2021-2022學(xué)年上海市高橋中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市高橋中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知，，，則與的位置關(guān)系是______.【答案】異面【分析】畫(huà)出符合要求的圖形，推出兩者的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，，故與不相交，又與不平行，故與的位置關(guān)系是異面.故答案為：異面2．已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的全面積等于_________．【答案】10【分析】結(jié)合已知條件分別求出正四棱柱的底面邊長(zhǎng)和高即可求解.【詳解】由題意，正四棱柱如下圖：不妨設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，，由已知條件可得，，又因?yàn)榈酌?，所以?duì)角線與底面所成角為，因?yàn)閷?duì)角線與底面所成角的余弦值為，，所以，解得，從而，故該正四棱柱的表面積.故答案為：10.3．如圖所示，是的直觀圖，則的面積_________（請(qǐng)用數(shù)字填寫(xiě)）【答案】2【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖可知：在三角形中，，，由斜二測(cè)畫(huà)法可知：在中，，所以的面積為，故答案為：24．長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，則一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到C1點(diǎn)的最短距離是____________．【答案】【詳解】試題分析：畫(huà)出長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，在三種不同情況下，利用勾股定理得故小蟲(chóng)從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到C1點(diǎn)的最短距離是．【解析】本題主要考查長(zhǎng)方體的幾何特征及其展開(kāi)圖．點(diǎn)評(píng)：“化曲為直”是常用方法之一，當(dāng)把長(zhǎng)方體展開(kāi)圖畫(huà)出后小蟲(chóng)爬行最短距離轉(zhuǎn)化為計(jì)算線段的長(zhǎng)度．注意三種情況下，線段長(zhǎng)度的比較．5．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖是陽(yáng)馬，平面，，，，則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】把四棱錐放置在長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體外接球的表面積得答案．【詳解】把四棱錐放置在長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐的外接球，，，，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方體的外接球的半徑，該陽(yáng)馬的外接球的表面積為．故答案為：．6．若α，β是兩個(gè)相交平面，m為一條直線，則下列命題中，所有真命題的序號(hào)為_(kāi)__________.①若m⊥α，則在β內(nèi)一定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內(nèi)一定存在無(wú)數(shù)條直線與m垂直；③若mα，則在β內(nèi)不一定存在與m垂直的直線；④若mα，則在β內(nèi)一定存在與m垂直的直線.【答案】②④【分析】根據(jù)各項(xiàng)的線面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷正誤即可.【詳解】若m⊥α，如果α，β互相垂直，則在平面β內(nèi)存在與m平行的直線，故①錯(cuò)誤；若m⊥α，則m垂直于平面α內(nèi)的所有直線，故在平面β內(nèi)一定存在無(wú)數(shù)條直線與m垂直，故②正確；若mα，在空間中其它平面都可找到與m平行的直線，故在面β內(nèi)一定存在與m垂直的直線，故③錯(cuò)誤，④正確.故答案為：②④7．如圖所示，是所在平面外一點(diǎn)，平面平面，分別交線段，，于，，，若，則_____.

【答案】425##0.16【分析】由面面平行得到，再由相似三角形得到面積比為相似比的平方，即可得到面積比．【詳解】解：由圖知，平面平面，平面，又由平面平面，則，同理可得，，，，，，，即，由于相似三角形得到面積比為相似比的平方，．故答案為：．8．如圖所示，三棱柱的側(cè)面是菱形，設(shè)是上的點(diǎn)且，則的值為_(kāi)_______．【答案】1【分析】利用線面平行證明出，再通過(guò)中位線的性質(zhì)證明出點(diǎn)為的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論.【詳解】，且平面平面，，四邊形是菱形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，即.9．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則圓臺(tái)較小底面的半徑為_(kāi)____.【答案】7【詳解】試題分析：設(shè)上底面半徑為r，因?yàn)閳A臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，所以S側(cè)面積=π（r+3r）l=84π，解得r=7．故答案為7．【解析】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．10．過(guò)圓錐高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為_(kāi)_______．【答案】【詳解】試題分析：求不熟悉平面圖形面積或者立體圖形體積的時(shí)候，往往會(huì)通過(guò)割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的面積問(wèn)題或體積問(wèn)題來(lái)處理，該圓錐被分成的這三部分從上至下分別為圓錐、圓臺(tái)、圓臺(tái)，所以這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于三個(gè)幾何體的側(cè)面積之比，而圓臺(tái)的側(cè)面積又等于圓錐側(cè)面積的差，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓錐的側(cè)面積問(wèn)題了，圓錐的側(cè)面積為，設(shè)最上面圓的半徑為,母線為,則下面兩個(gè)圓的半徑依次為，三部分幾何體的側(cè)面積分別為【解析】圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積問(wèn)題．11．設(shè)、是直角梯形兩腰的中點(diǎn)，于（如下圖）．現(xiàn)將沿折起，使二面角為，此時(shí)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為點(diǎn)，則、的連線與所成角的大小等于________．【答案】【分析】先取的中點(diǎn)，將平移到，則角或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角，在三角形中再利用等腰直角三角形的中線就是高這一原理即可求的結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)，點(diǎn)是，的中點(diǎn)，.，為直角梯形，，.,且，四邊形為平行四邊形，.，，.，.、的連線與所成角的大小等于.故答案為：.12．如圖，在正方體中，，是棱上任一點(diǎn)，若平面和平面所成的角為，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】分類討論點(diǎn)的位置，當(dāng)異于時(shí)，先作二面角的平面角，并設(shè)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，最后求出該函數(shù)的最小值即可【詳解】如下圖所示：當(dāng)與重合時(shí)，可得：；②當(dāng)異于時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線，由平面，平面，可得：過(guò)作于點(diǎn)，連接，可得：平面可得：故為平面與平面所成的角，即設(shè)，可得：，，可得：當(dāng)且僅當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào).綜上，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】求二面角方法：（1）作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；（2）通過(guò)向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而根據(jù)法向量表示出二面角；二、單選題13．已知直線a，如果直線b同時(shí)滿足：（1）與a異面；（2）與a所成的角是；（3）與a的距離為2021，這樣的直線b有（

）條．A．2 B．3 C．4 D．無(wú)數(shù)條【答案】D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形分析可得出答案.【詳解】根據(jù)題意可作圖如下，其中，則平面內(nèi)任意一條與平行的直線都滿足要求，故這樣的直線有無(wú)數(shù)條.故選：D.14．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,先由球的體積求球的半徑r，直徑2r為正方體體對(duì)角線，列等式即可求出棱長(zhǎng)．【詳解】正方體外接球的體積是則外接球的半徑r=2，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,正方體的體對(duì)角線=2r=4，則棱長(zhǎng)a=故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球問(wèn)題，掌握正方體的體對(duì)角線為球的直徑是解題的關(guān)鍵.15．體積為的圓臺(tái)，一個(gè)底面積是另一個(gè)底面積的倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積是()A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，利用幾何體的相似比與面積比、體積比的關(guān)系，可得大圓錐的體積和圓臺(tái)體積之比，即可得出答案．【詳解】如圖所示，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，則圖中小圓錐與大圓錐是相似的幾何體設(shè)大、小圓錐的底面半徑分別為r、R，高分別為h、H∵圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：9，∴小圓錐與大圓錐的相似比為1：3，即半徑之比且高之比因此，小圓錐與大圓錐的體積之比（）3，可得1，因此，截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐體積和圓臺(tái)體積之比27：26，又圓臺(tái)的體積為52cm3，則截該圓臺(tái)的圓錐體積為52＝54．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，通過(guò)圓臺(tái)的上下底面面積之比，求截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐體積和圓臺(tái)體積之比．著重考查了錐體體積計(jì)算公式和相似幾何體的性質(zhì)等知識(shí)．16．設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個(gè)角，，中最小的角是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)異面直線夾角，直線與平面的夾角，平面與平面的夾角的定義分別做PB與AC，PB與平面ABC，平面PAC與平面ABC的夾角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)比較幾個(gè)角的大小.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)D，作VO⊥平面ABC于點(diǎn)O，由題意知點(diǎn)O在AD上，且AO=2OD.作PE//AC，PE交VC于點(diǎn)E，作PF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF，則PF⊥平面ABC取AC的中點(diǎn)M，連接BM，VM，VM交PE于點(diǎn)H，連接BH，易知BH⊥PE，作于點(diǎn)G，連接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF∴

FG⊥AC,作FN⊥BM于點(diǎn)N.∵

PG∥VM，PF∥VN∴

平面PGF∥平面VMB，又PH∥FN,四邊形PFNH為平行四邊形，所以PH=FN因此，直線PB與直線AC所成的角，直線PB與平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，又又，∴

因?yàn)椤?/p>

綜上所述，中最小角為，故選B.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通過(guò)垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、解答題17．在長(zhǎng)方體中，已知，，，E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且.（1）求二面角的正切值；（2）求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，利用數(shù)量積表示出兩個(gè)向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角求出結(jié)果把兩條直線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出來(lái)，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角表示出異面直線的夾角．【詳解】以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有3，、3，、0，、1，、3，于是，2，設(shè)向量與平面垂直，則有，其中取則是一個(gè)與平面垂直的向量，向量0，與平面CDE垂直，與所成的角為二面角的平面角，二面角的正切值為；設(shè)與所成角為，則，直線與所成的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量求平面間的夾角，異面直線的夾角，屬于中檔題．18．已知過(guò)球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面積．【答案】.【分析】設(shè)截面的圓心為O′，球心為O，連接O′A，OA，OO′，由已知得截面圓半徑，然后由截面性質(zhì)求得球半徑后可得表面積．【詳解】解：設(shè)截面圓心為O′，球心為O，連接O′A，OA，OO′，設(shè)球半徑為R，因?yàn)镺′A＝.在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝，所以R＝，所以S球＝4πR2＝π.19．已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20和30的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.【答案】；.【解析】首先根據(jù)題中條件求出側(cè)面等腰梯形的高，再根據(jù)勾股定理求出棱臺(tái)的高，最后利用棱臺(tái)的體積公式求出棱臺(tái)的體積.【詳解】如圖所示，在三棱臺(tái)中，，分別為上、下底面的中心，，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，，則點(diǎn)，分別在，上，是等腰梯形的高，記為，所以，上、下底面面積之和為，由，得，所以，又，，記棱臺(tái)的高為，則，由棱臺(tái)的體積公式，得棱臺(tái)體積，計(jì)算得棱臺(tái)體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱臺(tái)的高與棱臺(tái)的體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.20．如圖，某柱體實(shí)心銅質(zhì)零件的截面邊界是長(zhǎng)度為55毫米線段和88毫米的線段以及圓心為，半徑為的一段圓弧構(gòu)成，其中．（1）求半徑的長(zhǎng)度；（2）現(xiàn)知該零件的厚度為3毫米，試求該零件的重量（每1個(gè)立方厘米銅重8.9克，按四舍五入精確到0.1克）．（）【答案】（1）（2）克【分析】（1）在中，用余弦定理求出，用正弦定理求出，從而求出，再用正弦定理，即可求出結(jié)果；（2）求出該幾何體截面面積，進(jìn)而求出體積，即可求解.【詳解】解：（1），所以，，，，.（2）.所以重量為克.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，考查幾何體的體積，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.21．如圖，已知、分別是正方形邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，試求的值；（3）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）連接，易得，由正方形的性質(zhì)有，再由線面垂直的性質(zhì)及