該一次函數(shù)的一次項的系數(shù)為負?2k-4<0?k<2.故為:C21.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦點在x軸上的雙曲線,則k的取值范圍為(
)
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1答案:A22.(每題6分共12分)解不等式
(1)(2)答案:(1)(2)解析:本試題主要是考查了分式不等式和一元二次不等式的求解,以及含有根式的二次不等式的求解運用。(1)移向,通分,合并,將分式化為整式,然后得到解集。(2)首先分析函數(shù)式有意義的x的取值,然后保證兩邊都有意義的時候,且都為正,兩邊平方求解得到。解:(2)當8-x<0顯然成立。當8-x》0時,則兩邊平方可得。所以23.在極坐標系中,點A的極坐標為(2,0),直線l的極坐標方程為ρ(cosθ+sinθ)+2=0,則點A到直線l的距離為______.答案:由題意得點A(2,0),直線l為
ρ(cosθ+sinθ)+2=0,即
x+y+2=0,∴點A到直線l的距離為
|2+0+2|2=22,故為22.24.直線4x-3y+5=0與直線8x-6y+5=0的距離為______.答案:直線4x-3y+5=0即8x-6y+10=0,由兩平行線間的距離公式得:直線4x-3y+5=0(8x-6y+10=0)與直線8x-6y+5=0的距離是
|10-5|62+82=12,故為:12.25.若一次函數(shù)y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函數(shù),則有()A.b>0B.b<0C.m>0D.m<0答案:∵一次函數(shù)y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函數(shù),∴一次項系數(shù)m>0,故選C.26.每一噸鑄鐵成本y
(元)與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x,下列說法正確的是()A.廢品率每增加1%,成本每噸增加64元B.廢品率每增加1%,成本每噸增加8%C.廢品率每增加1%,成本每噸增加8元D.如果廢品率增加1%,則每噸成本為56元答案:∵回歸方程y=56+8x,∴當x增加一個單位時,對應的y要增加8個單位,這里是平均增加8個單位,故選C.27.函數(shù)y=(12)x的值域為______.答案:因為函數(shù)y=(12)x是指數(shù)函數(shù),所以它的值域是(0,+∞).故為:(0,+∞).28.若向量a=(3,0),b=(2,2),則a與b夾角的大小是()
A.0
B.
C.
D.答案:B29.已知點A(1,0,-3)和向量AB=(-1,-2,0),則點B的坐標為______.答案:設B(x,y,z),根據(jù)向量的坐標運算,AB=(x,y,z)
-
(1,0,-3)=(x-1,y,z+3)=(-1,-2,0)∴x=0,y=-2,z=-3.故為:(0,-2,-3).30.設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦點,過F1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列,則|AB|的長為______.答案:∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列∴|AF2|+|BF2|=2|AB|,又橢圓E:x2+y2b2=1(0<b<1)中a=1∴|AF2|+|AB|+|BF2|=4,∴3|AB|=4,∴|AB|=43故為:4331.若直線3x+4y+m=0與曲線x=1+cosθy=-2+sinθ(θ為參數(shù))沒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是
______.答案:∵曲線x=1+cosθy=-2+sinθ(θ為參數(shù))的普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1則圓心(1,-2)到直線3x+4y+m=0的距離d=|3?1+4(-2)+m|32+42=|m-5|5,令|m-5|5>1,得m>10或m<0.故為:m>10或m<0.32.已知橢圓C的左右焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),離心率22,直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求弦AB的長度.答案:(本小題滿分13分)(1)依題意可設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)…(1分)則c=2e=ca=22,解得a=22c=2…(3分)∴b2=a2-c2=8-4=4…(5分)∴橢圓C的方程為x28+y24=1…(6分)(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)…(7分)聯(lián)立方程x28+y24=1y=x-1,消去y,并整理得:3x2-4x-6=0…(9分)∴x1+x2=43x1?x2=-2…(10分)∴|AB|=1+12|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]
=2[(43)2-4×(-2)]=4113…(12分)∴|AB|=4113…(13分)33.一位運動員投擲鉛球的成績是14m,當鉛球運行的水平距離是6m時,達到最大高度4m.若鉛球運行的路線是拋物線,則鉛球出手時距地面的高度是()
A.2.25m
B.2.15m
C.1.85m
D.1.75m
答案:D34.等腰三角形兩腰所在的直線方程是l1:7x-y-9=0,l2:x+y-7=0,它的底邊所在直線經(jīng)過點A(3,-8),求底邊所在直線方程.答案:設l1,l2,底邊所在直線的斜率分別為k1,k2,k;由l1:7x-y-9=0得y=7x-9,所以k1=7,由l2:x+y-7=0得y=-x+7,所以k2=-1;…(2分)如圖,由等腰三角形性質(zhì),可知:l到l1的角=l2到l的角;由到角公式得:7-k1+7k=k-(-1)1+k(-1)…(4分)解出:k=-3或k=13…(6分)由已知:底邊經(jīng)過點A(3,-8),代入點斜式,得出直線方程:y-(-8)=(-3)(x-3)或y-(-8)=13(x-3)…(7分)3x+y-1=0或x-3y-27=0.…(8分)35.如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,點O在AB上,BD⊥AB,點B是垂足,OD∥AC,連接CD.
求證:CD是⊙O的切線.答案:證明:連接CO,(1分)∵OD∥AC,∴∠COD=∠ACO,∠CAO=∠DOB.(3分)∵∠ACO=∠CAO,∴∠COD=∠DOB.(6分)∵OD=OD,OC=OB,∴△COD≌△BOD.(8分)∴∠OCD=∠OBD=90°.∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切線.(10分)36.若a2+b2+c2=1,則a+2b+3c的最大值為______.答案:因為已知a、b、c是實數(shù),且a2+b2+c2=1根據(jù)柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2故有(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2故(a+2b+3c)2≤14,即2a+b+2c≤14.即a+2b+3c的最大值為14.故為:14.37.已知集合A={x|x>1},則(CRA)∩N的子集有()A.1個B.2個C.4個D.8個答案:∵集合A={x|x>1},∴CRA={x|x≤1},∴(CRA)∩N={0,1},∴(CRA)∩N的子集有22=4個,故選C.38.已知直線a、b、c,其中a、b是異面直線,c∥a,b與c不相交.用反證法證明b、c是異面直線.答案:證明:假設b、c不是異面直線,則b、c共面.∵b與c不相交,∴b∥c.又∵c∥a,∴根據(jù)公理4可知b∥a.這與已知a、b是異面直線相矛盾.故b、c是異面直線.39.已知x1,x2,…,xn都是正數(shù),且x1+x2+…+xn=1,求證:
++…+≥n2.答案:證明略解析:證明
++…+=(x1+x2+…+xn)(
++…+)≥=n2.40.曲線(θ為參數(shù))上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是()
A.
B.
C.1
D.答案:D41.已知點A(5,0)和⊙B:(x+5)2+y2=36,P是⊙B上的動點,直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q.
(1)證明點Q的軌跡是雙曲線,并求出軌跡方程.
(2)若(BQ+BA)?QA=0,求點Q的坐標.答案:(1)∵點Q在線段AP的垂直平分線上,∴|QP|=|QA|,∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.∴點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線.(4′)其軌跡方程是x29-y216=1.(7′)(2)以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC,則BQ+BA=BC∵(BQ+BA)?QA=0,∴BC?QC=0,∴平行四邊形ABQC是菱形,∴|BA|=|BQ|.(8′)∴點Q在圓(x+5)2+y2=100上.解方程組(x+5)2+y2=100x29-y216=1.(10′)得Q(-395,±485)或Q(215,±865).(12′)42.如圖所示,I為△ABC的內(nèi)心,求證:△BIC的外心O與A、B、C四點共圓.答案:證明:連接OB、BI、OC,由O是外心知∠IOC=2∠IBC.由I是內(nèi)心知∠ABC=2∠IBC.從而∠IOC=∠ABC.同理∠IOB=∠ACB.而∠A+∠ABC+∠ACB=180°,故∠BOC+∠A=180°,于是O、B、A、C四點共圓.43.為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況,銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況.若用系統(tǒng)抽樣法,則抽樣間隔和隨機剔除的個體數(shù)分別為()
A.3,2
B.2,3
C.2,30
D.30,2答案:A44.已知向量表示“向東航行1km”,向量表示“向南航行1km”,則向量表示()
A向東南航行km
B.向東南航行2km
C.向東北航行km
D.向東北航行2km答案:A45.寫出系數(shù)矩陣為1221,且解為xy=11的一個線性方程組是______.答案:由題意得:線性方程組為:x+2y=32x+y=3解之得:x=1y=1;故所求的一個線性方程組是x+2y=32x+y=3故為:x+2y=32x+y=3.46.用數(shù)學歸納法證明“<n(n∈N*,n>1)”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數(shù)是()
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1答案:C47.當a>0時,不等式組的解集為(
)。答案:當a>時為;當a=時為{};當0<a<時為[a,1-a]48.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相等的是()A.y=(x)4B.y=5x5C.y=x2D.y=x2x答案:函數(shù)y=x的定義域為R,選項中A,D定義域不是R,是A、D不正確.選項C的對應法則不同,C不正確.故選B.49.如圖,彎曲的河流是近似的拋物線C,公路l恰好是C的準線,C上的點O到l的距離最近,且為0.4千米,城鎮(zhèn)P位于點O的北偏東30°處,|OP|=10千米,現(xiàn)要在河岸邊的某處修建一座碼頭,并修建兩條公路,一條連接城鎮(zhèn),一條垂直連接公路l,以便建立水陸交通網(wǎng).
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?,求拋物線C的方程;
(2)為了降低修路成本,必須使修建的兩條公路總長最小,請給出修建方案(作出圖形,在圖中標出此時碼頭Q的位置),并求公路總長的最小值(精確到0.001千米)答案:(1)過點O作準線的垂線,垂足為A,以OA所在直線為x軸,OA的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系…(2分)由題意得,p2=0.4…(4分)所以,拋物線C:y2=1.6x…(6分)(2)設拋物線C的焦點為F由題意得,P(5,53)…(8分)根據(jù)拋物線的定義知,公路總長=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)當Q為線段PF與拋物線C的交點時,公路總長最小,最小值為9.806千米…(16分)50.點P(2,1)到直線
3x+4y+10=0的距離為()A.1B.2C.3D.4答案:由P(2,1),直線方程為3x+4y+10=0,則P到直線的距離d=|6+4+10|32+42=4.故選D第2卷一.綜合題(共50題)1.節(jié)假日時,國人發(fā)手機短信問候親友已成為一種時尚,若小李的40名同事中,給其發(fā)短信問候的概率為1,0.8,0.5,0的人數(shù)分別是8,15,14,3(人),通常情況下,小李應收到同事問候的信息條數(shù)為()
A.27
B.37
C.38
D.8答案:A2.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,下列說法正確的是()
A.若K2的觀測值為k=6.635,而p(K2≥6.635)=0.010,故我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系,那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病
B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時,我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病
C.若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系,是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤
D.以上三種說法都不正確答案:C3.設函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),則f(a+b)=______.答案:因為函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),所以定義域關于原點對稱,所以a+b=0,且f(0)=0.所以f(a+b)=f(0)=0.故為:0.4.下面哪個不是算法的特征()A.抽象性B.精確性C.有窮性D.唯一性答案:根據(jù)算法的概念,可知算法具有抽象性、精確性、有窮性等,同一問題,可以有不同的算法,故選D.5.如果執(zhí)行程序框圖,那么輸出的S=()A.2450B.2500C.2550D.2652答案:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加并輸出:S=2×1+2×2+…+2×50的值.∵S=2×1+2×2+…+2×50=2×1+502×50=2550故選C6.如圖,直線AB是平面α的斜線,A為斜足,若點P在平面α內(nèi)運動,使得點P到直線AB的距離為定值a(a>0),則動點P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.一條直線D.兩條平行直線答案:因為點P到直線AB的距離為定值a,所以,P點在以AB為軸的圓柱的側(cè)面上,又直線AB是平面α的斜線,且點P在平面α內(nèi)運動,所以,可以理解為用用與圓柱底面不平行的平面截圓柱的側(cè)面,所以得到的軌跡是橢圓.故選B.7.為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況,銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況.若用系統(tǒng)抽樣法,則抽樣間隔和隨機剔除的個體數(shù)分別為()
A.3,2
B.2,3
C.2,30
D.30,2答案:A8.在平面直角坐標系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=4cosθy=2sinθ(θ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,得曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ-4sinθ(ρ>0).
(Ⅰ)化曲線C1、C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(Ⅱ)設曲線C1與x軸的一個交點的坐標為P(m,0)(m>0),經(jīng)過點P作曲線C2的切線l,求切線l的方程.答案:(Ⅰ)曲線C1:x216+y24=1;曲線C2:(x-1)2+(y+2)2=5;(3分)曲線C1為中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是4,短半軸長是2的橢圓;曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓(2分)(Ⅱ)曲線C1:x216+y24=1與x軸的交點坐標為(-4,0)和(4,0),因為m>0,所以點P的坐標為(4,0),(2分)顯然切線l的斜率存在,設為k,則切線l的方程為y=k(x-4),由曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓得|k+2-4k|k2+1=5,解得k=3±102,所以切線l的方程為y=3±102(x-4)(3分)9.利用斜二測畫法能得到的()
①三角形的直觀圖是三角形;
②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;
③正方形的直觀圖是正方形;
④菱形的直觀圖是菱形.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④答案:A10.O是正六邊形ABCDE的中心,且OA=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,O為端點的向量中:
(1)與a相等的向量有
______;
(2)與b相等的向量有
______;
(3)與c相等的向量有
______.答案:如圖,在O是正六邊形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O為端點的向量中(1)與a相等的向量有EF,DO,CB;(2)與b相等的向量有DC,EO,F(xiàn)A;(3)與c相等的向量有FO,OC,ED.故三個空依次應填EF,DO,CB;DC,EO,F(xiàn)A;FO,OC,ED.11.若兩直線l1,l2的傾斜角分別為α1,α2,則下列四個命題中正確的是()
A.若α1<α2,則兩直線斜率k1<k2
B.若α1=α2,則兩直線斜率k1=k2
C.若兩直線斜率k1<k2,則α1<α2
D.若兩直線斜率k1=k2,則α1=α2答案:D12.在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=3,在BC上任取一點D,使△ABD為鈍角三角形的概率為()A.16B.13C.12D.23答案:由題意知本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的事件對應的是長度為3的一條線段,滿足條件的事件是組成鈍角三角形,包括兩種情況第一種∠ADB為鈍角,這種情況的分界是∠ADB=90°的時候,此時BD=1∴這種情況下,滿足要求的0<BD<1.第二種∠OAD為鈍角,這種情況的分界是∠BAD=90°的時候,此時BD=4∴這種情況下,不可能綜合兩種情況,若△ABD為鈍角三角形,則0<BD<1P=13故選B13.下列四組函數(shù),表示同一函數(shù)的是()A.f(x)=x2,g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=x2xC.f(x)=lnx2,g(x)=2lnxD.f(x)=logaax(0<a≠1),g(x)=3x3答案:同一函數(shù)必然具有相同的定義域、值域、對應關系,A中的2個函數(shù)的值域不同,B中的2個函數(shù)的定義域不同,C中的2個函數(shù)的對應關系不同,只有D的2個函數(shù)的定義域、值域、對應關系完全相同,故選D.14.如圖程序框圖表達式中N=______.答案:該程序按如下步驟運行①N=1×2,此時i變成3,滿足i≤5,進入下一步循環(huán);②N=1×2×3,此時i變成4,滿足i≤5,進入下一步循環(huán);③N=1×2×3×4,此時i變成5,滿足i≤5,進入下一步循環(huán);④N=1×2×3×4×5,此時i變成6,不滿足i≤5,結(jié)束循環(huán)體并輸出N的值因此,最終輸出的N等于1×2×3×4×5=120故為:12015.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長為23,則a=______.答案:由已知x2+y2+2ay-6=0的半徑為6+a2,由圖可知6+a2-(-a-1)2=(3)2,解之得a=1.故為:1.16.搖獎器有10個小球,其中8個小球上標有數(shù)字2,2個小球上標有數(shù)字5,現(xiàn)搖出3個小球,規(guī)定所得獎金(元)為這3個小球上記號之和,求此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望.答案:設此次搖獎的獎金數(shù)額為ξ元,當搖出的3個小球均標有數(shù)字2時,ξ=6;當搖出的3個小球中有2個標有數(shù)字2,1個標有數(shù)字5時,ξ=9;當搖出的3個小球有1個標有數(shù)字2,2個標有數(shù)字5時,ξ=12.所以,P(ξ=6)=C38C310=715P(ξ=9)=C28C12C310=715P(ξ=12)=C18C22C310=115Eξ=6×715+9×715+12×115=395(元)
答:此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)字期望是395元.17.設a1,a2,…,a2n+1均為整數(shù),性質(zhì)P為:對a1,a2,…,a2n+1中任意2n個數(shù),存在一種分法可將其分為兩組,每組n個數(shù),使得兩組所有元素的和相等求證:a1,a2,…,a2n+1全部相等當且僅當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.答案:證明:①當a1,a2,…,a2n+1全部相等時,從中任意2n個數(shù),將其分為兩組,每組n個數(shù),兩組所有元素的和相等,故性質(zhì)P成立.②下面證明:當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等.反證法:假設a1,a2,…,a2n+1不全部相等,則其中至少有一個整數(shù)和其它的整數(shù)不同,不妨設此數(shù)為a1,若a1在取出的2n個數(shù)中,將其分為兩組,每組n個數(shù),則a1在的那個組所有元素的和與另一個組所有元素的和不相等,這與性質(zhì)P矛盾,故假設不成立,所以,當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等.綜上,a1,a2,…,a2n+1全部相等當且僅當a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.18.命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是
______.答案:∵ab=0的否命題是ab≠0,a、b中至少有一個為零的否命題是a≠0,且b≠0,∴命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是“若a≠0,且b≠0,則ab≠0.”故:若a≠0,且b≠0,則ab≠0.19.一個單位有職工800人,其中具有高級職稱的160人,具有中級職稱的320人,具有初級職稱的200人,其余人員120人,為了解職工收入情況,決定采用分層抽樣的方法從中抽取樣本.若樣本中具有初級職稱的職工為10人,則樣本容量為()
A.10
B.20
C.40
D.50答案:C20.若事件與相互獨立,且,則的值等于A.B.C.D.答案:B解析:事件“”表示的意義是事件與同時發(fā)生,因為二者相互獨立,根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得:.21.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相等的是()A.y=(x)4B.y=5x5C.y=x2D.y=x2x答案:函數(shù)y=x的定義域為R,選項中A,D定義域不是R,是A、D不正確.選項C的對應法則不同,C不正確.故選B.22.集合M={(x,y)|xy≤0,x,y∈R}的意義是()A.第二象限內(nèi)的點集B.第四象限內(nèi)的點集C.第二、四象限內(nèi)的點集D.不在第一、三象限內(nèi)的點的集合答案:∵xy≤0,∴xy<0或xy=0當xy<0時,則有x<0y>0或x>0y<0,點(x,y)在二、四象限,當xy=0時,則有x=0或y=0,點(x,y)在坐標軸上,故選D.23.圓x2+y2=1在矩陣10012對應的變換作用下的結(jié)果為______.答案:設P(x,y)是圓C:x2+y2=1上的任一點,P1(x′,y′)是P(x,y)在矩陣A=10012對應變換作用下新曲線上的對應點,則x′y′=10012xy=1x12y即x′=xy′=12y,所以x=x′y=2y′,將x=x′y=2y′代入x2+y2=1,得x2+4y2=1,(8分)故為:x2+4y2=1.24.設a∈(0,1)∪(1,+∞),對任意的x∈(0,12],總有4x≤logax恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是______.答案:∵a∈(0,1)∪(1,+∞),當0<x≤12時,函數(shù)y=4x的圖象如下圖所示:∵對任意的x∈(0,12],總有4x≤logax恒成立,若不等式4x<logax恒成立,則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方(如圖中虛線所示)∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于(12,2)點時,a=22,故虛線所示的y=logax的圖象對應的底數(shù)a應滿足22<a<1.故為:(22,1).25.把矩陣變?yōu)楹?,與對應的值是()
A.
B.
C.
D.答案:C26.已知曲線C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0,那么下列各點中不在曲線C上的是()
A.(0,0)
B.(2a,4a)
C.(3a,3a)
D.(-3a,-a)答案:B27.從甲、乙兩人手工制作的圓形產(chǎn)品中,各自隨機抽取6件,測得其直徑如下(單位:cm):
甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20
乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90
據(jù)以上數(shù)據(jù)估計兩人的技術穩(wěn)定性,結(jié)論是()
A.甲優(yōu)于乙
B.乙優(yōu)于甲
C.兩人沒區(qū)別
D.無法判斷答案:A28.已知函數(shù)f(x)=x21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______.答案:∵f(x)=x21+x2,∴f(1x)=11+x2∴f(x)+f(1x)=1∴f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1,f(4)+f(14)=1,f(1)=12∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=72故為:7229.下列各組集合,表示相等集合的是()
①M={(3,2)},N={(2,3)};
②M={3,2},N={2,3};
③M={(1,2)},N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不對答案:①中M中表示點(3,2),N中表示點(2,3);②中由元素的無序性知是相等集合;③中M表示一個元素,即點(1,2),N中表示兩個元素分別為1,2.所以表示相等的集合是②.故選B.30.如圖,在等腰△ABC中,AC=AB,以AB為直徑的⊙O交BC于點E,過點E作⊙O的切線交AC于點D,交AB的延長線于點P.問:PD與AC是否互相垂直?請說明理由.答案:PD與AC互相垂直.理由如下:連接OE,則OE⊥PD;∵AC=AB,OE=OB,∴∠OEB=∠B=∠C,∴OE∥AC,∴PD與AC互相垂直.31.下列命題:
①用相關系數(shù)r來刻畫回歸的效果時,r的值越大,說明模型擬合的效果越好;
②對分類變量X與Y的隨機變量的K2觀測值來說,K2越小,“X與Y有關系”可信程度越大;
③兩個隨機變量相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值越接近1;
其中正確命題的序號是
______.(寫出所有正確命題的序號)答案:①是由于r可能是負值,要改為|r|的值越大,說明模型擬合的效果越好,故①錯誤,②對分類變量X與Y的隨機變量的K2觀測值來說,K2越大,“X與Y有關系”可信程度越大;故②正確③兩個隨機變量相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值越接近1;故③正確,故為:③32.直角三角形兩直角邊邊長分別為3和4,將此三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周,求得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.答案:根據(jù)題意,所求旋轉(zhuǎn)體由兩個同底的圓錐拼接而成它的底面半徑等于直角三角形斜邊上的高,高分別等于兩條直角邊在斜邊的射影長∵兩直角邊邊長分別為3和4,∴斜邊長為32+42=5,由面積公式可得斜邊上的高為h=3×45=125可得所求旋轉(zhuǎn)體的底面半徑r=125因此,兩個圓錐的側(cè)面積分別為S上側(cè)面=π×125×4=48π5;S下側(cè)面=π×125×3=36π5∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S=48π5+36π5=84π5由錐體的體積公式,可得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=13π×(125)2×5=48π533.隨機變量ξ的分布列為
ξ01xP15p310且Eξ=1.1,則p=______;x=______.答案:由15+p+310=1,得p=12.由Eξ=0×15+1×12+310x=1.1,得x=2.故為12;2.34.已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于C點,AB一條外公切線,A、B分別為切點,連接AC、BC.設⊙O1的半徑為R,⊙O2的半徑為r,若tan∠ABC=,則的值為()
A.
B.
C.2
D.3
答案:C35.在航天員進行的一項太空實驗中,要先后實施6個程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序B和C實施時必須相鄰,請問實驗順序的編排方法共有()
A.24種
B.48種
C.96種
D.144種答案:C36.給出下列說法:①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段;②球的直徑是球面上任意兩點的連線段;③用一個平面截一個球面,得到的是一個圓;④球常用表示球心的字母表示.其中說法正確的是______.答案:根據(jù)球的定義直接判斷①正確;②錯誤;;③用一個平面截一個球面,得到的是一個圓;可以是小圓,也可能是大圓,正確;④球常用表示球心的字母表示.滿足球的定義正確;故為:①③④37.一牧場有10頭牛,因誤食含有病毒的飼料而被感染,已知該病的發(fā)病率為0.02.設發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ,則Dξ=______;.答案:∵由題意知該病的發(fā)病率為0.02,且每次實驗結(jié)果都是相互獨立的,∴ξ~B(10,0.02),∴由二項分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196.故為:0.19638.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an2+an(n∈N+),
(1)求a1,a2,a3并猜想數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明上述猜想.答案:(1)a1=1.a(chǎn)2=2a12+a1=22+1=23.a(chǎn)3=2a22+a2=2×232+23=12(2)猜想an=2n+1.證明:當n=1時顯然成立.假設當n=k(k≥1)時成立,即ak=2k+1則當n=k+1時,ak+1=2ak2+ak=2×2k+12+2k+1=42k+4=2(k+1)+1所以an=2n+1.39.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使結(jié)論成立的()
A.充分條件
B.必要條件
C.充要條件
D.等價條件答案:A40.等于()
A.
B.
C.
D.答案:B41.已知|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°,則|2a+b|=______.答案:∵|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°,∴a?b=|a|×|b|cos60°=1由此可得(2a+b)2=4a2+4a?b+b2=4×12+4×1+22=12∴|2a+b|=(2a+b)2=23故為:2342.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()
A.(-∞,-1]∪[4,+∞)
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2]
D.(-∞,1]∪[2,+∞)答案:A43.下列集合中,不同于另外三個集合的是()A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}答案:解析:A是列舉法,C是描述法,對于B要注意集合的代表元素是y,故與A,C相同,而D表示該集合含有一個元素,即方程“x=0”.故選D.44.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線是()
A.直線
B.圓
C.橢圓
D.拋物線答案:C45.已知在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),則C點坐標為
______.答案:設C(x,y,z),則:
AC=AB+BC即:(x-2,y+5,z-3)=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7)所以得:x-2=7y+5=-1z-3=7,即x=9y=-6z=10故為:(9,-6,10)46.曲線x=sin2ty=sint(t為參數(shù))的普通方程為______.答案:因為曲線x=sin2ty=sint(t為參數(shù))∴sint=y,代入x=sin2t,可得x=y2,其中-1≤y≤1.故為:x=y2,(-1≤y≤1).47.(幾何證明選講選做題)已知PA是⊙O的切線,切點為A,直線PO交⊙O于B、C兩點,AC=2,∠PAB=120°,則⊙O的面積為______.答案:∵PA是圓O的切線,∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中,AC=2∴BC=4,即圓O的直徑2R=4∴圓O的面積S=πR2=4π故為:4π.48.已知直線l:kx-y+1+2k=0.
(1)證明:直線l過定點;
(2)若直線l交x負半軸于A,交y正半軸于B,△AOB的面積為S,試求S的最小值并求出此時直線l的方程.答案:(1)證明:由已知得k(x+2)+(1-y)=0,∴無論k取何值,直線過定點(-2,1).(2)令y=0得A點坐標為(-2-1k,0),令x=0得B點坐標為(0,2k+1)(k>0),∴S△AOB=12|-2-1k||2k+1|=12(2+1k)(2k+1)=(4k+1k+4)≥12(4+4)=4.當且僅當4k=1k,即k=12時取等號.即△AOB的面積的最小值為4,此時直線l的方程為12x-y+1+1=0.即x-2y+4=049.若a>b>0,則,,,從大到小是_____答案:>>>解析:,又ab>0,;即。故有:>>>50.函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大a2,則a的值為()A.32B.2C.12或32D.12答案:當a>1時,函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),由題意可得a2-a=a2,∴a=32.當1>a>0時,函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),由題意可得a-a2=a2,解得
a=12.綜上,a的值為12或32故選C.第3卷一.綜合題(共50題)1.閱讀程序框圖,運行相應的程序,則輸出i的值為()A.3B.4C.5D.6答案:該程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)經(jīng)第一次循環(huán)得到i=1,a=2;經(jīng)第二次循環(huán)得到i=2,a=5;經(jīng)第三次循環(huán)得到i=3,a=16;經(jīng)第四次循環(huán)得到i=4,a=65滿足判斷框的條件,執(zhí)行是,輸出4故選B2.圓心在x軸上,且過兩點A(1,4),B(3,2)的圓的方程為______.答案:設圓心坐標為(m,0),半徑為r,則圓的方程為(x-m)2+y2=r2,∵圓經(jīng)過兩點A(1,4)、B(3,2)∴(1-m)2+42=r2(3-m)2+22=r2解得:m=-1,r2=20∴圓的方程為(x+1)2+y2=20故為:(x+1)2+y2=203.圖是正方體平面展開圖,在這個正方體中
①BM與ED垂直;
②DM與BN垂直.
③CN與BM成60°角;④CN與BE是異面直線.
以上四個命題中,正確命題的序號是______.答案:由已知中正方體的平面展開圖,我們可以得到正方體的直觀圖如下圖所示:由正方體的幾何特征可得:①BM與ED垂直,正確;
②DM與BN垂直,正確;③CN與BM成60°角,正確;④CN與BE平行,故CN與BE是異面直線,錯誤;故為:①②③4.在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cosx這四個函數(shù)中,當0<x1<x2<1時,使f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案:當0<x1<x2<1時,使f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立,說明函數(shù)一個遞增的越來越慢的函數(shù)或者是一個遞減的越來越快的函數(shù)或是一個先遞增得越來越慢,再遞減得越來越快的函數(shù)考查四個函數(shù)y=2x,y=log2x,y=x2,y=cosx中,y=log2x在(0,1)是遞增得越來越慢型,函數(shù)y=cosx在(0,1)是遞減得越來越快型,y=2x,y=x2,這兩個函數(shù)都是遞增得越來越快型綜上分析知,滿足條件的函數(shù)有兩個故選C5.如圖,在⊙O中,AB是弦,AC是⊙O的切線,A是切點,過
B作BD⊥AC于D,BD交⊙O于E點,若AE平分∠BAD,則∠BAD=()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
答案:D6.經(jīng)過兩點A(-3,5),B(1,1
)的直線傾斜角為______.答案:因為兩點A(-3,5),B(1,1
)的直線的斜率為k=1-51-(-3)=-1所以直線的傾斜角為:135°.故為:135°.7.某細胞在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次(由1個細胞分裂成2個),則經(jīng)過兩個小時后,1個這樣的細胞可以分裂成______個.答案:由于每15分鐘分裂一次,則兩個小時共分裂8次.一個這樣的細胞經(jīng)過一次分裂后,由1個分裂成2個;經(jīng)過2次分裂后,由1個分裂成22個;…經(jīng)過8次分裂后,由1個分裂成28個.∴1個這樣的細胞經(jīng)過兩個小時后,共分裂成28個,即256個.故為:2568.已知圓柱的軸截面周長為6,體積為V,則下列關系式總成立的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥18πD.V≤18π答案:設圓柱的底面半徑為r,高為h,由題意得:4r+2h=6,即2r+h=3,∴體積為V=πr2h≤π[13(r+r+h)]2=π×(33)2=π當且僅當r=h時取等號,由此可得V≤π恒成立故選:B9.如圖,平面內(nèi)有三個向量OA、OB、OC,其中與OA與OB的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為______.答案:過C作OA與OB的平行線與它們的延長線相交,可得平行四邊形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,由|OA|=|OB|=1,|OC|=23得平行四邊形的邊長為2和4,λ+μ=2+4=6.故為6.10.如圖所示,CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線,CE⊥CD,CE=103,連接DE交BC于點F,AC=4,BC=3.
求證:(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.答案:證明:(1)∵CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線∴CD=12AB=12AC2+BC2=52.∴CECD=10352=43=ACBC,∠ACB=∠DCE=90°.∴△ABC∽△EDC.(2)因為△ABC∽△EDC∴∠B=∠CDE,∠E=∠A.由CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線得:CD=AD=DB?∠B=∠DCB,∠A=∠DCA∴∠DCB=∠CDE?DF=CF;又因為:∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°;∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E∴CF=EF.∴DF=EF.11.已知||=3,A、B分別在x軸和y軸上運動,O為原點,則動點P的軌跡方程是()
A.
B.
C.
D.答案:B12.設集合A={1,2,3,4},集合B={1,3,5,7},則集合A∪B=()A.{1,3}B.{1,2,3,4,5,7}C.{5,7}D.{2,4,5,7}答案:∵A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},∴A∪B={1,2,3,4,5,7},故選B.13.已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:x=22t+1y=22t,求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長.答案:曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ化為直角坐標方程為x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4直線l的參數(shù)方程x=22t+1y=22t,化為普通方程為x-y-1=0,曲線C的圓心(2,0)到直線l的距離為12=22所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長24-12=14.14.天氣預報說,在今后的三天中每一天下雨的概率均為40%,用隨機模擬的方法進行試驗,由1、2、3、4表示下雨,由5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用計算器中的隨機函數(shù)產(chǎn)生0~9之間隨機整數(shù)的20組如下:
907966191925271932812458569683
431257393027556488730113537989
通過以上隨機模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為(
)。答案:0.2515.已知e1
,
e2是夾角為60°的兩個單位向量,且向量a=e1+2e2,則|a|=______.答案:由題意可得e21=1,e22=1,e1?e2=12,所以a2=(e1+2e2)2=1+2+4=7,所以|a|=7,故為:716.現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題:如圖,同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為a24.類比到空間,有兩個棱長均為a的正方體,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為______.答案:∵同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為a24,類比到空間有兩個棱長均為a的正方體,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為a38,故為a38.17.點P(1,3,5)關于平面xoz對稱的點是Q,則向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B18.方程組的解集為()
A.{2,1}
B.{1,2}
C.{(2,1)}
D.(2,1)答案:C19.下列特殊命題中假命題的個數(shù)是()
①有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);
②有些三角形不是等腰三角形;
③有的菱形是正方形.
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B20.直線y=1與直線y=3x+3的夾角為______答案:l1與l2表示的圖象為(如下圖所示)y=1與x軸平行,y=3x+3與x軸傾斜角為60°,所以y=1與y=3x+3的夾角為60°.故為60°21.已知向量a,b,向量c=2a+b,且|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°
(1)求|c|2;(2)若向量d=ma-b,且d∥c,求實數(shù)m的值.答案:(1)∵|a|=1,|b|=2,a和b的夾角為60°∴a?b=|a||b|cos60°=1∴|c|2=(
2a+b)2=4a2+4ab+b2=4+4+4=12(2)∵d∥c∴存在實數(shù)λ使得d=λc即ma-b=λ(2a+b)又∵a,b不共線∴2λ=m,λ=-1∴m=-222.電子跳蚤游戲盤是如圖所示的△ABC,AB=8,AC=9,BC=10,如果跳蚤開始時在BC邊的點P0處,BP0=4.跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1(第1次落點)處,且CP1=CP0;第二步從P1跳到AB邊的P2(第2次落點)處,且AP2=AP1;第三步從P2跳到BC邊的P3(第3次落點)處,且BP3=BP2;跳蚤按上述規(guī)則一直跳下去,第n次落點為Pn(n為正整數(shù)),則點P2010與C間的距離為______答案:∵由題意可以發(fā)現(xiàn)每邊各有兩點,其中BC邊上P0,P6,P12…重合,P3,P9,P15…重合,AC邊上P1,P7,P13…重合,P4,P10,P16…重合,AB邊上P2,P8,P14…重合,P5,P11,P17…重合.發(fā)現(xiàn)規(guī)律2010為六的倍數(shù)所以與P0重合,∴與C點之間的距離為6故為:623.已知空間三點的坐標為A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A,B,C三點共線,則p=______,q=______.答案:∵A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),∴AB=(1,-1,3),AC=(p-1,-2,q+4)∵A,B,C三點共線,∴AB=λAC∴(1,-1,3)=λ(p-1,-2,q+4),∴1=λ(p-1)-1=-2λ,3=λ(q+4),∴λ=12,p=3,q=2,故為:3;224.設甲、乙兩名射手各打了10發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中環(huán)數(shù)如下:甲:10,7,7,10,8,9,9,10,5,10;
乙:8,7,9,10,9,8,8,9,8,9則甲、乙兩名射手的射擊技術評定情況是()
A.甲比乙好
B.乙比甲好
C.甲、乙一樣好
D.難以確定答案:B25.已知直線l:ax+by=1(ab>0)經(jīng)過點P(1,4),則l在兩坐標軸上的截距之和的最小值是______.答案:∵直線l:ax+by=1(ab>0)經(jīng)過點P(1,4),∴a+4b=1,故a、b都是正數(shù).故直線l:ax+by=1,此直線在x、y軸上的截距分別為1a、1b,則l在兩坐標軸上的截距之和為1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9,當且僅當4ba=ab時,取等號,故為9.26.已知命題p:“△ABC是等腰三角形”,命題q:“△ABC是直角三角形”,則命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不對答案:因為“△ABC是等腰直角三角形”即為“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故選B.27.(1)若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一點,則k的值為?
(2)若α∈N,又三點A(α,0),B(0,α+4),C(1,3)共線,求α的值.答案:(1)由2x+3y+8=0x-y-1=0解得x=-1,y=-2,∴直線2x+3y+8=0和x-y-1=0的交點為(-1,-2).∵三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一點,∴(-1,-2)在直線x+ky=0上,∴-1-2k=0,解得k=-12.(2)A、B、C三點共線,說明直線AB與直線AC的斜率相等∴a+4-00-a=3-01-a,解得:a=228.已知直線a、b、c,其中a、b是異面直線,c∥a,b與c不相交.用反證法證明b、c是異面直線.答案:證明:假設b、c不是異面直線,則b、c共面.∵b與c不相交,∴b∥c.又∵c∥a,∴根據(jù)公理4可知b∥a.這與已知a、b是異面直線相矛盾.故b、c是異面直線.29.定義xn+1yn+1=1011xnyn為向量OPn=(xn,yn)到向量OPn+1=(xn+1,yn+1)的一個矩陣變換,其中O是坐標原點,n∈N*.已知OP1=(2,0),則OP2010的坐標為______.答案:A=1011,B=20AA=1011
1011
=1021A3=111
121
=1031依此類推A2009=1020101∴A2009B=1020101
20=24018∴OP2010的坐標為(2,4018)故為:(2,4018)30.某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為()
A.
B.
C.
D.答案:A31.設集合A={x|},則A∩B等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:B32.下列語句是命題的是______.
①求證3是無理數(shù);
②x2+4x+4≥0;
③你是高一的學生嗎?
④一個正數(shù)不是素數(shù)就是合數(shù);
⑤若x∈R,則x2+4x+7>0.答案:①是祈使句,所以①不是命題.②是命題,能夠判斷真假,因為x2+4x+4=(x+2)2≥0,所以②是命題.③是疑問句,所以③不是命題.④能夠判斷真假,所以④是命題.⑤能夠判斷真假,因為x2+4x+7=(x+2)2+3>0,所以⑤是命題.故為:②④⑤.33.由小正方體木塊搭成的幾何體的三視圖如圖所示,則搭成該幾何體的小正方體木塊有()
A.6塊
B.7塊
C.8塊
D.9塊答案:B34.對于一組數(shù)據(jù)的兩個函數(shù)模型,其殘差平方和分別為153.4
和200,若從中選取一個擬合程度較好的函數(shù)模型,應選殘差平方和為______的那個.答案:殘差的平方和是用來描述n個點與相應回歸直線在整體上的接近程度殘差的平方和越小,擬合效果越好,由于153.4<200,故擬合效果較好的是殘差平方和是153.4的那個模型.故為:153.4.35.已知復數(shù)w滿足w-4=(3-2w)i(i為虛數(shù)單位),z=5w+|w-2|,求一個以z為根的實系數(shù)一元二次方程.答案:[解法一]∵復數(shù)w滿足w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,∴w(1+2i)(1-2i)=(4+3i)(1-2i),∴5w=10-5i,∴w=2-i.∴z=52-i+|2-i-2|=5(2+i)(2-i)(2+i)+1=2+i+1=3+i.若實系數(shù)一元二次方程有虛根z=3+i,則必有共軛虛根.z=3-i.∵z+.z=6,z?.z=10,∴所求的一個一元二次方程可以是x2-6x+10=0.[解法二]設w=a+b,(a,b∈Z),∴a+bi-4=3i-2ai+2b,得a-4=2bb=3-2a解得a=2b=-1,∴w=2-i,以下解法同[解法一].36.命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是
______.答案:∵ab=0的否命題是ab≠0,a、b中至少有一個為零的否命題是a≠0,且b≠0,∴命題“若ab=0,則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是“若a≠0,且b≠0,則ab≠0.”故:若a≠0,且b≠0,則ab≠0.37.已知隨機變量X的分布列是:(
)
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
且EX=7.5,則a的值為()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C38.已知P(x,y)是橢圓x24+y2=1上的點,求M=x+2y的取值范圍.答案:∵x24+y2=1的參數(shù)方程是x=2cosθy=sinθ(θ是參數(shù))∴設P(2cosθ,sinθ)(4分)∴M=x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin(θ+π4)
(7分)∴M=x+2y的取值范圍是[-22,22].(10分)39.已知|a|=1,|b|=2,
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