2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-21.5定積分的概念1.5.1-1.5.2-1.5.3含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1。5定積分的概念1.5。1曲邊梯形的面積1。5.2汽車(chē)行駛的路程1。5。3定積分的概念[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法．2．會(huì)求曲邊梯形的面積和汽車(chē)行駛的路程．3．了解定積分的概念．4．了解定積分的幾何意義和性質(zhì)．［知識(shí)鏈接]1．如何計(jì)算下列兩圖形的面積？答①直接利用梯形面積公式求解．②轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解．2．求曲邊梯形面積時(shí)，對(duì)曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？答為了減小近似代替的誤差,需要先分割再分別對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲"，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越?。?．當(dāng)f（x）在區(qū)間［a，b］上且f(x)〈0時(shí)，eq\i\in（a,b，）f(x）dx表示的含義是什么？答當(dāng)f(x）在區(qū)間[a，b］上值小于零時(shí)，eq\i\in（a，b,)f(x）dx表示由y＝f（x),x＝a，x＝b，y＝0所圍成的圖形的面積的相反數(shù)．［預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．曲邊梯形的面積（1)曲邊梯形：由直線(xiàn)x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線(xiàn)y＝f（x）所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形（如圖①所示)．（2)求曲邊梯形面積的方法把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間,進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值,對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值（如圖②所示）．（3）求曲邊梯形面積的步驟：①分割，②近似代替，③求和，④取極限．2．求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的(位移）路程如果物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)v＝v（t）,那么也可以采用分割,近似代替,求和，取極限的方法,求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移s.3．定積分的概念如果函數(shù)f(x）在區(qū)間[a，b］上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1〈xi<…〈xn＝b將區(qū)間[a，b］等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2,…，n)作和式eq\i\su（i＝1,n，f）（ξi)Δx＝eq\i\su（i＝1,n,）eq\f（b－a,n）f（ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b]上的定積分，記作eq\i\in（a，b,）f(x）dx,即eq\i\in（a，b,)f(x）dx＝lieq\o(m,\s\do4（n→∞））eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a，n)f(ξi)．其中a與b分別叫做積分下限和積分上限,區(qū)間［a，b］叫做積分區(qū)間,函數(shù)f（x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式．4．定積分的幾何意義如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x）連續(xù)且恒有f（x）≥0，那么定積分eq\i\in（a，b,）f（x）dx表示由直線(xiàn)x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．5．定積分的性質(zhì)（1）eq\i\in（a,b,）kf（x)dx＝keq\i\in（a，b,）f（x）dx（k為常數(shù)）;(2)eq\i\in（a，b,）［f1（x)±f2（x)］dx＝eq\i\in（a,b，)f1（x）dx±eq\i\in（a,b，)f2(x）dx;（3）eq\i\in（a，b，）f(x)dx＝eq\i\in（a，c,)f(x）dx＋eq\i\in（c,b,）f（x）dx（其中a〈c〈b)．要點(diǎn)一求曲邊梯形的面積例1求拋物線(xiàn)f（x)＝1＋x2與直線(xiàn)x＝0，x＝1,y＝0所圍成的曲邊梯形的面積S.解(1)分割：把區(qū)間［0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（i－1，n），\f（i，n)）)（i＝1，2,…，n）,其長(zhǎng)度Δx＝eq\f(1,n)，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,其面積記為ΔSi（i＝1,2，…，n）．(2）近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積．ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（i－1,n）））·Δx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（1＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n）））2)）·eq\f（1,n）（i＝1,2，…，n）．（3)求和：eq\i\su（i＝1，n，Δ）Si＝eq\i\su（i＝1,n，)eq\f(1,n）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n))）2）).(4）取極限:S＝lieq\o(m，\s\do4（n→∞））eq\i\su(i＝1,n，)eq\f（1，n）·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n）))2)）＝1＋lieq\o(m,\s\do4（n→∞）)eq\i\su（i＝1,n,）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n）））2·eq\f（1,n)＝1＋lieq\o(m,\s\do4(n→∞））eq\f(1,3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,n）)）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2n））)＝1＋eq\f（1,3)＝eq\f(4,3)。所以所求的曲邊梯形的面積為eq\f（4，3）。規(guī)律方法分割、近似代替、求和、取極限是求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟,求曲邊梯形的面積時(shí)需理解以下幾點(diǎn)：①思想：以直代曲；②步驟：化整為零→以直代曲→積零為整→無(wú)限逼近;③關(guān)鍵:以直代曲；④結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確．跟蹤演練1用定積分的定義求由y＝3x，x＝0，x＝1,y＝0圍成的圖形的面積．解(1）分割:把區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n),\f(i，n)）)（i＝1,2，…，n)．其長(zhǎng)度為Δx＝eq\f(1，n），把三角形分成一個(gè)小三角形和（n－1）個(gè)小梯形,其面積分別記為ΔSi（i＝1,2，…，n)．(2）近似代替：用小矩形的面積代替小三角形和小梯形的面積，取ξi＝eq\f(i－1，n）（i＝1，2,…，n），則ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1，n)))Δx＝3·eq\f(i－1，n)·eq\f（1，n）＝eq\f(3,n2）(i－1)（i＝1，2，…，n)．（3）作和：eq\i\su(i＝1,n，Δ）Si＝eq\i\su(i＝1,n，）eq\f（3，n2）（i－1)＝eq\f(3，n2）[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝eq\f(3，2）·eq\f（n－1，n）。(4)取極限：S＝lieq\o(m，\s\do4（n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(3，n2）(i－1）＝lieq\o(m，\s\do4(n→∞)）eq\f（3,2）·eq\f（n－1，n)＝eq\f（3，2).要點(diǎn)二求變速運(yùn)動(dòng)的路程例2用定積分定義求物體自由落體的下落距離．已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度v＝gt,求在時(shí)間區(qū)間［0，t]內(nèi)物體下落的距離．解（1)分割：將時(shí)間區(qū)間［0，t］分成n等份．把時(shí)間［0，t］分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(i－1,n）t，\f(it，n）))(i＝1,2，…,n），每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間段Δt＝eq\f(it，n）－eq\f(i－1，n)t＝eq\f（t，n）,在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi（i＝1，2,…，n)．（2)近似代替:在每個(gè)小區(qū)間上以勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速運(yùn)動(dòng)的路程．在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(i－1，n)t，\f(it，n）)）上任取一時(shí)刻ξi（i＝1，2，…，n)，可取ξi使v（ξi）＝geq\f（i－1，n）t近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度，因此在每個(gè)小區(qū)間上自由落體Δt＝eq\f(t，n）內(nèi)所經(jīng)過(guò)的距離可近似表示為Δsi≈g·eq\f（i－1,n)t·eq\f(t，n)（i＝1，2，…，n)．（3）求和：sn＝eq\i\su(i＝1，n，Δ）si＝eq\i\su（i＝1,n,g)·eq\f(i－1，n）·t·eq\f(t,n)＝eq\f（gt2，n2）［0＋1＋2＋…＋（n－1)]＝eq\f(1，2）gt2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,n)）).（4）取極限:s＝lieq\o(m，\s\do4(n→∞）)eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，n））)＝eq\f(1,2)gt2.規(guī)律方法求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，方法和步驟類(lèi)似于求曲邊梯形的面積，仍然利用以直代曲的思想，將變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,求解過(guò)程為：分割、近似代替、求和、取極限．跟蹤演練2一輛汽車(chē)在直線(xiàn)形公路上做變速行駛，汽車(chē)在時(shí)刻t的速度為v(t）＝－t2＋5(單位：km/h），試計(jì)算這輛汽車(chē)在0≤t≤2（單位:h）這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s（單位:km)．解(1)分割:在區(qū)間［0,2]上等間隔插入n－1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（2i－1，n)，\f(2i,n)）)。記第i個(gè)小區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(2i－1，n），\f(2i，n）））（i＝1，2，…，n），Δt＝eq\f（2，n).則汽車(chē)在時(shí)間段eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(2，n))），eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（2,n），\f（4,n）))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（2n－1,n），\f（2n,n))）上行駛的路程分別記為：Δs1,Δs2，…，Δsi，…,Δsn,有sn＝eq\i\su（i＝1,n，Δ)si。（2）近似代替：取ξi＝eq\f(2i,n)（i＝1,2，…,n)，Δsi≈veq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)）)·Δt＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2i，n)））2＋5))·eq\f(2，n）＝－eq\f(4i2,n2)·eq\f（2,n）＋eq\f（10，n）(i＝1，2,…,n)．sn＝eq\i\su（i＝1，n,Δ）si＝eq\i\su（i＝1,n,）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（4i2，n2)·\f(2,n)＋\f（10，n）)）＝－8·eq\f(1，3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n）)）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n）)）＋10。（3)取極限:s＝lieq\o(m,\s\do4（n→∞))sn＝lieq\o（m，\s\do4（n→∞））eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－8·\f（1,3）\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,n))）\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,2n）)）＋10))＝eq\f（22，3)。要點(diǎn)三利用定積分定義計(jì)算定積分例3利用定積分定義計(jì)算eq\i\in（1,2,）（1＋x）dx的值．解(1）分割：∵f（x)＝1＋x在區(qū)間[1,2］上連續(xù)，將區(qū)間［1,2]分成n等份，則每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為Δxi＝eq\f（1,n)，(2）近似替代：在［xi－1,xi]＝［1＋eq\f（i－1,n），1＋eq\f（i,n）］上取ξi＝xi－1＝1＋eq\f(i－1，n）（i＝1,2,3,…，n)，于是f（ξi)＝f（xi－1)＝1＋1＋eq\f（i－1,n)＝2＋eq\f(i－1,n)，(3)求和：從而eq\i\su（i＝1，n，f）（ξ1)Δxi＝eq\i\su（i＝1,n，)(2＋eq\f(i－1,n)）·eq\f（1,n)＝eq\i\su（i＝1,n，）(eq\f（2，n)＋eq\f(i－1,n2))＝eq\f（2，n）·n＋eq\f(1，n2)［0＋1＋2＋…＋（n－1）]＝2＋eq\f(1,n2）·eq\f(nn－1，2）＝2＋eq\f(n－1,2n)，（4)取極限:eq\i\in(1，2,)(1＋x）dx＝lieq\o（m，\s\up6（,n→∞））(2＋eq\f(n－1，2n)）＝2＋eq\f（1，2)＝eq\f(5,2）.規(guī)律方法（1）利用定積分的定義計(jì)算定積分的值能加深對(duì)定積分的概念及其幾何意義的理解,用定積分的定義求定積分的步驟是:①分割，②近似代替，③求和,④取極限．（2）在每個(gè)小區(qū)間［xi－1，xi］上對(duì)ξi的選取是任意的，為了計(jì)算方便，ξi可都取為每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)(或都取為右端點(diǎn)）．跟蹤演練3利用定積分的定義，計(jì)算eq\i\in(1,2,)(3x＋2)dx的值．解令f（x）＝3x＋2.(1)分割在區(qū)間[1，2]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間［1，2］等分成n個(gè)小區(qū)間［eq\f（n＋i－1,n），eq\f（n＋i,n)]（i＝1，2，…，n），每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f(n＋i，n）－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1，n)。（2）近似代替、求和取ξi＝eq\f(n＋i－1,n)（i＝1,2,…，n)，則Sn＝eq\i\su(i＝1，n，f)(eq\f(n＋i－1,n））·Δx＝eq\i\su(i＝1,n,[）eq\f（3n＋i－1,n）＋2］·eq\f（1,n)＝eq\i\su（i＝1,n，［）eq\f（3i－1，n2)＋eq\f(5,n）］＝5＋eq\f（3，n2）[0＋1＋2＋…＋（n－1）］＝eq\f（3,2）×eq\f(n2－n,n2)＋5＝eq\f(13，2）－eq\f(3,2n）。（3)取極限eq\i\in(1，2，）(3x＋2)dx＝eq\o(lim,\s\do4（n→∞））Sn＝eq\o(lim,\s\do4（n→∞））（eq\f(13，2)－eq\f（3，2n))＝eq\f(13,2)。要點(diǎn)四定積分幾何意義的應(yīng)用例4用定積分的意義求下列各式的值．（1）eq\i\in（,3,)－1(3x＋1）dx；（2）∫eq\f(\r(3),2）－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx.解(1）由直線(xiàn)x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示:eq\i\in（,3，）－1(3x＋1)dx表示由直線(xiàn)x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，∴eq\i\in（－1,3,）(3x＋1)dx＝eq\f（1，2)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3＋\f（1,3）））×（3×3＋1）－eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3）＋1））·2＝eq\f(50,3)－eq\f（2,3)＝16.（2)由y＝eq\r（1－x2)可知，x2＋y2＝1，(y≥0）圖象如圖,由定積分的幾何意義知∫eq\f（\r（3），2)－eq\f(\r(3)，2)eq\r（1－x2）dx等于圓心角為120°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和．S弓形＝eq\f(1,2）×eq\f（2，3）π×12－2×eq\f(1，2)×1×1×sineq\f（π，3）coseq\f(π,3）＝eq\f(π,3）－eq\f（\r(3)，4),S矩形＝|AB｜·|BC｜＝2×eq\f（\r（3），2)×eq\f（1，2）＝eq\f（\r(3）,2）,∴∫eq\f(\r(3)，2)－eq\f(\r（3），2）eq\r(1－x2）dx＝eq\f(π，3)－eq\f(\r(3）,4)＋eq\f(\r(3)，2)＝eq\f(π，3）＋eq\f（\r(3），4).規(guī)律方法(1)用定積分表示曲線(xiàn)圍成的平面區(qū)域的面積的步驟是：①準(zhǔn)確畫(huà)出各曲線(xiàn)圍成的平面區(qū)域；②把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時(shí)要注意x軸下方有沒(méi)有區(qū)域；③解曲線(xiàn)組成的方程組，確定積分的上、下限；④根據(jù)積分的性質(zhì)寫(xiě)出結(jié)果．(2)利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間,正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積，不規(guī)則的圖形常用分割法求面積，注意分割點(diǎn)的準(zhǔn)確確定．跟蹤演練4利用定積分的幾何意義求：（1)eq\i\in（，2，)－2eq\r（4－x2）dx；(2)eq\i\in(，1，）0eq\r（1－x2)dx。解(1）被積函數(shù)的曲線(xiàn)是圓心在原點(diǎn),半徑為2的半圓周，由定積分的幾何意義知此積分計(jì)算的是半圓的面積,所以有eq\i\in（,2，）－2eq\r（4－x2)dx＝eq\f(π·22，2)＝2π。(2）∵被積函數(shù)為y＝eq\r（1－x2)，其表示的曲線(xiàn)為以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的四分之一的圓，由定積分的幾何意義可知,所求的定積分即為該四分之一圓的面積．∴eq\i\in（,1,）0eq\r(1－x2）dx＝eq\f（1，4）π·12＝eq\f(1，4）π。1．把區(qū)間［1，3］n等分,所得n個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為(）A.eq\f(1，n） B．eq\f(2，n)C．eq\f(3,n） D．eq\f(1，2n)答案B解析區(qū)間［1，3］的長(zhǎng)度為2,故n等分后,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為eq\f(2,n).2．定積分eq\i\in(a,b，）f(x)dx的大小(）A．與f(x）和積分區(qū)間［a，b］有關(guān),與ξi的取法無(wú)關(guān)B．與f(x）有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無(wú)關(guān)C．與f(x）以及ξi的取法有關(guān),與區(qū)間［a,b]無(wú)關(guān)D．與f(x）、積分區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關(guān)答案A3．求由曲線(xiàn)y＝eq\f（1，2)x2與直線(xiàn)x＝1，x＝2,y＝0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分,則面積的近似值（取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是________．答案1。02解析將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（1，\f(6,5))）,eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(6，5)，\f(7，5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(7，5）,\f（8，5)）），eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(8，5)，\f(9，5)）），eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5），2）)，于是所求平面圖形的面積近似等于eq\f（1,10）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(36,25）＋\f（49,25)＋\f（64,25）＋\f（81，25）））＝eq\f(1，10）×eq\f（255,25)＝1。02.4．根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號(hào)連接下列式子：①eq\i\in（0,1，）xdx________eq\i\in(0,1，）x2dx；②eq\i\in（0,2,）eq\r(4－x2）dx________eq\i\in（0,2，)2dx。答案①〉②〈1．求曲邊梯形面積和汽車(chē)行駛的路程的步驟:（1)分割：n等分區(qū)間［a，b]；（2)近似代替：取點(diǎn)ξi∈［xi－1,xi］;（3)求和：eq\i\su（i＝1，n,f）(ξi)·eq\f（b－a，n）；（4)取極限：S＝lieq\o（m,\s\do4（n→∞）)eq\i\su(i＝1，n，f）(ξi）·eq\f(b－a,n）.“近似代替”也可以用較大的矩形來(lái)代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn))．2．定積分eq\i\in(a,b,)f（x)dx是一個(gè)和式eq\i\su（i＝1,n，）eq\f（b－a,n）f(ξi）的極限，是一個(gè)常數(shù)．3．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對(duì)于一些特殊函數(shù),也可以利用幾何意義求定積分．4．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)f（x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（i－1,n），\f（i，n）))上的值，可以近似代替為（）A．feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,n））) B．feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2,n）））C．feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(i，n))) D．f(0）答案C2．一物體沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其速度v（t）＝t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間內(nèi)所走的路程為（)A.eq\f(1,3) B．eq\f（1，2)C．1 D．eq\f（3，2）答案B解析曲線(xiàn)v（t）＝t與直線(xiàn)t＝0，t＝1，橫軸圍成的三角形面積S＝eq\f(1,2）即為這段時(shí)間內(nèi)物體所走的路程．3．由直線(xiàn)x＝1，y＝0，x＝0和曲線(xiàn)y＝x3所圍成的曲邊梯形,將區(qū)間4等分,則曲邊梯形面積的近似值(取每個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn))是（）A。eq\f(1，19) B．eq\f(111，256)C．eq\f（11，27) D．eq\f(25,64）答案D解析將區(qū)間［0，1］四等分,得到4個(gè)小區(qū)間：eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4）)),eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)，\f（1,2））)，eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(1,2），\f(3，4)）），eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(3，4）,1）），以每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值為高，4個(gè)小矩形的面積和為曲邊梯形面積的近似值S＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,4)))3×eq\f(1,4）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）3×eq\f（1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，4)))3×eq\f(1，4)＋13×eq\f(1,4）＝eq\f（25，64).4．下列命題不正確的是()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則eq\i\in（,a,)－af（x）dx＝0B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),則eq\i\in(,a,）－af（x）dx＝2eq\i\in（0，a，)f(x）dxC．若f(x)在［a，b]上連續(xù)且恒正，則eq\i\in(a,b，)f(x)dx＞0D．若f(x)在［a,b]上連續(xù)且eq\i\in(a，b,）f（x)dx>0,則f(x)在［a，b］上恒正答案D解析對(duì)于A，f(－x）＝－f（x)，eq\i\in(，a，)－af(x）dx＝eq\i\in(,0，)－af(x)dx＋eq\i\in(0,a，)f（x）dx＝－∫a0f(x）dx＋eq\i\in(0,a,）f(x）dx＝0，同理B正確；由定積分的幾何意義知，當(dāng)f（x）〉0時(shí)，eq\i\in（a,b,）f(x）dx〉0即C正確；但eq\i\in(a,b,)f（x）dx〉0，不一定有f(x）恒正，故選D.5．已知eq\i\in（0，t，）xdx＝2，則eq\i\in(，0,)－txdx等于________．答案－2解析∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函數(shù)，∴eq\i\in(，t，）－txdx＝0.而eq\i\in(,t,）－txdx＝eq\i\in（，0,）－txdx＋eq\i\in(0,t，）xdx，又eq\i\in（0，t，)xdx＝2，∴eq\i\in（，0，）－txdx＝－2。6．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所圍成圖形的面積寫(xiě)成定積分的形式是S＝________。答案－eq\i\in（，0,)－πsinxdx解析由定積分的意義知,由y＝sinx，x＝0,x＝－π，y＝0圍成圖形的面積為S＝－eq\i\in(，0,)－πsinxdx。7．求直線(xiàn)x＝0，x＝2，y＝0與曲線(xiàn)y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積．解令f(x)＝x2。（1）分割將區(qū)間［0,2]n等分，分點(diǎn)依次為x0＝0，x1＝eq\f（2，n)，x2＝eq\f（4,n),…，xn－1＝eq\f(2n－1，n)，xn＝2.第i個(gè)區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(2i－2,n),\f(2i,n)))（i＝1，2，…，n)，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為Δx＝eq\f（2i,n）－eq\f（2i－2，n）＝eq\f（2,n）.(2）近似代替、求和取ξi＝eq\f（2i，n）(i＝1，2,…，n)，Sn＝eq\i\su(i＝1,n，f)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)）)·Δx＝eq\i\su（i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2i,n)))2·eq\f（2,n）＝eq\f（8，n3）eq\i\su（i＝1,n，i）2＝eq\f(8,n3）（12＋22＋…＋n2）＝eq\f（8,n3)·eq\f(nn＋12n＋1,6）＝eq\f（4，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2＋\f(3，n）＋\f(1，n2）)).（3）取極限S＝lieq\o（m，\s\do4(n→∞)）Sn＝lieq\o(m,\s\do4（n→∞)）eq\f（4,3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋\f(3，n)＋\f(1,n2））)＝eq\f（8，3),即所求曲邊梯形的面積為eq\f(8,3）。二、能力提升8．已知f(x）＝x3－x＋sinx，則eq\i\in(，2,)－2f（x）dx的值為()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不確定答案A解析易知f（x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)eq\i\in（,0，）－2f（x)dx＝－eq\i\in(0，2，)f（x)dx,而eq\i\in（,2,)－2f(x）dx＝eq\i\in(，0，)－2f（x）dx＋eq\i\in（0，2,）f（x）dx＝0。9．設(shè)a＝eq\i\in（0,1，）xeq\f（1,3)dx，b＝eq\i\in（0，1，）x2dx,c＝eq\i\in(0，1，）x3dx，則a,b，c的大小關(guān)系是(）A．c〉a>b B．a(chǎn)>b〉cC．a(chǎn)＝b〉c D．a(chǎn)>c〉b答案B解析根據(jù)定積分的幾何意義，易知eq\i\in（0,1，)x3dx＜eq\i\in（0，1，)x2dx〈eq\i\in(0，1，)xeq\f（1，3）dx,a＞b＞c，故選B.10．設(shè)f（x)是連續(xù)函數(shù)，若eq\i\in(0，1,)f（x）dx＝1,eq\i\in（0，2，）f（x)dx＝－1，則eq\i\in（1,2，)f(x）dx＝________.答案－2解析因?yàn)閑q\i\in(0,2,）f（x)dx＝eq\i\in（0,1,）f(x)dx＋eq\i\in（1,2,）f（x)dx，所以eq\i\in(1,2,)f（x)dx＝eq\i\in（0,2，）f（x）dx－eq\i\in（0，1，)f（x)dx＝－2。11．已知∫eq\f(π,2）0sinxdx＝eq\i\in（,π，)eq\f(π,2）sinxdx＝1，∫eq\f（π，2）0x2dx＝eq\f(π3,24)，求下列定積分：(1)eq\i\in(0,π，）sinxdx;（2)∫eq\f（π，2)0(sinx＋3x2)dx.解（1)eq\i\in（0,π，）sinxdx＝∫eq\f（π，2）0sinxdx＋eq\i\in（，π，）eq\f(π，2)sinxdx＝2.（2）∫eq\f(π,2)0（sinx＋3x2）dx＝∫eq\f(π，2)0sinxdx＋3∫eq\f（π,2）0x2dx＝1＋eq\f（π3,8)。12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x3,x∈[－2，2,2x，x∈[2，π，cosx，x∈［π，2π]))，求f（x）在區(qū)間[－2，2π］上的定積分．解由定積分的幾何意義知eq\i\in(,2,）－2x3dx＝0，eq\i\in(2，π,）2xdx＝eq\f(π－22π＋4，2)＝π2－4，∫eq\o\al(2π,π）cosxdx＝0，由定積分的性質(zhì)得eq\i\in（－2,2π，）f（x）dx＝eq\i\in(，2，)－2x3dx＋eq\i\in（2，π，）2xdx＋∫eq\o\al(2π，π）cosxdx＝π2－4.三、探究與創(chuàng)新13．利用定積分的定義