習題課振動與波動

大學物理習題課

——振動與波動

習題課內(nèi)容振動波動內(nèi)容總結(jié)習題解答內(nèi)容總結(jié)習題解答振動內(nèi)容總結(jié)簡諧運動定義與判據(jù)簡諧運動的描述簡諧運動的合成阻尼振動受迫振動簡諧運動定義與判據(jù)定義：物體運動時，離開平衡位置的位移按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運動。判據(jù)動力學判據(jù):受到與對平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。運動學判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦形式。簡諧運動的描述數(shù)學形式x=Acos(t+)基本特征量角頻率振幅A初相能量動力學方程簡諧運動的合成同方向的兩個同頻率振動合振動振幅決定于兩個振動振幅和相差同方向不同頻率振動頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差相互垂直的兩個同頻率振動圓、橢圓或線段相互垂直的兩個不同頻率的振動利薩如圖簡諧運動的動力學方程阻尼運動受到與運動速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做功，運動能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。三種情況欠阻尼過阻尼臨界阻尼受迫振動在驅(qū)動力作用下的振動。穩(wěn)態(tài)的振動頻率等于驅(qū)動力的頻率；驅(qū)動力頻率等于振動系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生共振現(xiàn)象，此時系統(tǒng)可以最大限度地從外界吸收能量。重點內(nèi)容重點概念——相位初相、相差、同相、反相重點公式——x=Acos(t+)振幅、相位、頻率、初相重點方法——旋轉(zhuǎn)矢量法簡諧運動與圓周運動的聯(lián)系波動內(nèi)容總結(jié)行波簡諧波波動的微分方程與波的傳播速度波的能量惠更斯原理波的疊加與駐波多普勒效應(yīng)行波波函數(shù)的一般形式：波形曲線：某一時刻的y－x曲線。波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速u的平移。xy簡諧波波函數(shù)形式：注意簡諧波形曲線與簡諧振動曲線的區(qū)別。※波動的微分方程與波的傳播速度波動方程：棒中波速：拉緊繩中波速：各向同性介質(zhì)中橫波波速：液體、氣體中縱波波速：波的能量簡諧波在一個周期內(nèi)的平均能量密度：波動在傳播振動形式的同時傳播能量。平均能流：平均能流密度（波的強度）：在均勻媒質(zhì)中，平面波的強度不變，球面波強度與半徑的平方成反比?；莞乖砘莞乖恚航橘|(zhì)中任一波陣面上的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時刻，這些子波的包跡就是新的波振面。應(yīng)用該原理可以解釋波的衍射、反射及折射現(xiàn)象。波的疊加與駐波波的疊加原理：幾列波可以保持各自特點通過同一介質(zhì)，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點的位移，為各波單獨在該點產(chǎn)生位移的合成。波的干涉－加強和減弱條件兩列頻率、振動方向和振幅都相同而傳播方向相反的簡諧波疊加形成駐波。表達式為：其實質(zhì)是穩(wěn)定的分段振動，有波節(jié)和波腹。注意：波從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的界面反射時存在半波損失，此點只能是波節(jié)。多普勒效應(yīng)接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運動的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。相向運動相背運動機械波一般情況例1.兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振動表達式為x1=Acos(t+)，當?shù)谝粋€振子從振動的正方向回到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。(1)求第二個振子的振動表達式和二者的相差；(2)若t=0時，x1=–A/2，并向x

負方向運動，畫出二者的x-t

曲線及相量圖。解：(1)由已知條件畫出相量圖，可見第二個振子比第一個振子相位落后/2，故=2

–1=–/2，第二個振子的振動函數(shù)為

x2=Acos(t++)=Acos(t+–/2)

A1A2xOA1A2xO(2)由t=0時，x1=A/2且v<0，可知=2/3，所以

x1=Acos(t+2/3)，x2=Acos(t+/6)

xA-AOtx1x2例題2：如圖所示：一塊均勻的長木板質(zhì)量為m，對稱地平放在相距l(xiāng)=20cm的兩個滾軸上。滾軸的轉(zhuǎn)動方向如圖所示，滾軸表面與木板間的摩擦系數(shù)為=0.5。今使木板沿水平方向移動一段距離后釋放。證明此后木板將做簡諧運動，并求其周期。l＝20cm解：首先進行受力分析木板在豎直方向受重力G和支持力NA和NB作用，處于力矩平衡。木板在水平方向上受相反方向的摩擦力f1和f2作用。xNANBf2f1G=mg0xl/2-xl/2+xAB右輪B上的支持力NB：得左輪A上的支持力NA：設(shè)坐標原點在l/2處：以右輪B為支點力矩平衡：以左輪A為支點力矩平衡：左輪上的摩擦力f1：右輪上的摩擦力f2：木板在水平方向所受的合外力f：木板在水平方向運動的動力學方程：整理得：具有簡諧運動微分方程的標準形式，所以木板將做簡諧振動。例題3一橫波沿繩傳播，其波函數(shù)為（1）求此橫波的波長、頻率、波速和傳播方向；（2）求繩上質(zhì)元振動的最大速度并與波速比較。解：（1）對比簡諧波函數(shù)的公式得波長:周期T：波速u：符號為負，所以向x正方向傳播。傳播方向：（2）質(zhì)元振動的最大速度vmax與波速對比：是波速的1/4。例題4：一平面簡諧波沿x正向傳播，如圖所示；振幅為A，頻率為，傳播速度為u。（1）t=0時，在原點O處的質(zhì)元由平衡位置向x軸正方向運動，試寫出波的波函數(shù)；（2）若經(jīng)分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，試寫出反射波的波函數(shù)，并求在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點位置。OxPux波疏波密解：已知A、、u及＝u/。（1）波在O點的振動表達式：由初始條件：

y0＝Acos0=0

，0=/2或-/2v0=-2Asin0

>0，則sin0

<00=-/2故振動表達式為：波函數(shù)為：入射波函數(shù)為：即入射波到達界面P點的振動為由于從波疏到波密介質(zhì)界面發(fā)生半波損失，P點反射的振動為反射波的波函數(shù)：合成駐波:

波節(jié)的位置為在OP區(qū)間在處為入射波、反射波干涉相消的靜止點。例題5飛機在上空以速度v=200m/s作水平飛行，發(fā)出頻率為0＝2000Hz的聲波，靜止在地面的觀察者測定飛機發(fā)出的聲波頻率，當飛機越過觀察者上空時，觀察者在4s內(nèi)測出的頻率從1＝2400Hz降為2＝1600Hz，已知聲波在空氣中的速度為u=340m/s。試求飛機的飛行高度h。AMB在M點接收到飛機在A點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察者的速度為按照多普勒效應(yīng)公式解出在M點接收到飛機在B點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察者的速度為解出AMB由幾何關(guān)系故AMB例6：已知t=2s時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及

O點的振動函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou=0.5m/s123解：波函數(shù)標準方程已知A=0.5m，=2m，T=

/u=2/0.5=4s由得即所以波函數(shù)為O點的振動函數(shù)為

例7

如圖,一列沿x軸正向傳播的簡諧波方程為(m)（1）在1，2兩種介質(zhì)分界面上點A與坐標原點O相距L=2.25m.已知介質(zhì)2的波阻大于介質(zhì)1的波阻,假設(shè)反射波與入射波的振幅相等,求：（a）反射波方程;（b）駐波方程;（c）在OA之間波節(jié)和波腹的位置坐標.yLOAx12yLOAx12解（a）設(shè)反射波方程為（2）由式（1）得A點的反射振動方程（3）(m)(m)