高中數(shù)學(xué)北師大版2第四章定積分 第4章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①面積、路程②做功③牛頓-萊布尼茨④面積⑤體積定積分的計算1.利用定義求定積分.步驟：(1)分割區(qū)間；(2)求過剩估計值、不足估計值；(3)取極限.2.利用定積分的幾何意義求定積分.3.利用微積分基本定理求定積分.若F′(x)＝f(x)，eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)f（x）dx)＝F(b)－F(a).求下列定積分.(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx；(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx.【精彩點撥】(1)可用定積分的幾何意義求解；(2)先去絕對值號，然后結(jié)合定積分的性質(zhì)求解.【規(guī)范解答】(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx表示的是圖中陰影所示半徑為2的半圓的面積.其面積為eq\f(1,2)×π×22＝2π，所以eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx＝2π.(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)，\f(1,e)≤x≤1，,\f(ln3x,x)，1≤x≤e，))∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝eq\i\in(\f(1,e),1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)))dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(ln3x,x)dx.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln4x,4)))′＝eq\f(ln3x,x)，∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝－eq\f(ln4x,4)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,e)))＋eq\f(ln4x,4)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(e,1)＝－eq\f(ln41,4)＋eq\f(ln4\f(1,e),4)＋eq\f(ln4e,4)－eq\f(ln41,4)＝eq\f(1,2).[再練一題]1.計算下列定積分.(1)eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx；(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx.【解】(1)∵eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))dx＝[lnx－ln(x＋1)]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(2,1)))＝lneq\f(4,3).(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(2x,ln2)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up8(\f(π,2)),－\f(π,2)))＝2＋eq\f(1,ln2)(2eq\s\up8(\f(π,2))－2eq\s\up8(－\f(π,2))).定積分在幾何中的應(yīng)用1.由積分的概念可知，定積分在研究求解曲邊平面圖形的面積中有廣泛的應(yīng)用.求解時應(yīng)將相應(yīng)問題畫出草圖，適當(dāng)分割后轉(zhuǎn)化為定積分求解.2.利用定積分也可以求出一些簡單的幾何體體積.如圓錐體、圓柱體、圓臺、球體等.計算由曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)π[f（x）]2dx.)求由曲線y＝x2＋4與直線y＝5x，x＝0，x＝4所圍成的平面圖形的面積.【精彩點撥】eq\x(畫出草圖)→eq\x(求交點坐標(biāo))→eq\x(\a\al(確定被積函數(shù),及積分上、下限))→eq\x(求定積分)【規(guī)范解答】畫出草圖，如圖所示.所求平面圖形為圖中陰影部分.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝5x，))得交點A(1，5)，B(4，20).故所求平面圖形的面積S＝eq\i\in(0,1,)(x2＋4－5x)dx＋eq\i\in(1,4,)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋4x－\f(5,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,1))＝eq\f(1,3)＋4－eq\f(5,2)＋eq\f(5,2)×42－eq\f(1,3)×43－4×4－eq\f(5,2)＋eq\f(1,3)＋4＝eq\f(19,3).[再練一題]2.求曲線y＝sinx，x∈[0，π]與x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)體的體積.【導(dǎo)學(xué)號：94210078】【解】由體積公式V＝eq\i\in(0,π,)πy2dx＝eq\i\in(0,π,)π(sinx)2dx數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想貫穿本章的始終，主要體現(xiàn)在利用定積分的幾何意義求定積分及用定積分求曲邊圖形的面積.在做題前首先要畫出圖形，確定圖形是在x軸的上方還是下方，并且通過解方程組求出交點的橫坐標(biāo)定出積分上、下限.如圖4-1所示，在區(qū)間[0，1]上給定曲線y＝x2，試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值，使圖中陰影部分的面積S1與S2之和最小.圖4-1【精彩點撥】確定被積函數(shù)，積分上、下限，求定積分，并用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】S1的面積等于邊長分別為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸，直線x＝t圍成的面積.即S1＝t·t2－eq\i\in(0,t,)x2dx＝eq\f(2,3)t3；S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉一矩形面積，矩形邊長分別為t2，1－t，即S2＝eq\i\in(t,1,)x2dx－t2(1－t)＝eq\f(2,3)t3－t2＋eq\f(1,3).所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝eq\f(4,3)t3－t2＋eq\f(1,3)(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))＝0，得t＝0或t＝eq\f(1,2)，易知當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，S最小，所以最小值為Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4).[再練一題]3.如圖4-2，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.圖4-2【解】拋物線y＝x－x2與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝1，所以拋物線與x軸所圍成圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).拋物線y＝x－x2與直線y＝kx交點的橫坐標(biāo)分別為x1′＝0，x2′＝1－k，所以eq\f(S,2)＝eq\i\in(0,1－k,)(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1－k,0))＝eq\f(1,6)(1－k)3，又知S＝eq\f(1,6)，所以(1－k)3＝eq\f(1,2)，于是k＝1－eq\r(3,\f(1,2))＝1－eq\f(\r(3,4),2).1.定積分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值為()＋2 ＋1 －1【解析】eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.故選C.【答案】C2.若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，則eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A.－1 B.－eq\f(1,3)\f(1,3) 【解析】∵f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2x∫eq\o\al(1,0)f（x）dx))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(1,3)＋2eq\i\in(0,1,)f(x)∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(1,3).【答案】B3.若函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,)f（x）·g（x）dx＝0，)則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是() 【解析】①eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝0，故第①組是區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)；②eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(1,－1)))＝－eq\f(4,3)≠0，故第②組不是區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)；③eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx