高中數(shù)學(xué)北師大版第三章不等式單元測試 學(xué)業(yè)分層測評19

學(xué)業(yè)分層測評(十九)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()\f(7,2) B．4\f(9,2) D．5【解析】∵a＋b＝2，∴y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(a＋b,2a)＋eq\f(2a＋2b,b)＝eq\f(1,2)＋eq\f(b,2a)＋eq\f(2a,b)＋2≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(b,2a)·\f(2a,b))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)且a＋b＝2時，取“＝”．【答案】C2．如果log3m＋log3n＝4，則m＋nA．4eq\r(3) B．4C．9 D．18【解析】∵m＞0，n＞0，由log3m＋log3n＝log3mn∴mn＝81，∴m＋n≥2eq\r(mn)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝9時等號成立．【答案】D3．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4【解析】f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2.∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時等號成立．又f(x)在x＝a處取最小值，∴a＝3.【答案】C4．(2023·湖南高考)若實數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4【解析】由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)知a>0，b>0，所以eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq\r(4,2)，b＝2eq\r(4,2)時取“＝”，所以ab的最小值為2eq\r(2).【答案】C5．若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是()A．[6，＋∞) B．[9，＋∞)C．(0,9] D．(0,6]【解析】∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3(當(dāng)a＝b時取“＝”)，即ab－2eq\r(ab)－3≥0，∴eq\r(ab)≥3或eq\r(ab)≤－1(舍去)，∴ab≥9.【答案】B二、填空題6．函數(shù)y＝a1－x(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．【解析】由題意知A(1,1)，∴m＋n＝1，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時“＝”成立．【答案】47．(2023·泉州高二檢測)已知兩個正數(shù)x、y滿足x＋y＝4，則使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是________．【解析】∵x＋y＝4，∴eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋\f(y,4)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)＋1＝eq\f(5,4)＋eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(x,y))＝eq\f(5,4)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,4x)＝\f(x,y)，,x＋y＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(8,3)))時，取“＝”，要使eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立，只需m≤eq\f(9,4)即可，故m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4))).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))8．某校要建造一個容積為8m3，深為2m【解析】設(shè)底面的長為xm，寬為ym，水池總造價為z元，根據(jù)題意，有2xy＝8，∴xy＝4，且z＝240×eq\f(8,2)＋160(2×2x＋2×2y)＝120×8＋640(x＋y)≥120×8＋1280eq\r(xy)＝120×8＋1280×2＝3520.【答案】3520三、解答題9．(1)當(dāng)x＜eq\f(3,2)時，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．【解】(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2)，∵當(dāng)x＜eq\f(3,2)時，3－2x＞0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)時取等號，于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函數(shù)有最大值－eq\f(5,2).(2)∵x＞0，y＞0，∴由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3x,5y)＝\f(12y,5x)，,x＋3y＝5xy，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)))時等號成立，∴3x＋4y的最小值是5.10．某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元．(1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費用為y萬元，求函數(shù)y＝f(x)的表達式(總開發(fā)費用＝總建筑費用＋購地費用)；(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費用最低，該寫字樓應(yīng)建多少層？【導(dǎo)學(xué)號：67940066】【解】(1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為：4000×2000＝8000000(元)＝800(萬元)，從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多：100×2000＝200000(元)＝20(萬元)，寫字樓從下到上各層的總建筑費用構(gòu)成以800為首項，20為公差的等差數(shù)列，所以函數(shù)表達式為：y＝f(x)＝800x＋eq\f(xx－1,2)×20＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)．(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費用為：g(x)＝eq\f(fx,2000x)×10000＝eq\f(510x2＋790x＋9000,x)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(900,x)＋79))≥50×(2eq\r(900)＋79)＝6950(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(900,x)，即x＝30時等號成立，故該寫字樓應(yīng)建30層．[能力提升]1．已知a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5【解析】∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥2eq\r(\f(1,ab))＋2eq\r(ab)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,ab))＋\r(ab)))≥2×2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(1,b)，,\r(\f(1,ab))＝\r(ab)，))即a＝b＝1時等號成立．【答案】C2．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0 B．eq\f(9,8)C．2 D．eq\f(9,4)【解析】eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.【答案】C3．(2023·山東高考)定義運算“?”：x?y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．當(dāng)x>0，y>0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________．【解析】因為xy＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)x＝eq\f(4y2－x2,2xy).又x>0，y>0，故xy＋(2y)x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)y時，等號成立．【答案】eq\r(2)4．已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h(8＜v≤v0)．若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v＝12km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的靜水速度v應(yīng)為多少？(v0＞16)【解】設(shè)每小時燃料費為y1，比例系數(shù)為k(k＞0)，則y1＝kv2.當(dāng)v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.設(shè)全程燃料費為y，依題意得：y＝y(tǒng)1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)＝1000·eq\f(v2－64＋64,v－8)＝1000eq\b\lc\(\rc\)(\