山西省陽泉市仙人中學2023年高三數(shù)學文期末試題含解析

山西省陽泉市仙人中學2023年高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若實數(shù)x，y滿足的約束條件，將一顆骰子投擲兩次得到的點數(shù)分別為a，b，則函數(shù)z=2ax+by在點（2，﹣1）處取得最大值的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D考點：幾何概型；簡單線性規(guī)劃．專題：應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計．分析：利用古典概型概率計算公式，先計算總的基本事件數(shù)N，再計算事件函數(shù)z=2ax+by在點（2，﹣1）處取得最大值時包含的基本事件數(shù)n，最后即可求出事件發(fā)生的概率．解答：解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，∵函數(shù)z=2ax+by在點（2，﹣1）處取得最大值，∴直線z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)為（a，b），則這樣的有序整數(shù)對共有6×6=36個其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30個則函數(shù)z=2ax+by在點（2，﹣1）處取得最大值的概率為=．故選：D．點評：本題考查了古典概型概率的計算方法，乘法計數(shù)原理，分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題2.已知向量等于 （

）A.30° B.45° C.60° D.75°參考答案：B3.已知，則一定滿足A．

B．C．

D．參考答案：答案：D4.設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.已知函數(shù)f（x）=，則f（f（﹣1））的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：D【考點】3T：函數(shù)的值．【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（﹣1）=3﹣（﹣1）=4，f（f（﹣1））=f（4）==2．故選：D．6.已知是正數(shù)，且滿足．那么的取值范圍是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B原不等式組等價為，做出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分，，表示區(qū)域內(nèi)的動點到原點距離的平方，由圖象可知當在D點時，最大，此時，原點到直線的距離最小，即，所以，即的取值范圍是，選B.7.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，且，則的最小值為（

）A.

B.1

C.

D.2參考答案：A由題意得或，∴或，∴或，又，∴或．∴的最小值為．選A．

8.下列說法正確的是(

).

A.命題“使得”的否定是：“”B.“”是“”的必要不充分條件C.命題p：“”，則p是真命題D.“”是“在上為增函數(shù)”的充要條件參考答案：D略9.定義為a，b，c中的最大值，設(shè)，則M的最小值是（

）A．2

B．3

C.

4

D．6參考答案：C10.函數(shù)的定義域為（

）A． B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖,△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC=10，BC=15，那么AE=___________.參考答案：略12.甲、乙兩人同時參加一次數(shù)學測試，共有道選擇題，每題均有個選項，答對得分，答錯或不答得分．甲和乙都解答了所有的試題，經(jīng)比較，他們有道題的選項不同，如果甲最終的得分為分，那么乙的所有可能的得分值組成的集合為____________．參考答案：【測量目標】邏輯思維能力/具有對數(shù)學問題或資料進行觀察、分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷和論證的能力.【知識內(nèi)容】數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計/概率與統(tǒng)計初步/隨機變量的分布及數(shù)字特征.【試題分析】因為20道選擇題每題3分，甲最終的得分為54分，所以甲答錯了2道題，又因為甲和乙有兩道題的選項不同，則他們最少有16道題的答案相同，設(shè)剩下的4道題正確答案為AAAA,甲的答案為BBAA,因為甲和乙有兩道題的選項不同，所以乙可能的答案為BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA等，所以乙的所有可能的得分值組成的集合為，故答案為.13.要得到函數(shù)的圖象,可將函數(shù)的圖象向

平移

個單位．參考答案：右，考點：正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及運用．【易錯點晴】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是中學數(shù)學中的重要內(nèi)容和工具,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點.本題以三角函數(shù)的解析式為背景考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的平移的有關(guān)知識和運用.解答本題時要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,先將變?yōu)?再依據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)律,對問題作出解答使得問題獲解.14.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。參考答案：

略15.已知，則對應(yīng)的的集合為

.參考答案：16.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為_________________參考答案：17.展開式中的系數(shù)為

．參考答案：210

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，若存在，則稱是函數(shù)的一個不動點，設(shè)

(Ⅰ）求函數(shù)的不動點；

(Ⅱ）對（Ⅰ）中的二個不動點、（假設(shè)），求使恒成立的常數(shù)的值；參考答案：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)

(Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常數(shù).(x≠0，常數(shù)a∈R)．19.已知函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）判斷a＞1時，f（）的符號；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴當x＜ln2時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當x＞ln2時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，ln2]，單調(diào)遞減區(qū)間是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．設(shè)h（x）=1﹣ex+x2，∴h′（x）=﹣ex+2x．由（Ⅰ）知，當x＞1時，h′（x）＜h′（1）=2﹣e＜0，h（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞減，∴x＞1時，h（x）＜h（1）=﹣e＜0．∴a＞1時，f（）＜0，即f（）符號是“﹣”．…（Ⅲ）由函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx得，x＞0且f′（x）=．當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）沒有兩個零點，∴a＞0…（6分）∴f′（x）=﹣（x﹣）．∴當0＜x＜時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．當x＞時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．又f′（）=0，∴f（x）max=f（）=1﹣a+alna．…（7分）設(shè)s（x）=1﹣x+xlnx，∴x＞0且s′（x）=lnx，同上可得s（x）min=s（1）=0，∴當a＞0且a≠1時，f（x）max＞0，當a=1時，f（x）沒有兩個零點．…（8分）設(shè)t（x），則t′（x）=ex﹣1，∴x＞1時，t′（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增，所以x＞1時，t（x）＞t（1），即x＞1時，ex＞x．…（9分）當a＞1時，ex＞a，∴＜＜1．∵f（），∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個零點，又f（1）=0，∴f（x）有兩個零點．…（10分）當0＜a＜1時，1＜＜．∵f（）=﹣＜0，∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個零點，又f（1）=0，∴f（x）有兩個零點．…（11分）綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．…（12分）【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．20.已知函數(shù)的最小值等于3.（1）求m的值；（2）若正數(shù)a、b、c滿足，求的最大值.參考答案：（1）；（2）3.【分析】（1）分、、三種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的最小值，進而可求得的值；（2）利用柯西不等式得出，由此可得出的最大值.【詳解】（1）.當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，則綜上所述，，解得；（2）由（1）可得，且、、均為正數(shù)，由柯西不等式得，即，.當且僅當時，等號成立，因此，的最大值為.【點睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解，同時也考查了利用柯西不等式求三元代數(shù)式的最值，考查分類討論思想以及計算能力，屬于中等題.21.已知曲線（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．（1）將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C2的極坐