立體幾何第二章復(fù)習(xí)

立體幾何復(fù)習(xí)提要1、線面關(guān)系中的平行與垂直2、空間中的角與距離3、典型題型分類解析平行與垂直平行線線平行線面平行面面平行線線平行判定線面平行判定線面平行性質(zhì)面面平行判定面面平行性質(zhì)（1）定義：如果兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，則這兩條直線平行。（2）初中所學(xué)的判定方法（兩條直線在同一平面內(nèi)）（3）平行公理4（4）線面平行的性質(zhì)定理:線線平行判定如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線與交線平行。（5）面面平行的性質(zhì)如果兩個平面和第三個平面相交，則交線平行。（6）線面垂直性質(zhì)如果兩條直線同時垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（7）利用距離如果一條直線上的所有點到另一條直線的距離相等，那么這兩條直線平行。（8）利用所成角如果兩條直線與一個平面所成角相等且方向相同，那么這兩條直線平行。（1）定義：直線和平面沒有公共點。（2）判定定理：平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線和這個平面平行。（3）面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。線面平行判定（4）利用垂直如果一條直線和一個平面分別與另一個平面垂直，且直線不在這個平面內(nèi)，則這條直線和這個平面平行。（5）利用平行如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行且不在另一個平面內(nèi)，則這條直線與另一個平面平行。（6）利用距離一條直線垂直于一個平面，同時垂直于另一條直線，則另一條直線平行于這個平面。線面平行的性質(zhì)（1）性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線與交線平行。（2）如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面沒有公共點。（3）如果一條直線與兩個相交的平面都平行，那么這條直線與交線平行。（4）如果一條直線與一個平面平行，另合乎一條直線與這個平面垂直，那么這兩天天條直線垂直。（5）如果一條直線與一個平面平行，事實不則這條直線與平面所成的角為零度。（6）如果一條直線與一個平面平行，則這就日條直線上的所有的點到這個平面的距各個離相等。面面平行判定（1）定義：如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面平行。（2）判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。（3）推論：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行。（4）利用線面垂直：如果兩個平面分別垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行。（5）利用面面平行：如果兩個平面都平行于第三個平面，那么這兩個平面平行。（6）利用距離：如果一個平面上的所有點到另一個平面的距離相等，那么這兩個平面平行。面面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么這兩個平面沒有公共點。（2）如果兩個平面平行且都與第三個平面相交，則交線平行。（3）如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的所有直線與另一個平面平行。（4）如果兩個平面平行，且其中一個平面與一條直線垂直，則另一個平面與這條直線也垂直。（5）如果兩個平面平行，那么這兩個平面所成的角為零度。（6）如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的所有點到另一個平面的距離相等。（7）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。平行與垂直垂直線線垂直線面垂直面面垂直線線垂直判定線面垂直判定線面垂直性質(zhì)面面垂直判定面面垂直性質(zhì)線線垂直判定（1）利用線線平行：一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則垂直于另一條（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性質(zhì)（4）利用平面圖形性質(zhì)(5)線面垂直的性質(zhì)：a⊥αbα∪a⊥b(6)利用線面垂直、線面平行：a⊥αb∥αa⊥b(7)利用三垂線定理：αaCBA在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。（反之也成立）線面垂直判定（1）判定定理1——如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。（2）判定定理2——如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。（3）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面（4）面面垂直推論:如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線l垂直于另一個平面（5）面面平行性質(zhì)：一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面線面垂直性質(zhì)（1）定義——如果一條直線和一個平面垂直則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線（2）性質(zhì)定理——如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面（6）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直（7）如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直推論:如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直面面垂直判定如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面推論:如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線l垂直于另一個平面面面垂直性質(zhì)垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：1.平行轉(zhuǎn)化2.垂直轉(zhuǎn)化每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

例1.已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點.(1)

求證：MN∥平面PAD；

(2)求證：MN⊥CD；

PABCDNM(3)若平面PCD與平面ABCD所成二面角為θ，問能否確定θ的值，使得MN是異面直線AB與PC的公垂線.

例2、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，2AA1=AB，點E、M分別為A1B、C1C的中點，過A1，B，M三點的平面交C1D1于點N。(1)求證：EM∥平面A1ND1；(2)求二面角B-A1N-B1的正切值

ABC1A1D1CB1EMN例3、正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.(1)若M為AB中點，求證：BB1∥平面EFM；(2)求證：EF⊥BC；(3)求二面角A1—B1D—C1的大小

N(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；例4、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.例5如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60o,PA=AC=a,PB=PD=a,點E在PD上，且PE：ED=2：1。（1）證明PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AC-D的大小；

PABCDE空間中的角與距離立體幾何專題復(fù)習(xí)

之二空間中的角αabαbαβmb’aABP00<θ≤90000≤θ≤90000≤θ≤1800三種角的定義兩異面直線所成角直線與平面所成角二面角空間角的計算步驟：一作、二證、三算

空間中的角解法小結(jié)1、異面直線所成角的方法（1）平移法（2）補形法2、直線與平面所成角的方法關(guān)鍵：抓垂足、斜足，找斜線在平面內(nèi)的射影。當(dāng)二面角的棱已知時：（1）定義法(2)垂面法（3）三垂線定理法尋找平行平面，將問題轉(zhuǎn)化3、二面角找二面角的棱,進(jìn)而找棱的兩條垂線當(dāng)二面角的棱未知時：利用射影面積公式S′=Scosθ［例］在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點.(1)求證：四邊形B′EDF是菱形；(2)求直線A′C與DE所成的角；(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF與面ABCD所成的角.

1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是()A. B.

C. D.ABDCA1B1D1C1OMPABDCA1B1D1C1OME2.已知∠AOB=90°,過O點引∠AOB所在平面的斜線OC，與OA、OB分別成45°、60°，則以O(shè)C為棱的二面角A—OC—B的大小為_________.

3、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1/2，則面SBA與面SCD所成的二面角的大小是

。

sABCD4.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM＝EF(1)證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；(2)若PA=3AB,求二面角E—AB—D平面角的正弦值.(3)若PA=3AB,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值.PABCDEFM求點到平面的距離：(1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離.(3)體積法

求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離或平面與平面的距離空間中的距離解法小結(jié)

1.正方形ABCD邊長為2，E、F分別是AB和CD的中點，將正方形沿EF折成直二面角，M為矩形AEFD內(nèi)一點，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為0.5，那么點M到直線EF的距離為

。N2.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C點到AB1的距離為CE=，D為AB的中點.（1）求證：AB1⊥平面CED（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

(1)求點E到平面ABD的距離：(2)求二面角A—BD—C的正切值

3.如圖，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面邊長和側(cè)棱長都是1，D